人教版新课标A必修52.3 等差数列的前n项和随堂练习题

这是一份人教版新课标A必修52.3 等差数列的前n项和随堂练习题，共8页。

基础巩固
1在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…中,第25项为( ).
A.2B.6C.7D.8
解析:1+2+3+4+…+n=n(n+1)2,当n=6时,共21项,故第25项为7.
答案:C
2数列17,29,311,413,…的一个通项公式是( ).
A.an=n2n+3B.an=n2n-3
C.an=n2n+5D.an=n2n-5
答案:C
3已知数列{an}满足an+2=an+1+an,若a1=1,a5=8,则a3等于( ).
A.1B.2C.3D.72
解析:由an+2=an+1+an,a1=1,a5=8,得a3=a2+1,a4=a3+a2,消去a2得a4=2a3-1.又a5=a4+a3=8,即8=3a3-1,所以a3=3.故选C.
答案:C
4已知数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n+1,n∈N*,则它的通项公式为 .
解析:当n=1时,a1=S1=0;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2-3n+1-[2(n-1)2-3(n-1)+1]=4n-5,
故an=0,n=1,4n-5,n≥2.
答案:an=0,n=1,4n-5,n≥2
5在数列{an}中,a1=1,a2=5,an+2=an+1-an(n∈N*),则a2 022= .
解析:∵a1=1,a2=5,an+2=an+1-an,
∴a1=1,a2=5,a3=4,a4=-1,a5=-5,a6=-4,a7=1,a8=5.
∴数列{an}是周期数列,周期为6.
∴a2 022=a6×337=a6=-4.
答案:-4
6在数列{an}中,a1=2,an+1=an+n+1,则通项an= .
解析:∵an+1=an+n+1,∴an+1-an=n+1.
∴a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,…,an-an-1=n,各式相加得an-a1=2+3+4+…+n=(n+2)(n-1)2.
又a1=2,∴an=(n+2)(n-1)2+2=n2+n+22.
答案:n2+n+22
7已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足lg2(Sn+1)=n+1,则an= .
解析:∵lg2(Sn+1)=n+1,∴Sn=2n+1-1.
当n=1时,a1=S1=3;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+1-2n=2n.
∵当n=1时,上式不满足,
∴an=3,n=1,2n,n≥2.
答案:3,n=1,2n,n≥2
8根据下列条件,求数列的通项公式an.
(1)在数列{an}中,a1=1,an+1=an+2n;
(2)在数列{an}中,an+1=n+2n·an,a1=4.
解(1)∵an+1=an+2n,
∴an+1-an=2n.
∴a2-a1=2,a3-a2=22,a4-a3=23,…,
an-an-1=2n-1,以上各式两边分别相加得
an-a1=2+22+23+…+2n-1=2(1-2n-1)1-2=2n-2.
又a1=1,∴an=2n-2+1=2n-1.
(2)∵an+1=n+2n·an,∴an+1an=n+2n.
∴a2a1=31,a3a2=42,a4a3=53,a5a4=64,…,anan-1=n+1n-1.
以上各式两边分别相乘得
ana1=n(n+1)1×2=n(n+1)2.
又a1=4,∴an=2n(n+1).
9已知{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}满足b1=1, b2=13,anbn+1+bn+1=nbn.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求{bn}的前n项和.
解(1)由已知,a1b2+b2=b1,b1=1,b2=13,得a1=2.
所以数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为an=3n-1.
(2)由(1)和anbn+1+bn+1=nbn,得bn+1=bn3,
因此{bn}是首项为1,公比为13的等比数列.
记{bn}的前n项和为Sn,
则Sn=1-13n1-13=32-12×3n-1.
