专题3.11 切线处理情况多，曲线不同法定度-2020届高考数学压轴题讲义(解答题)（解析版）

这是一份专题3.11 切线处理情况多，曲线不同法定度-2020届高考数学压轴题讲义(解答题)（解析版），共29页。

【题型综述】
圆锥曲线的切线问题有两种处理思路：思路1，导数法，将圆锥曲线方程化为函数，利用导数法求出函数在点处的切线方程，特别是焦点在轴上常用此法求切线；思路2，根据题中条件设出切线方程，将切线方程代入圆锥切线方程，化为关于（或y）的一元二次方程，利用切线与圆锥曲线相切的充要条件为判别式，即可解出切线方程，注意关于（或y）的一元二次方程的二次项系数不为0这一条件，圆锥曲线的切线问题要根据曲线不同，选择不同的方法.
【典例指引】
类型一 导数法求抛物线切线
例1 【2017课表1，文20】设A，B为曲线C：y=上两点，A与B的横坐标之和为4．
（1）求直线AB的斜率；
（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AMBM，求直线AB的方程．

类型二 椭圆的切线问题
例2（2014广东20）（14分）已知椭圆的一个焦点为，离心率为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若动点为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.
类型三 直线与椭圆的一个交点
例3.【2013年高考安徽卷】已知椭圆的焦距为4，且过点.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设为椭圆上一点，过点作轴的垂线，垂足为.取点,连接，过点作的垂线交轴于点.点是点关于轴的对称点，作直线，问这样作出的直线是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由.
【解析】（1）因为椭圆过点
且 学*科网
椭圆C的方程是
（2）

由题意，各点的坐标如上图所示，
则的直线方程：
化简得
又，学*科网
所以带入
求得最后
所以直线与椭圆只有一个公共点.
类型四 待定系数求抛物线的切线问题
例4 【2013年高考广东卷】已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为．设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点．
(1) 求抛物线的方程；
(2) 当点为直线上的定点时，求直线的方程；
(3) 当点在直线上移动时，求的最小值．


