专题2.2 导数定调情况多，参数分类与整合-2020届高考数学压轴题讲义(解答题)（解析版）

【题型综述】

用导数研究函数的单调性

（1）用导数证明函数的单调性

证明函数单调递增（减），只需证明在函数的定义域内（）0

（2）用导数求函数的单调区间[来源:学,科,网]

求函数的定义域→求导→解不等式＞0得解集→求，得函数的单调递增（减）区间．

一般地，函数在某个区间可导，＞0在这个区间是增函数[来源:Zxxk.Com]

一般地，函数在某个区间可导，＜0在这个区间是减函数

（3）单调性的应用（已知函数单调性）

一般地，函数在某个区间可导，在这个区间是增(减)函数≥

1、利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤：

(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；

(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；

(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．

2、求函数的单调区间的“两个”方法

方法一：(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)；

(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；[来源:学科网]

(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．

方法二：(1)确定函数y＝f(x)的定义域；

(2)求导数y′＝f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；

(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；

(4)确定f′(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．

3、由函数的单调性求参数的取值范围的方法

（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上(或)(在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；

（2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是(或)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；

（3）若已知在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围．

【典例指引】

例1．已知函数，为函数的导函数．

(1)设函数的图象与x轴交点为A，曲线y=f(x)在A点处的切线方程是，求的值；

(2)若函数，求函数的单调区间．

[来源:Z.xx.k.Com]

(Ⅱ)．

①当时，， 学科*网                                         

的单调递增区间为，单调递减区间为 

(ⅱ)当，即时，，

故在单调递减； 

(ⅲ)当，即时，

在上单调递增，在，上单调递减 

综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；

当时，的单调递增区间为，单调递减区间为

当，的单调递减区间为学科*网

当时，的单调递增区间为，单调递减区间为、

例2．已知函数，．

（1）求函数的单调区间；

【思路引导】

（1）先确定函数的定义域，求导后得，根据正负进行讨论，可得函数的单调区间；

试题解析：（1）函数的定义域为．

由题意得，

当时， ，则在区间内单调递增；

当时，由，得或（舍去），

当时，，单调递增，

当时，，单调递减．

所以当时， 的单调递增区间为，无单调递减区间；

当时， 的单调递增区间为，单调递减区间为．学科*网

例3．已知函数， ，（其中， 为自然对数的底数， ……）．

（1）令，求的单调区间；

【思路引导】

（1）求导函数的导数得，再根据是否变号进行分类讨论单调性：当时，导函数不变号，为单调递增；当时，导函数先负后正，对应单调区间为先减后增．

所以的减区间为 ，增区间为

综上可得，当时， 在上单调递增

当时， 的增区间为，减区间为．学科*网

例4．已知函数其中实数为常数且．

（I）求函数的单调区间；

【思路引导】

（1）利用导数并结合实数的不同取值求解单调区间；

例5．已知函数．

（1）讨论的单调性；

【思路引导】

（1）求出，分类讨论，分别由可得增区间，由可得减区间

【新题展示】

1．【2019广东广州天河区综合测试（一)】设函数．

求函数的单调区间和极值．

若函数在区间内恰有两个零点，求a的取值范围．

【思路引导】

求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间和极值即可；

通过讨论a的范围，若满足在区间内恰有两个零点，需满足，解出即可．

【解析】

由，得，

当时，，函数在上单调递增，函数无极大值，也无极小值；

当时，由，得或舍去．

于是，当x变化时，与的变化情况如下表：[来源:学科网]

所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是．

函数在处取得极小值，无极大值．

综上可知，当时，函数的单调递增区间为，函数既无极大值也无极小值；

当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间为，

函数有极小值，无极大值．

则需满足，即整理得，所以．

故所求a的取值范围为

2．【2019河北五个一名校联盟一诊】已知函数

（1）讨论函数的单调性；

（2）令，若对任意的，恒有成立，求实数的最大整数.

【思路引导】

（1）

（2）由 成立转化为，分离k,构造函数求最值即可.

【解析】

（1）此函数的定义域为，

（1）当时， 在上单调递增，

（2）当时， 单调递减， 单调增

综上所述：当时，在上单调递增

当时， 单调递减， 单调递增.