能力提升
1在数列{an}中,an+1=an1+3an,a1=2,则a4等于( )
答案:B
2已知数列{an}满足条件12a1+122a2+123a3+…+12nan=2n+5,则数列{an}的通项公式为( )
A.an=2n+1B.an=14(n=1)2n+1(n≥2)
C.an=2nD.an=2n+2
解析:由题意可知,数列{an}满足条件12a1+122a2+123a3+…+12nan=2n+5,
则12a1+122a2+123a3+…+12n-1an-1=2(n-1)+5,n>1,
两式相减,得an2n=2n+5-2(n-1)-5=2,
∴an=2n+1,n>1,n∈N*.
当n=1时,a12=7,∴a1=14.
综上可知,数列{an}的通项公式为
an=14(n=1),2n+1(n≥2).故选B.
答案:B
3已知n∈N*,给出4个表达式:①an=0,n为奇数,1,n为偶数,②an=1+(-1)n2,③an=1+csnπ2,④an=sinnπ2.其中能作为数列:0,1,0,1,0,1,0,1,…的通项公式的是( ).
A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④
解析:经检验知①②③都是所给数列的通项公式,故选A.
答案:A
4已知在数列{an}中,a1=1,(2n+1)an=(2n-3)an-1(n≥2),则数列{an}的通项公式为 .
解析:由(2n+1)an=(2n-3)an-1,
可得anan-1=2n-32n+1(n≥2),
所以a2a1=15,a3a2=37,a4a3=59,a5a4=711,…,anan-1=2n-32n+1(n≥2).
上述各式左右两边分别相乘得ana1=1×3(2n-1)(2n+1)(n≥2),故an=3(2n-1)(2n+1)(n≥2).
又a1=1满足上式,所以数列{an}的通项公式为an=3(2n-1)(2n+1)(n∈N*).
答案:an=3(2n-1)(2n+1)
★5若数列{an}满足a1=23,a2=2,3(an+1-2an+an-1)=2,则数列{an}的通项公式为 .
解析:由3(an+1-2an+an-1)=2可得an+1-2an+an-1=23,即(an+1-an)-(an-an-1)=23,
所以数列{an+1-an}是以a2-a1=43为首项,23为公差的等差数列,
所以an+1-an=43+23(n-1)=23(n+1).
故an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)
=a1+23(2+3+…+n)=13n(n+1).
答案:an=13n(n+1)
6已知在数列{an}中,an+1=2an+3·2n+1,且a1=2,则数列{an}的通项公式为 .
解析:∵an+1=2an+3·2n+1,
∴an+12n+1=an2n+3,即an+12n+1-an2n=3.
∴数列an2n是公差为3的等差数列.
又a12=1,∴an2n=1+3(n-1),
∴an=(3n-2)·2n.
答案:an=(3n-2)·2n
7已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1.
(1)证明an+12是等比数列,并求{an}的通项公式;
(2)证明1a1+1a2+…+1an<32.
(1)解由an+1=3an+1,得an+1+12=3an+12.
又a1+12=32,所以an+12是首项为32,公比为3的等比数列.
an+12=3n2,因此{an}的通项公式为an=3n-12.
(2)证明由(1)知1an=23n-1.
因为当n≥1时,3n-1≥2×3n-1,
所以13n-1≤12×3n-1.
于是1a1+1a2+…+1an≤1+13+…+13n-1=321-13n<32.
所以1a1+1a2+…+1an<32.
★8设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=4an-3(n=1,2,…).
(1)证明:数列{an}是等比数列;
(2)若数列{bn}满足bn+1=an+bn(n=1,2,…),b1=2,求数列{bn}的通项公式.
(1)证明因为Sn=4an-3(n=1,2,…),
所以Sn-1=4an-1-3(n=2,3,…),
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4an-4an-1,
整理,得anan-1=43.
由Sn=4an-3,令n=1,得a1=4a1-3,解得a1=1.
所以数列{an}是首项为1,公比为43的等比数列.
(2)解由(1)得an=43n-1,
由bn+1=an+bn(n=1,2,…),
得bn+1-bn=43n-1.
则bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1)
=2+1-43n-11-43=3×43n-1-1.