（3）由抛物线的定义可知，
所以
联立，消去得，




当时，取得最小值为学*科网
【扩展链接】
1. 椭圆的切线方程：椭圆上一点处的切线方程是；椭圆外一点所引两条切线方程是.
2. 双曲线的切线方程：双曲线上一点处的切线方程是；双曲线上一点所引两条切线方程是.
3. 抛物线的切线方程：抛物线上一点处的切线方程是；抛物线上一点所引两条切线方程是.
4.设抛物线的焦点为，若过点的直线分别与抛物线相切于两点，则.
5.设椭圆:的焦点为，若过点的直线分别与椭圆相切于两点，则.
6.设双曲线:的焦点为，若过点的直线分别与椭圆相切于两点，则.
【新题展示】
1．【2019福建龙岩质检】已知椭圆的两焦点为、，抛物线：（）的焦点为，为等腰直角三角形．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）已知过点的直线与抛物线交于两点，又过作抛物线的切线，使得，问这样的直线是否存在？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．
【思路引导】
（Ⅰ）先写出、的坐标，利用为等腰直角三角形，求得p即可．
（Ⅱ）依题意，直线l的斜率必存在，设直线l的方程为y＝k（x+2），，可得切线l1，l2的斜率分别为，．x1x2＝﹣4．再将直线与抛物线联立，结合韦达定理解得k即可．
【解析】
（Ⅰ）椭圆，，两焦点为，，
∵为等腰直角三角形，，， [来源:Z+xx+k.Com]
（Ⅱ）过点的直线与抛物线交于两点，的斜率必存在，
设直线的方程为，
由得
，或
抛物线方程得为所以
切线的斜率分别为，
当时，，即
又，解得合题意，
所以存在直线的方程是，即
2．【2019河南九师联盟2月质检】已知点是抛物线：的焦点，点是抛物线上的定点，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）直线与抛物线交于不同两点，，且（为常数），直线与平行，且与抛物线相切，切点为，试问的面积是否是定值．若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
【思路引导】
（1）先设出点M的坐标，表示出，求得M坐标，带入抛物线方程，求得p的值，得出结果．
（2）先设直线AB的方程，联立求解得AB中点Q的坐标为，再设切线方程，联立得切点的坐标为，再利用面积公式和已知条件，进行计算化简可得结果．
【解析】
（1）设，由题知，所以．
所以，即．
代入中得，解得．
所以抛物线的方程为．
（2）由题意知，直线的斜率存在，设其方程为．
由，消去，整理得，
则，．
∴，
设的中点为，
则点的坐标为．
由条件设切线方程为，
由，消去整理得．
∵直线与抛物线相切，
∴．
∴．
∴，∴，∴．
∴切点的坐标为．
∴轴，∴．
∵，
又∵．
∴．
∴ ．
∵为常数，∴的面积为定值，且定值为．
3．【2019东北师大附中、重庆一中、吉大附中、长春十一中联考】已知椭圆的离心率为，右焦点为，且椭圆过点．
（I）求椭圆的方程；
（II）若点分别为椭圆的左右顶点，点是椭圆上不同于的动点，直线与直线x=a交于点，证明：以线段为直径的圆与直线相切．
【思路引导】
（I）设椭圆的焦距为，依题意，列出方程组，求得的值，即可求解椭圆的标准方程；
（II）方法一 ①设点的坐标为，当时，得到直线的方程，求得点的坐标， 进而求得线段的中点为，利用点到直线的距离等于半径，即可证明；②又由可得点Q的坐标，求得线段中点的坐标，利用圆心到直线的距离等于半径，可作出证明．
方法二：依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，联立方程组，利用根与系数的关系，求得点P的坐标，进而求得以为直径的圆的圆心坐标为，半径为，再由直线与圆的位置关系的判定，即可得到结论．
【解析】
（I）设椭圆的焦距为，依题意，，
解得，，，故椭圆C的标准方程为．
（II）方法一①设点的坐标为，，
因为在椭圆上，，，
由两点的坐标为，直线的方程为：，
当时，则点的坐标为，
设线段的中点为，则点的坐标为，有，
直线的方程为：，整理为，
由，
则点到直线的距离为
，[来源:Zxxk.Com]
由，故以为直径的圆与直线相切．
②若时，则点的坐标为或，直线的方程为，直线的方程为或．将代入直线的方程得点的坐标为或，线段中点的坐标为或，所以．又点到直线的距离
由，故以为直径的圆与直线相切．
方法二：由（I）知．
依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，
设点的坐标为，由，消去得．
，，
的坐标为．
因为直线与交点为，的坐标为，，
所以以为直径的圆的圆心坐标为，半径为．
①当直线的斜率存在，即，时，
直线的方程为，即，整理得
设圆心到直线的距离为，则

所以以为直径的圆与直线相切．
②当直线的斜率不存在即时，此时直线的方程为．
圆心坐标为，圆的半径为，此时以为直径的圆与直线相切．
4．【2019河南洛阳一模】已知圆，圆心在抛物线上，圆过原点且与的准线相切．
（1）求抛物线的方程；
（2）点，点（与不重合）在直线上运动，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，求证：．
【思路引导】
(1)根据圆和抛物线的位置关系，以及圆和准线相切这一条件得到方程，，从而得到结果；（2）求出两条切线方程，再抽出方程，其两根为切点的横坐标，，通过韦达定理得到结果即可．
【解析】
（1）∵圆与抛物线准线相切，
∴．
又圆过和原点，
∴．
∴，解得．
∴抛物线的方程为．
（2）设，，方程为．
∴，
∴抛物线在点处的切线的斜率，
∴切线的方程为，
即，
化简得：，
又因过点，故可得，
即．
同理可得：．
∴为方程的两根，
∴，．
∴

∴．
5．【2019江苏如皋调研（三)】在平面直角坐标系中，已知定点，点在轴上运动，点在轴上运动，点为坐标平面内的动点，且满足，．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过曲线第一象限上一点（其中）作切线交直线于点，连结并延长交直线于点，求当面积取最大值时切点的横坐标．
【思路引导】
（1）设，，．因为，，所以，，，得．
（2）切线：，将代入得，直线：，将代入得，
所以，由，得，
设，求取最小值时，的取值即为所求
【解析】
（1）设，，．因为，，
所以，，，所以．
（2）切线：，将代入得，
直线：，将代入得，
，
因为在抛物线上且在第一象限，
所以，所以，
设，
，，，．