3．【2019安徽六校教育研究会联考】已知函数．

（Ⅰ）若f(x)在定义域内单调递增，求实数a的范围；

（Ⅱ）设函数，若至多有一个极值点，求a的取值集合．

【思路引导】

(Ⅰ)由题意可得，即，令，利用导数判断的单调性，求出其最小值即可；（Ⅱ）求出的导数，当时，是唯一的极小值点，当时，无极值点，从而可得结果.

【解析】

（Ⅱ），．

当时，由且，故是唯一的极小值点；

令得.

当时，，恒成立，无极值点．

故．

4．【2019山西太原期末】已知函数，.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.

【思路引导】

（1）由题意，求得，令，分类讨论，即可求得函数的单调区间；

（2）由（1）根据函数的单调性，求得函数的最值，令，得到，即可求解.

【解析】

（1）定义域， ，

令，，

当时，，， 则在单调递增，

当时，，，，，则在单调递增；

，，，则在单调递减.

综上述：当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减

（2）由（1）可知，当时，在单调递增，

又，不可能满足题意，舍去.

当时，在单调递增，在单调递减.若恒成立，

则 ，令，

则，解得，即，故，

综上述：.

【同步训练】

1．已知

（1）若 ，且函数 在区间 上单调递增，求实数a的范围；

【思路引导】

（1）求导后根据函数在区间单调递增，导函数大于或等于0（2）先判断为一个零点，然后再求导，根据，化简求得另一个零点。

③，即时，

  即，解之得，所以

  综上所述，当 函数在区间 上单调递增．学科*网

2．已知函数．

(1)讨论的单调性；

【思路引导】

（1）对函数进行求导分解因式可得 ，分为和讨论导数与0的关系，得到单调性；

3．设函数

（1）讨论的单调性；

【思路引导】

（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），，对m分类讨论即可得出．

试题解析：（1）函数定义域为，

当时， ，∴在上单调递增；

当时， 得，

∴在上单调递增；在上单调递减.

点评：讨论函数的单调性即讨论导函数的正负，导函数中有参数m，需要对m进行讨论，来判断正负；

4．已知函数 ，其中 (为自然对数的底数).

（Ⅰ）讨论函数的单调性，并写出相应的单调区间；

【思路引导】

(I)求出，对和分别讨论单调性，求出单调区间;

 5．已知函数， ．

（1）求函数的单调区间；

【思路引导】

（1）先确定函数的定义域，求导后得，根据正负进行讨论，可得函数的单调区间；

6．已知函数，其中为自然对数的底数.[来源:学+科+网Z+X+X+K]

（1）讨论函数在区间上的单调性；

【思路引导】

（1）求出，讨论三种情况， ， ，分别令可得增区间， 可得减区间；

试题解析：（1），①当时，，，在上单调递增，②当时，，，在上单调递增，③当时， 时，，在上单调递增，时，，在上单调递减，④当时，，，在上单调递增，综上所述，当或时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减

7．设函数．

（1）讨论函数的单调性；[来源:学#科#网]

（2）若，求函数的最值．

【思路引导】

（1）先求导，分类讨论即可求出函数的单调区间；（2）求导，根据导数和函数的最值得关系即可求出，注意分类讨论．

④若，则恒成立，所以函数在上单调递减.

（2）若，

①当时， ，由（1）得，函数在上单调递增，在上单调递减，

故时，函数有最大值，无最小值；

②当时， ，由（1）得，函数在上单调递增，在上单调递减，

故时，函数有最小值，无最大值.

8．已知函数f(x)＝ln (x＋1)－ －x，a∈R.

(1)当a>0时，求函数f(x)的单调区间；

【思路引导】

（1）先求导数，转化研究二次函数符号变化规律：当判别式非正时，导函数不变号；当判别式大于零时，定义域上有两个根 ，导函数符号先负再正再负.

9．已知常数，函数.

(1)讨论在区间上的单调性；

【思路引导】

(1)结合函数的解析式可得，分类讨论有：

当时，在区间上单调递增；

当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增；[来源:Zxxk.Com]

试题解析：（1）

当时，此时，在区间上单调递增

当时，，得

当时，；时，；

故在区间上单调递减，在区间上单调递增

综上所述，当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增

点评：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出．

10．已知函数.

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数的单调区间；

（3）设函数.若对于任意，都有成立，求实数的取值范围.

【思路引导】

（1）代入，求导，可求出切线方程。（2）因为.又因为，的两根>0，所以分与与三类讨论单调性。（3）由成立，即，变形.，所以只需。