高中数学人教版新课标A必修12.2.2对数函数及其性质第1课时学案

2．2.2　对数函数及其性质

第1课时　对数函数的图象及性质

授课提示：对应学生用书第47页

[基础认识]

知识点一　对数函数的概念

　在指数函数中我们已经知道，某种放射性物质若最初的质量为1，第二年的剩留量为上一年的0.84，则经过x年，该物质的剩留量为y＝0.84x.

(1) 经过多少年这种物质的剩留量为0.5?

提示：0.84x＝0.5⇒x＝log0.840.5.

(2)若经过y年的剩留量为x，能用x表示y吗？

提示：能．y＝log0.84x.

(3)“问题(2)”的等式中y是x的函数吗？

提示：是，符合函数的定义．　　　

　知识梳理　函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．

知识点二　对数函数的图象和性质

　(1)试作出y＝log2x和y＝logx的图象．

提示：如图所示：

(2) 两图象与x轴交点坐标是什么？

提示：交点坐标为(1,0)．

(3)两函数单调性如何？

提示：y＝log2x是增函数，y＝logx是减函数．

(4) 函数y＝2x与y＝log2x的图象有什么关系？定义域、值域有什么关系？

提示：图象关于直线y＝x对称，定义域和值域互换．　　　

　知识梳理　1.对数函数的图象与性质

2.对数函数与指数函数的关系

指数函数y＝ax和对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．

[自我检测]

1．下列函数是对数函数的是(　　)

A．y＝loga(2x)　　　　　　 B．y＝log22x

C．y＝log2x＋1  D．y＝lg x

解析：选项A、B、C中的函数都不具有“y＝logax(a>0，且a≠1)”的形式，只有D选项符合．

答案：D

2．函数y＝ln(1－x)的定义域为(　　)

A．(0,1)  B．[0,1)

C．(0,1]  D．[0,1]

解析：因为y＝ln(1－x)，所以解得0≤x<1.

答案：B

3．(1)函数y＝loga(x－1)＋1(a>0，且a≠1)恒过定点__________．

(2)若对数函数y＝log(1－2a)x，x∈(0，＋∞)是增函数，则a的取值范围为__________．

解析：(1)当x＝2时，y＝1，故恒过定点(2,1)．

(2)由1－2a＞1，得a＜0，

故a的取值范围为a＜0.

答案：(1)(2,1)　(2)a＜0

授课提示：对应学生用书第48页

探究一　对数函数的概念

[例1]　指出下列函数中哪些是对数函数？

(1)y＝logax2(a＞0且a≠1)；

(2)y＝log2x－1；

(3)y＝2log7x；

(4)y＝logxa(x＞0且x≠1)；

(5)y＝log5x.

[解析]　只有(5)为对数函数．

(1)中真数不是自变量x，∴不是对数函数；

(2)中对数式后减1，∴不是对数函数；

(3)中log7x前的系数是2，而不是1，

∴不是对数函数；

(4)中底数是自变量x，而非常数a，∴不是对数函数．

方法技巧　对数函数的判断：

判断一个函数是否是对数函数，必须严格符合形如y＝logax(a＞0且a≠1)的形式，即满足以下条件：

(1)系数为1.

(2)底数为大于0且不等于1的常数．

(3)对数的真数仅有自变量x.

跟踪探究　1.判断下列给出的函数是否是对数函数：

(1)y＝loga(a＞0，a≠1)；

(2)y＝log(x＋1)x；

(3)y＝log(－2)2x；

(4)y＝log2(x－3)；

(5)y＝3log2x＋1.

解析：(1)中的真数是，而不是x，故不是对数函数．

(2)中的底数是x＋1，而不是常数，故不是对数函数．

(3)中的底数是(－2)2＝4＞0，符合对数函数的定义，是对数函数．

(4)中的真数是(x－3)，而不是x，故不是对数函数．

(5)中log2x的系数是3而不是1，后边的常数是1而不是0，故不是对数函数．

探究二　对数函数的定义域

　[阅读教材P71例7]求下列函数的定义域：

(1)y＝logax2；(2) y＝loga(4－x)．

题型：求定义域

[例2]　求下列函数的定义域：

(1)y＝log5(1－x)；　(2)y＝log(1－x)5；

(3)y＝；　(4)y＝.

