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高中数学3.4 基本不等式教学演示ppt课件
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这是一份高中数学3.4 基本不等式教学演示ppt课件，共48页。
主题 基本不等式的应用1.已知x,y都是正数,若x+y=s(和为定值),那么xy的取值范围是什么?
提示:方法一:因为x+y=s,所以x=s-y,所以xy=y(s-y)=-y2+sy= 又x>0,y>0,所以00,y>0,所以0
3.一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园,这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大?最大是多少?
提示:把矩形菜园的长、宽分别记为x,y,则2(x+y)=36,即x+y=18,由基本不等式得xy≤ =81,当且仅当x=y=9时,等号成立,即x=y=9 m时矩形菜园的面积最大,最大为81 m2.
结论:设x,y为正实数.(1)若x+y=s(定值),则当________时,xy有最大值____.(2)若xy=p(定值),则当________时,x+y有最小值____.
【拓展延伸】求条件最值的方法求条件最值是基本不等式的一个重要应用.应用基本不等式求最值时:①通过对所给式进行巧妙分拆、变形、组合、添加系数使之能够出现定值是解题的关键;②必须指出等号成立的条件.
【对点训练】1.设x>0,y>0且x+4y=40,则xy的最大值是( )A.100 B.50 C.40 D.20
【解析】选A.x·4y≤ =400,即xy≤100,当且仅当x=4y=20时,上式取等号.
2.若正数m,n满足2m+n=1,则 的最小值为( )A.3+2 B.3+ C.2+2 D.3
【解析】选A.由题意,因为2m+n=1,则 = ·(2m+n)=3+ ≥3+2 =3+2 ,当且仅当 ,即n= m时等号成立,所以 的最小值为3+2 .
3.若x>0,则y=4x+ 的最小值为________. 【解析】因为x>0,所以y=当且仅当4x= ,即x= 时,y=4x+ 取最小值.答案:12
类型一 利用基本不等式求最值、范围【典例1】(1)若正数a,b满足ab+a+b=3,则a+b的最小值为________. (2)(2019·天津高考改编)设x>0,y>0,x+2y=4,则 的最小值为________.
【解题指南】(1)利用基本不等式可得,ab≤ ,将ab+a+b=3转化成3≤ +(a+b),求解a+b的范围并检验等号成立即可.(2)先由x+2y=4,借助基本不等式求出xy≤2,再对 化简求解.
【解析】(1)因为a,b为正数,所以 ≤ 成立.所以ab≤ ,所以3=ab+a+b≤ +(a+b).即(a+b)2+4(a+b)-12≥0,
解得:a+b≥2或a+b≤-6(舍去).当 时,等号成立,即a=b=1时,等号成立.所以a+b的最小值为2.答案:2
(2)由x+2y=4,得x+2y=4≥2 ,得xy≤2， 当且仅当x=2y,即x=2,y=1时等号成立.故所求的最小值为 .答案:
【方法总结】1.利用基本不等式求最值的方法(1)若“一正二定三相等”中的条件满足时,直接用公式求解.(2)若条件不满足时,则需对条件作适当调整和转化,使其满足.
2.利用基本不等式求条件最值的方法
【跟踪训练】 设x>0,则函数y=x+ 的最小值为________.
【解析】y=x+ 当且仅当x+ = ,即x= 时等号成立.所以函数的最小值为0.答案:0
类型二 利用基本不等式求参数的值、范围【典例2】(1)若两个正实数x,y满足 =1,并且x+2y>m2+2m恒成立,则实数m的取值范围是( ) A.(-∞,-2)∪[4,+∞)B.(-∞,-4]∪[2,+∞)C.(-2,4)D.(-4,2)
(2)已知a>0,b>0,若不等式 恒成立,则m取最大值时, =________.
【解题指南】(1)根据基本不等式求出x+2y的最小值,从而得到关于m的不等式,进而求得m的取值范围.(2)利用分离常数法和基本不等式求出m的最大值,以及m取最大值时a与b的关系,再计算 的值.
【解析】(1)选D.x+2y=(x+2y) 当且仅当 ,即4y2=x2时等号成立.由x+2y>m2+2m恒成立,可知m2+2m<8,m2+2m-8<0,解得-4
【方法总结】运用基本不等式求参数的取值范围(1)若已知不等式,则要先将字母参数分离出来,转化为求函数的最值问题,从而求出参数的取值范围.(2)若是已知等式,则要用基本不等式得出关于参数的不等式,从而求出参数的取值范围.
【跟踪训练】已知函数f(x)=x+ +2的值域为(-∞,0]∪[4,+∞),则a的值是( )
【解析】选C.由已知若a≤0,则f(x)值域为R,所以a>0,①当x>0时,f(x)=x+ +2≥2 +2,当且仅当x= 时取等号;②当x<0时,f(x)=x+ +2≤-2 +2,当且仅当x=- 时取等号.所以 解得a=1.