【同步训练】
1．已知椭圆与抛物线y2=2px（p＞0）共焦点F2，抛物线上的点M到y轴的距离等于|MF2|﹣1，且椭圆与抛物线的交点Q满足|QF2|=．
（1）求抛物线的方程和椭圆的方程；
（2）过抛物线上的点P作抛物线的切线y=kx+m交椭圆于A、B两点，求此切线在x轴上的截距的取值范围．
【思路点拨】（1）由抛物线的性质，求得x=﹣1是抛物线y2=2px的准线，则，求得p的值，求得焦点坐标，代入抛物线方程求得Q点坐标，利用椭圆的定义，即可求得a的值，由b2=a2﹣c2=8，即可求得椭圆方程；
（2）将直线分别代入抛物线，由△=0，求得km=1，将直线方程代入椭圆方程，求得△＞0，代入即可求得m的取值范围，切线在x轴上的截距为，又，即可求得切线在x轴上的截距的取值范围．


（ 2）显然k≠0，m≠0，
由，消去x，得ky2﹣4y+4m=0，
由题意知△1=16﹣16km=0，得km=1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）
由，消去y，得（9k2+8）x2+18kmx+9m2﹣72=0，
其中（9k2+8）（9m2﹣72）＞0，
化简得9k2﹣m2+8＞0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
又，得m4﹣8m2﹣9＜0，解得0＜m2＜9，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
切线在x轴上的截距为，又，学*科网
∴切线在x轴上的截距的取值范围是（﹣9，0）．﹣﹣（12分）
2.（2017•鸡泽县校级模拟）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其中一个顶点是双曲线﹣=1的焦点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点P（0，3）的直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，过点A，B分别作椭圆的两条切线，求其交点的轨迹方程．
【思路点拨】（1）由椭圆的离心率为，其中一个顶点是双曲线﹣=1的焦点，旬出方程组求出a，b，c，由此能求出椭圆C的标准方程．
（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+3，设A（x1，y1），B（x2，y2），求出椭圆在点A处的切线方程为=1，①椭圆在点B处的切线方程为=1，②，联立①②，得y=，求出交点的轨迹方程为y=．当直线l的斜率不存在时，无交点．由此能过求出过点A，B所作椭圆的两条切线的交点的轨迹方程．
（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+3，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
设在A（x1，y1）处切线方程为y﹣y1=k1（x﹣x1），
与椭圆C：=1联立，
消去y，得（）x2+8k1（﹣k1x1+y1）x+4（﹣k1x1+y1）2﹣75=0，
由△=0，得[8k1（﹣k1x1+y1）]2﹣4（4+3）[4（﹣k1x1+y1）2﹣75]=0，
化简，得（），学*科网
由，得4x12﹣100=﹣，4y12﹣75=﹣3x12，
∴上式化为﹣=0，


3.设椭圆C：+=1（a＞b＞0），定义椭圆的“伴随圆”方程为x2+y2=a2+b2；若抛物线x2=4y的焦点与椭圆C的一个短轴重合，且椭圆C的离心率为．
（1）求椭圆C的方程和“伴随圆”E的方程；
（2）过“伴随圆”E上任意一点P作椭圆C的两条切线PA，PB，A，B为切点，延长PA与“伴随圆”E交于点Q，O为坐标原点．
①证明：PA⊥PB；
②若直线OP，OQ的斜率存在，设其分别为k1，k2，试判断k1k2是否为定值，若是，求出该值；若不是，请说明理由．
【思路点拨】（1）由抛物线的方程，求得b的值，利用离心率公式，即可求得a的值，求得椭圆方程；
（2）①设直线y=kx+m，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式，即可求得kPA•kPB=﹣1，即可证明PA⊥PB；
②将直线方程代入圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式求得k1k2=，代入即可求得k1k2=﹣．


