高中数学人教版新课标A必修52.3 等差数列的前n项和学案

这是一份高中数学人教版新课标A必修52.3 等差数列的前n项和学案，共5页。学案主要包含了学习目标，自主预习，互动探究，课堂练习等内容，欢迎下载使用。

1．理解等差数列前n项和公式的推导方法．
2．掌握等差数列前n项和公式.
3．能利用等差数列前n项和公式解决实际问题．
【自主预习】
1．数列的前n项和
(1)定义：对于数列{an}，一般地，称a1＋a2＋a3＋…＋an为数列{an}的前n项和．
(2)表示：常用符号Sn表示，即Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an.
2．等差数列的前n项和公式
【互动探究】
等差数列前n项和的基本运算
(1)设Sn是等差数列{an}(n∈N*)的前n项和，且a1＝1，a4＝7，则S5＝________；
(2)已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，n∈N*.若a3＝16，S20＝20，则S10的值为________．
解析：(1)设{an}的公差为d．
依题意有a1＋3d＝7.而a1＝1，所以d＝2．
于是S5＝5a1＋eq \f(5×4,2)d＝5×1＋eq \f(5×4,2)×2＝25．
(2)设数列{an}的首项为a1，公差为d．
依题意可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＋2d＝16，,20a1＋\f(20×19,2)d＝20，))
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＋2d＝16，,2a1＋19d＝2.))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝20，,d＝－2.))因此S10＝10a1＋eq \f(10×9,2)d＝10×20＋eq \f(10×9,2)×(－2)＝110．
答案：(1)25 (2)110
等差数列性质与前n项和公式的综合运用
在等差数列{an}中，
(1)已知a2＋a5＋a12＋a15＝36，求S16；
(2)已知a6＝20，求S11；
(3)已知前4项之和是40，最后4项之和为80，所有项之和是210，求项数n．
解：(1)因为a2＋a15＝a5＋a12＝a1＋a16＝18，
所以S16＝eq \f(16a1＋a16,2)＝8×18＝144．
(2)因为a1＋a11＝2a6，
所以S11＝eq \f(11a1＋a11,2)＝11a6＝11×20＝220．
(3)因为a1＋a2＋a3＋a4＝40，
an－3＋an－2＋an－1＋an＝80，
所以4(a1＋an)＝40＋80，即a1＋an＝30．
又因为Sn＝eq \f(a1＋ann,2)＝210，
所以n＝eq \f(2×210,a1＋an)＝14．
数列求和的实际应用问题
某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150 元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？
解：设每次交款数额依次为a1，a2，…，a20，
则a1＝50＋1 000×1%＝60(元)，
a2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5(元)，
…
a10＝50＋(1 000－9×50)×1%＝55.5(元)，
即第10个月应付款55.5元．
因为{an}是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列，所以有S20＝eq \f(60＋60－19×0.5,2)×20＝1 105(元)，
即全部付清后实际付款1 105＋150＝1 255(元)．
【课堂练习】
1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若a4＝18－a5，则S8等于( )
A．72 B．54
C．36 D．18
解析：由a4＝18－a5，可得a4＋a5＝18.所以S8＝eq \f(8a1＋a8,2)＝4(a4＋a5)＝4×18＝72.故选A．
答案：A
2．(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝( )
A．－12 B．－10
C．10 D．12
解析：设等差数列{an}的公差为d.由3S3＝S2＋S4，
得3eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(3a1＋\f(3×3－1,2)×d))＝2a1＋eq \f(2×2－1,2)×d＋4a1＋eq \f(4×4－1,2)×d.将a1＝2代入上式，解得d＝－3．
故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10.故选B．
答案：B
3．等差数列{an}中，a3＝－5，a6＝1，设Sn是数列{an}的前n项和，则S8＝________．
解析：方法一 设首项为a1，公差为d，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＋2d＝－5，,a1＋5d＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝－9，,d＝2.))
所以S8＝8a1＋28d＝－16．
方法二 S8＝eq \f(8a1＋a8,2)＝eq \f(8a3＋a6,2)＝4×(－5＋1)＝－16．
答案：－16
4．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a6＝S3＝12，则{an}的通项公式为an＝________________________．
解析：设{an}的公差为d，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＋5d＝12，,3a1＋\f(3×2,2)d＝12.))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝2，,d＝2.))
于是an＝2＋(n－1)×2＝2n．
答案：2n
5．已知等差数列{an}中，
(1)a1＝eq \f(3,2)，d＝－eq \f(1,2)，Sn＝－15，求n及an；
(2)a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求d．
解：(1)由Sn＝n×eq \f(3,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))×eq \f(nn－1,2)＝－15，
整理得n2－7n－60＝0．
解得n＝12或n＝－5(舍去)．
a12＝eq \f(3,2)＋(12－1)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－4．
所以n＝12，an＝a12＝－4．
(2)由Sn＝eq \f(na1＋an,2)＝eq \f(n1－512,2)＝－1 022，解得n＝4．
又由an＝a1＋(n－1)d，即－512＝1＋(4－1)d，解得d＝－171．
已知量
首项、末项与项数
首项、公差与项数
求和公式
Sn＝eq \f(na1＋an,2)
Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d