【补偿训练】1.已知不等式(x+y) ≥16对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为( )A.1 B.2 C.4 D.6
【解析】选C.(x+y) =4+a+ ,因为x>0,y>0,a>0,所以 当且仅当 时取等号.由已知可得4+a+4 ≥16,即a+4 -12≥0,解得 ≥2或 ≤-6(舍去),所以a≥4,即a的最小值为4.
2.若对任意x>0, ≤a恒成立,则a的取值范围是________.
【解析】因为 当且仅当x=1时取等号,所以a∈ 答案:
类型三 基本不等式的实际应用【典例3】(2019·武汉高二检测)已知A,B两地的距离是130 km,每辆汽车的通行费为50元.按交通法规规定,A,B两地之间的公路车速应限制在50～100 km/h.假设汽油的价格是7元/L,一辆汽车的耗油率(L/h)与车速的平方成正比,如果此车的速度是90 km/h,那么汽车的
耗油率为22.5 L/h,司机每小时的工资是70元.从A地到B地最经济的车速是多少?如果不考虑其他费用,这次行车的总费用是多少(精确到1元)?
【解题指南】先设车速为x(500),又此车的速度是90 km/h时,汽车的耗油率为22.5 L/h,所以22.5=k×902,解得k= ,故m= x2,
因此,由题意可得,f(x)= x2× ×7+ ×70+50= x+ +50≥2 +50= +50≈353,当且仅当 x= ,即x=60时,f(x)取最小值.因此,从A地到B地最经济的车速是60 km/h,此时的行车总费用约为353元.
【方法总结】应用基本不等式解决实际问题的步骤(1)先理解题意,设出变量,一般把要求最值的量定为函数.(2)建立相应的函数关系,把实际问题抽象成函数的最大或最小值问题.
(3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值.(4)写出正确答案.
【跟踪训练】围建一个360 m2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修),其他三面围墙要新建,在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口,如图所示.已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位:m),修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位:元).
(1)将y表示为x的函数.(2)试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最少,并求出最少总费用.
【解题指南】(1)利用矩形的面积将矩形的另一边长也用x来表示,进而写出y与x的函数关系式.(2)在(1)的基础上利用基本不等式求出目标函数的最值.
【解析】(1)如图,设矩形的另一边长为a m, 则y=45x+180(x-2)+180·2a,由已知xa=360,得a= .所以y=225x+ -360
(2)因为x>0,所以225x+ =10 800.所以y=225x+ -360≥10 800-360=10 440,当且仅当225x= 时,等号成立.即当x=24 m时,修建围墙的总费用最少,最少总费用是10 440元.
主题 基本不等式的应用1.已知x,y都是正数,若x+y=s(和为定值),那么xy的取值范围是什么?
提示:方法一:因为x+y=s,所以x=s-y,所以xy=y(s-y)=-y2+sy= 又x>0,y>0,所以0
3.一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园,这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大?最大是多少?
提示:把矩形菜园的长、宽分别记为x,y,则2(x+y)=36,即x+y=18,由基本不等式得xy≤ =81,当且仅当x=y=9时,等号成立,即x=y=9 m时矩形菜园的面积最大,最大为81 m2.
结论:设x,y为正实数.(1)若x+y=s(定值),则当________时,xy有最大值____.(2)若xy=p(定值),则当________时,x+y有最小值____.
【拓展延伸】求条件最值的方法求条件最值是基本不等式的一个重要应用.应用基本不等式求最值时:①通过对所给式进行巧妙分拆、变形、组合、添加系数使之能够出现定值是解题的关键;②必须指出等号成立的条件.
【对点训练】1.设x>0,y>0且x+4y=40,则xy的最大值是( )A.100 B.50 C.40 D.20
【解析】选A.x·4y≤ =400,即xy≤100,当且仅当x=4y=20时,上式取等号.
2.若正数m,n满足2m+n=1,则 的最小值为( )A.3+2 B.3+ C.2+2 D.3
【解析】选A.由题意,因为2m+n=1,则 = ·(2m+n)=3+ ≥3+2 =3+2 ,当且仅当 ,即n= m时等号成立,所以 的最小值为3+2 .
3.若x>0,则y=4x+ 的最小值为________. 【解析】因为x>0,所以y=当且仅当4x= ,即x= 时,y=4x+ 取最小值.答案:12
类型一 利用基本不等式求最值、范围【典例1】(1)若正数a,b满足ab+a+b=3,则a+b的最小值为________. (2)(2019·天津高考改编)设x>0,y>0,x+2y=4,则 的最小值为________.
【解题指南】(1)利用基本不等式可得,ab≤ ,将ab+a+b=3转化成3≤ +(a+b),求解a+b的范围并检验等号成立即可.(2)先由x+2y=4,借助基本不等式求出xy≤2,再对 化简求解.