当切线的斜率不存在或等于零结论显然成立，
∴PA⊥PB，
②当直线PQ的斜率存在时，
由①可知直线PQ的方程为y=kx+m，
，整理得：（k2+1）x2+2kmx+m2﹣4=0，
则△=4k2m2﹣4（k2+1）（m2﹣4），将m2=3k2+1，代入整理△=4k2+12＞0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1•x2=，
∴k1k2===，
=，学*科网
将m2=3k2+1，即可求得求得k1k2=﹣，
当直线PQ的斜率不存在时，易证k1k2=﹣，
∴综上可知：k1k2=﹣．学*科网
4.左、右焦点分别为F1、F2的椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点Q（0，），P为椭圆上一点，△PF1F2的重心为G，内心为I，IG∥F1F2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）M为直线x﹣y=4上一点，过点M作椭圆C的两条切线MA、MB，A、B为切点，问直线AB是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
【思路点拨】（1）由过点Q，则b=，求得，△PF1F2的重心为G点坐标，由IG∥F1F2，|y0|=3r，根据三角形的面积公式可知a=2c，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（2）利用椭圆的切线发浓缩，求得直线AB的方程，由点M为直线x﹣y=4上，代入整理即可求得定点坐标．
（2）设M（x1，y1），A（x2，y2），B（x3，y3）则切线MA，MB的方程分别为，．…（7分）
∵点M在两条切线上，
∴，，
故直线AB的方程为．…（9分）
又∵点M为直线x﹣y=4上，
∴y1=x1﹣4
即直线AB的方程可化为，整理得（3x+4y）x1=16y+12，
由解得，学*科网
因此，直线AB过定点．…（12分）
5.平面直角坐标系xoy中，椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为，过椭圆右焦点F作两条相互垂直的弦，当其中一条弦所在直线斜率为0时，两弦长之和为6．
（1）求椭圆的方程；
（2）A，B是抛物线C2：x2=4y上两点，且A，B处的切线相互垂直，直线AB与椭圆C1相交于C，D两点，求弦|CD|的最大值．
【思路点拨】（1）由椭圆的离心率为，过椭圆右焦点F作两条相互垂直的弦，当其中一条弦所在直线斜率为0时，两弦长之和为6，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆方程．
（2）设直线AB为：y=kx+m，由，得x2﹣4kx﹣4m=0，由此利用韦达定理、直线垂直推导出直线AB过抛物线C1的焦点F，再由，得（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，由此利用弦长公式能求出弦|CD|的最大值．

故切线PA，PB的斜率分别为，kPB=，
再由PA⊥PB，得kPA•kPB=﹣1，
∴，
解得m=1，这说明直线AB过抛物线C1的焦点F，[来源:学科网]
由，得（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，
∴|CD|=•=≤3．
当且仅当k=时取等号，
∴弦|CD|的最大值为3．学*科网
6.已知椭圆C：（a＞b＞0）的上、下两个焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于M，N两点，且△MNF2的周长为8，椭圆C的离心率为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知O为坐标原点，直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，点M'，N'是直线l上的两点，且F1M'⊥l，F2N'⊥l，求四边形F1M'N'F2面积S的最大值．
【思路点拨】（1）由△MNF2的周长为8，求出a=2，再由，求出b，由此能求出椭圆C的标准方程．
（2）将直线l的方程y=kx+m代入到椭圆方程中，得（4+k2）x2+2kmx+m2﹣4=0．由直线与椭圆仅有一个公共点，利用根的判别式求出m2=4+k2．由此利用弦长公式，结合已知条件能求出四边形F1M'N'F2面积的最大值．

所以==．
因为四边形F1M'N'F2的面积，
所以=．
令k2+1=t（t≥1），
则==，[来源:学科网]
所以当时，S2取得最大值为16，故Smax=4，学*科网
即四边形F1M'N'F2面积的最大值为4．
7.已知A，B分别是椭圆 的长轴与短轴的一个端点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，D椭圆上的一点，△DF1，F2的周长为．[来源:学科网]
（1）求椭圆C的方程；
（2）若P是圆x2+y2=7上任一点，过点作P椭圆C的切线，切点分别为M，N，求证：PM⊥PN．
【思路点拨】（1）由2a+2c=6，，b2+c2=a2，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；
（2）分类讨论，当切线PM斜率不存在或者为零时，根据对称性即可求得PM⊥PN；当斜率不为零时，分别求得直线PM，PN的方程，由△=0即可求得k1，k2是方程的两个根，则，则PM⊥PN．

∴．∵y0=k1x0+m，∴m=y0﹣k1x0，
∴．即；
同理：切线PN：y=k2x+t中，，
∴k1，k2是方程的两个根，
又∵P在圆上，∴，∴，
∴，
∴PM⊥PN．学*科网
综上所述：PM⊥PN．
8.已知圆M：（x﹣a）2+（y﹣b）2=9，M在抛物线C：x2=2py（p＞0）上，圆M过原点且与C的准线相切．
（Ⅰ） 求C的方程；
（Ⅱ） 点Q（0，﹣t）（t＞0），点P（与Q不重合）在直线l：y=﹣t上运动，过点P作C的两条切线，切点分别为A，B．求证：∠AQO=∠BQO（其中O为坐标原点）．
【思路点拨】（1）由圆M与抛物线准线相切，得，
且圆过又圆过原点，故，可得，解得p=4，即可
（2） 设A（x1，y1），B（x2，y2），P（m，﹣t），
可得，，即x1，x2为方程x2﹣2mx﹣4t=0的两根，所以x1+x2=2m，x1x2=﹣4t，可得，化简=．可证得∠AQO=∠BQO．