[解析]　(1)要使函数式有意义，需1－x>0，解得x<1，所以函数y＝log5(1－x)的定义域是{x|x<1}．

(2)要使函数式有意义，需解得x<1，且x≠0，所以函数y＝log(1－x)5的定义域是{x|x<1，且x≠0}．

(3)要使函数式有意义，需解得x<4，且x≠3，所以函数y＝的定义域是{x|x<4，且x≠3}．

(4)要使函数式有意义，需解得＜x≤1，所以函数y＝的定义域是.

方法技巧　求对数函数定义域应注意的问题：

定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1.

跟踪探究　2.求下列函数的定义域：

(1)y＝lg(x＋1)＋；

(2)y＝logx－2(5－x)．

解析：(1)要使函数式有意义，需∴

∴－1＜x＜1.∴该函数的定义域为(－1,1)．

(2)要使函数式有意义，需∴

∴2＜x＜5，且x≠3.

∴该函数的定义域为(2,3)∪(3,5)．

探究三　对数函数的图象问题

[例3]　(1)当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为(　　)

(2)已知f(x)＝loga|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象.

[解析]　(1)∵a>1，∴0<<1，∴y＝a－x是减函数，y＝logax是增函数，故选C.

(2) ∵f(x)＝loga|x|，∴f(－5)＝loga5＝1，即a＝5，

∴f(x)＝log5|x|，

∴f(x)是偶函数，其图象如图所示：

[答案]　(1)C　(2)见解析

延伸探究　1.把本例(1)的条件“a>1”去掉，函数“y＝logax”改为“y＝loga(－x)”，则函数y＝a－x与y＝loga(－x)的图象可能是(　　)

解析：∵在y＝loga(－x)中，－x＞0，∴x＜0，

∴图象只能在y轴的左侧，故排除A，D；

当a＞1时，y＝loga(－x)是减函数，

y＝a－x＝x是减函数，故排除B；

当0＜a＜1时，y＝loga(－x)是增函数，

y＝a－x＝x是增函数，∴C满足条件，故选C.

答案：C

2．把本例(2)改为f(x)＝|log2(x＋1)|＋2，试作出其图象．

解析：第一步：作y＝log2x的图象，如图(1)所示．

第二步：将y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得y＝log2(x＋1)的图象，如图(2)所示．

第三步：将y＝log2(x＋1)的图象在x轴下方的部分作关于x轴的对称变换，得y＝|log2(x＋1)|的图象，如图(3)所示．

第四步：将y＝|log2(x＋1)|的图象沿y轴向上平移2个单位长度，即得到所求的函数图象，如图(4)所示．

方法技巧　函数图象的变换规律

(1)一般地，函数y＝f(x±a)＋b(a，b为实数)的图象是由函数y＝f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度，再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的．

(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的．一般地，y＝f(|x－a|)的图象是关于直线x＝a对称的轴对称图形；函数y＝|f(x)|的图象与y＝f(x)的图象在f(x)≥0的部分相同，在f(x)<0的部分关于x轴对称．

授课提示：对应学生用书第50页

[课后小结]

1．判断一个函数是不是对数函数关键是分析所给函数是否具有y＝logax(a>0且a≠1)这种形式．

2．在对数函数y＝logax中，底数a对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质．

3．涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析．

[素养培优]

　忽略对数函数的定义域而出错

　设函数y＝f(x)，且lg(lg y)＝lg 3x＋lg(3－x)．

(1)求f(x)的表达式及定义域；

(2)求f(x)的值域．

易错分析：错解中没有考虑所给式子成立的条件，所求函数的定义域必须使原式有意义，不能仅根据去掉对数符号所得的解析式去确定函数的定义域．

自我纠正：(1)由题设知

即

因为lg(lg y)＝lg 3x＋lg(3－x)，

所以lg(lg y)＝lg[3x·(3－x)]，

即lg y＝3x·(3－x)，

所以f(x)＝103x(3－x)＝10－3x2＋9x，其中0＜x＜3，

即定义域为(0,3)．

(2)令u＝－3x2＋9x＝－32＋，0＜x＜3.

因为0＜－3x2＋9x≤，

所以1＜y≤10，

所以f(x)的值域为.