【解析】(1)因为a,b为正数,所以 ≤ 成立.所以ab≤ ,所以3=ab+a+b≤ +(a+b).即(a+b)2+4(a+b)-12≥0,
解得:a+b≥2或a+b≤-6(舍去).当 时,等号成立,即a=b=1时,等号成立.所以a+b的最小值为2.答案:2
(2)由x+2y=4,得x+2y=4≥2 ,得xy≤2， 当且仅当x=2y,即x=2,y=1时等号成立.故所求的最小值为 .答案:
【方法总结】1.利用基本不等式求最值的方法(1)若“一正二定三相等”中的条件满足时,直接用公式求解.(2)若条件不满足时,则需对条件作适当调整和转化,使其满足.
2.利用基本不等式求条件最值的方法
【跟踪训练】 设x>0,则函数y=x+ 的最小值为________.
【解析】y=x+ 当且仅当x+ = ,即x= 时等号成立.所以函数的最小值为0.答案:0
类型二 利用基本不等式求参数的值、范围【典例2】(1)若两个正实数x,y满足 =1,并且x+2y>m2+2m恒成立,则实数m的取值范围是( ) A.(-∞,-2)∪[4,+∞)B.(-∞,-4]∪[2,+∞)C.(-2,4)D.(-4,2)
(2)已知a>0,b>0,若不等式 恒成立,则m取最大值时, =________.
【解题指南】(1)根据基本不等式求出x+2y的最小值,从而得到关于m的不等式,进而求得m的取值范围.(2)利用分离常数法和基本不等式求出m的最大值,以及m取最大值时a与b的关系,再计算 的值.
【解析】(1)选D.x+2y=(x+2y) 当且仅当 ,即4y2=x2时等号成立.由x+2y>m2+2m恒成立,可知m2+2m<8,m2+2m-8<0,解得-4
【方法总结】运用基本不等式求参数的取值范围(1)若已知不等式,则要先将字母参数分离出来,转化为求函数的最值问题,从而求出参数的取值范围.(2)若是已知等式,则要用基本不等式得出关于参数的不等式,从而求出参数的取值范围.
【跟踪训练】已知函数f(x)=x+ +2的值域为(-∞,0]∪[4,+∞),则a的值是( )
【解析】选C.由已知若a≤0,则f(x)值域为R,所以a>0,①当x>0时,f(x)=x+ +2≥2 +2,当且仅当x= 时取等号;②当x<0时,f(x)=x+ +2≤-2 +2,当且仅当x=- 时取等号.所以 解得a=1.
【补偿训练】1.已知不等式(x+y) ≥16对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为( )A.1 B.2 C.4 D.6
【解析】选C.(x+y) =4+a+ ,因为x>0,y>0,a>0,所以 当且仅当 时取等号.由已知可得4+a+4 ≥16,即a+4 -12≥0,解得 ≥2或 ≤-6(舍去),所以a≥4,即a的最小值为4.
2.若对任意x>0, ≤a恒成立,则a的取值范围是________.
【解析】因为 当且仅当x=1时取等号,所以a∈ 答案:
类型三 基本不等式的实际应用【典例3】(2019·武汉高二检测)已知A,B两地的距离是130 km,每辆汽车的通行费为50元.按交通法规规定,A,B两地之间的公路车速应限制在50～100 km/h.假设汽油的价格是7元/L,一辆汽车的耗油率(L/h)与车速的平方成正比,如果此车的速度是90 km/h,那么汽车的
耗油率为22.5 L/h,司机每小时的工资是70元.从A地到B地最经济的车速是多少?如果不考虑其他费用,这次行车的总费用是多少(精确到1元)?
【解题指南】先设车速为x(50
因此,由题意可得,f(x)= x2× ×7+ ×70+50= x+ +50≥2 +50= +50≈353,当且仅当 x= ,即x=60时,f(x)取最小值.因此,从A地到B地最经济的车速是60 km/h,此时的行车总费用约为353元.
【方法总结】应用基本不等式解决实际问题的步骤(1)先理解题意,设出变量,一般把要求最值的量定为函数.(2)建立相应的函数关系,把实际问题抽象成函数的最大或最小值问题.
(3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值.(4)写出正确答案.
【跟踪训练】围建一个360 m2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修),其他三面围墙要新建,在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口,如图所示.已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位:m),修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位:元).
(1)将y表示为x的函数.(2)试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最少,并求出最少总费用.
【解题指南】(1)利用矩形的面积将矩形的另一边长也用x来表示,进而写出y与x的函数关系式.(2)在(1)的基础上利用基本不等式求出目标函数的最值.
【解析】(1)如图,设矩形的另一边长为a m, 则y=45x+180(x-2)+180·2a,由已知xa=360,得a= .所以y=225x+ -360
(2)因为x>0,所以225x+ =10 800.所以y=225x+ -360≥10 800-360=10 440,当且仅当225x= 时,等号成立.即当x=24 m时,修建围墙的总费用最少,最少总费用是10 440元.
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