又因过点P（m，﹣t），故可得，，（7分）
即，同理可得，（8分）
所以x1，x2为方程x2﹣2mx﹣4t=0的两根，所以x1+x2=2m，x1x2=﹣4t，（9分）
因为Q（0，﹣t），所以，（10分）
化简=．（11分）
所以∠AQO=∠BQO．（12分）
9.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的长轴长为4，离心率为，右焦点为F．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l与椭圆C相切于点P（不为椭圆C的左、右顶点），直线l与直线x=2交于点A，直线l与直线x=﹣2交于点B，请问∠AFB是否为定值？若不是，请说明理由；若是，请证明．
【思路点拨】（1）由2a=4，离心率e==，b=即可求得a和b，即可求得椭圆C的方程；
（2）l的斜率为0时，∠AFB为直角，则∠AFB为定值，当斜率不为0时，将切点代入椭圆方程，求得交点坐标，求得AF和BF的斜率kAF及kBF，即可求得kAF•kBF=﹣1，即可求得∠AFB为定值．

10.已知过抛物线x2=4y的焦点F的直线l与抛物线相交于A、B两点．
（1）设抛物线在A、B处的切线的交点为M，若点M的横坐标为2，求△ABM的外接圆方程．
（2）若直线l与椭圆+=1的交点为C，D，问是否存在这样的直线l使|AF|•|CF|=|BF|•|DF|，若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．

【思路点拨】（1）设，直线AB：，从而得到过A，B，M的圆是以AB为直径的圆，由此结合已知条件能求出圆的方程．
（2）设，由此利用韦达定理，结合已知条件能求出满足条件的直线方程．

（2）设
设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），则
又，
∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4
将，…①
由
将，
由①②得k=0或k2=1，k=±1，
经检验k=0，k=±1时，A、B、C、D四点各异，且满足要求
故直线l存在，且方程为y=±x+1或y=1…（13分）
11.在平面直角坐标系中，已知点F（1，0），直线l：x=﹣1，动直线l′垂直l于点H，线段HF的垂直平分线交l′于点P，设点P的轨迹为C．
（1）求曲线C的方程；
（2）以曲线C上的点P（x0，y0）（y0＞0）为切点作曲线C的切线l1，设l1分别与x，y轴交于A，B两点，且l1恰与以定点M（a，0）（a＞2）为圆心的圆相切，当圆M的面积最小时，求△ABF与△PAM面积的比．
【思路点拨】（1）由丨PH丨=丨PF丨，根据抛物线的定义，点P的轨迹是以l为准线，F为焦点的抛物线，即可求得抛物线方程；
（2）由y＞0时，求导，求得切线斜率，利用点斜式方程即可求得切线方程，取得A和B点坐标，利用点到直线的距离公式，根据基本不等式的性质，当P（a﹣2，2）时，满足题意的圆M的面积最小，求得A和B点坐标，利用三角形的面积公式即可求得△ABF与△PAM面积的比．

A（﹣x0，0），…（7分）
点M（a，0）到切线l的距离d==+≥2，
（当且仅当y0=2时，取等号）．
∴当P（a﹣2，2）时，满足题意的圆M的面积最小． …（9分）
∴A（2﹣a，0），B（0，），
∴S△ABF=丨1﹣（2﹣a）丨•丨丨=（a﹣1），
S△PAM=丨a﹣（2﹣a）丨•丨2丨=2（a﹣1），…（11分）
∴=，
△ABF与△PAM面积的比．…（12分）
12.在平面直角坐标系中，已知椭圆：（）的左焦点为，且点在上.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线同时与椭圆和抛物线：相切，求直线的方程.
【思路点拨】（1）因为椭圆C1的左焦点为F1（﹣1，0），所以c=1，点P（0，1）代入椭圆，得b=1，由此能求出椭圆C1的方程；（2）设直线l的方程为y=kx+m，由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0．因为直线l与椭圆C1相切，所以△=0，得到两个变量的等量关系．再由直线和抛物线相切，联立方程，运用判别式为0，再构造两个变量的等量关系，从而解出两个变量的值，由此能求出直线l的方程．