专题2.11 已知不等恒成立，分离参数定最值-2020届高考数学压轴题讲义(解答题)（解析版）

【题型综述】

不等式恒成立的转化策略一般有以下几种：①分离参数＋函数最值；②直接化为最值＋分类讨论；③缩小范围＋证明不等式；④分离函数＋数形结合。分类参数的优势在于所得函数不含参数，缺点在于函数结构复杂，一般是函数的积与商，因为结构复杂，导函数可能也是超越函数，则需要多次求导，也有可能不存在最值，故需要求极限，会用到传说中的洛必达法则求极限（超出教学大纲要求）；直接化为最值的优点是函数结构简单，是不等式恒成立的同性通法，高考参考答案一般都是以这种解法给出，缺点是一般需要分类讨论，解题过程较长，解题层级数较多，不易掌握分类标准。缩小参数范围优点是函数结构简单，分类范围较小，分类情况较少，难点在于寻找特殊值，并且这种解法并不流行，容易被误判。分离函数主要针对选择填空题。因为图形难以从微观层面解释清楚图像的交点以及图像的高低，这要涉及到图像的连续性以及凸凹性。还有在构作函数图像时，实际上是从特殊到一般，由特殊几点到整个函数图像，实际是一种猜测。 俗话说，形缺数时难入微。

【典例指引】

例1  己知函数.

（1）若函数在处取得极值，且，求；

（2）若，且函数在上单调递増，求的取值范围.

法二（直接化为最值＋分类讨论）：令，.令，

①当时，，所以，即在上单调递减.而，与在上恒成立相矛盾.

②当时，则开口向上

(方案一）：Ⅰ.若，即时，,即，所以在上递增，所以，即.

Ⅱ.若，即时，此时，不合题意.[来源:Zxxk.Com]

法三（缩小范围＋证明不等式）：令，则.

另一方面，当时，则有，令，开口向上，对称轴，故在上为增函数，所以在上为增函数，则，故适合题意.学科&网

例2. (2016全国新课标Ⅱ文20)己知函数.

（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；

（Ⅱ）若当时，，求的取值范围.

法二（直接化为最值）：在恒成立，则 (导函数为超越函数）；在为增函数，则（1）当即时，则(当且仅当时，取“”)，故在为增函数，则有，故在恒成立，故适合题意.

（2）当即 时，则，且，故在有唯一实根，则在为减函数，在增函数，又有，则存在,使得，故不适合题意.综上，实数的取值范围为.学科&网

法三（分离参数）：在恒成立在恒成立（端点自动成立），则设，令在为增函数，则在为增函数，又因，故实数的取值范围为

法四（缩小范围）：在恒成立，且，则存在，使得在上为增函数在上恒成立，令.

又当时，在为增函数，则(当且仅当(当且仅当时，取“”)，故在为增函数，则有，故在恒成立，故适合题意.

综上，实数的取值范围为.学科&网

点评：当端点刚好适合题意时，则分离参数法一般会用到传说中的洛必达法则，缩小范围则可利用端点值导数符号来求出参数范围。这两种转化方式都有超出教学大纲要求的嫌疑。

2.(重庆市2015届一诊理20)已知曲线在点处的切线的斜率为1；

（1）若函数在上为减函数，求的取值范围；

（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围.

当时，在上单减，上单增，而，矛盾；

综上，.

法二（分离参数）在上恒成立（端点自动成立）

设，令[来源:学科网ZXXK]

在上为减函数，则在上为减函数，又因，故实数的取值范围为

（2）若时，则，故在上单减，上单增，而，矛盾；学科&网

综上，实数的取值范围为

点评：（1)在端点处恰好适合题意，分离参数所得函数却在时得到下确界，值得留意.

（2）缩小范围所得参数范围不一定恰好具有充分性，则需要分类讨论，这时可以减少分类的层级数，缩短解题步骤。

 （3）构造反例，寻找合适的特殊值，具有很强的技巧性。因函数分解为二次函数与对数函数之和，故构造特殊值的反例时可以分别考虑二次函数与对数函数的零点，对数函数的零点为，而二次函数的零点为及，又知当时，零点，故易得，从而导出矛盾。

【扩展链接】

洛必达法则简介：

法则1  若函数和满足下列条件：（1) 及；（2）在点的去心邻域内，与可导，且；（3），那么.

法则2  若函数和满足下列条件：（1) 及；（2），和在与上可导，且；（3），那么.

法则3  若函数和满足下列条件：（1) 及；（2）在点的去心邻域内，与可导且；（3），那么.

利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：

①将上面公式中的换成洛必达法则也成立。

②洛必达法则可处理型。

③在着手求极限以前，首先要检查是否满足型定式，否则滥用洛必达法则会

出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。

④若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。

【新题展示】

1．【2019江西上饶联考】已知函数．

当时，求函数的单调增区间；

若函数在上是增函数，求实数a的取值范围；

若，且对任意，，，都有，求实数a的最小值．

【思路引导】

把代入函数解析式，求其导函数，由导函数大于0求函数的单调增区间；

求原函数的导函数，由函数在上是增函数，说明其导函数在上大于等于0恒成立，在导函数中x与恒大于0，只需对恒成立，则a可求；

由知，当时在上是增函数，任取，，且规定，则不等式可转化为恒成立，引入函数，说明该函数为增函数，则其导函数在上大于等于0恒成立，分离变量后利用基本不等式可求a的最小值．

【解析】

当时，，则 

令，得，即，解得：或．

因为函数的定义域为，

所以函数的单调增区间为．

因为，由知函数在上是增函数．

因为，，，不妨设，所以

由恒成立，可得，

即恒成立．

令，则在上应是增函数  

所以对恒成立．

即对恒成立．

即对恒成立

因为当且仅当即时取等号，

所以．

所以实数a的最小值为．

2．【2019安徽安庆上学期期末】已知函数，.

（1）讨论函数的单调性；

（2）对于任意且时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【思路引导】

（1）对f（x）求导，分和，确定导函数的正负，从而判断函数的单调性；

（2）由题意原不等式可变形为恒成立，构造函数，原题转化为在上为单调增函数，即对恒成立，分离参数得到，利用导数研究不等式右边函数的最值即可．

【解析】

（2）∵恒成立，

∴恒成立，

令

题意即为恒成立，而，

故上述不等式转化为在上为单调增函数，

即对恒成立；

，

题意即为不等式对恒成立，

即对恒成立，

则

令，

，在上为增函数，且；

于是在上有，在上有，

即函数在上为减函数，在上为增函数，

所以在处取得最小值，

因此，故实数的范围为

3．【2019黑龙江大庆二模】已知函数.

（Ⅰ）若点在函数的图象上运动，直线与函数的图象不相交，求点到直线距离的最小值；

（Ⅱ）若当时，恒成立，求实数的取值范围.

【思路引导】

（I）先求得函数的定义域，然后利用导数求得函数对应图像上与平行的切线方程，利用两平行线间的距离公式求得到直线距离的最小值.（II）（1）构造函数，利用的导函数，对分类讨论函数的单调性，结合求得的取值范围. （2）将分类常数，转化为，利用导数求得的最小值，由此求得的范围.结合（1）（2）可求得的的取值范围.[来源:Z。xx。k.Com]

【解析】

（Ⅱ）（1）当，恒成立时，设，

.

①当即时，，，，

所以，即在上是增函数.

又，即，∴时满足题意.

②当即时，

令.因为，所以存在，使.

当时，，即，在上是减函数，，

∴时，不恒成立；

4．【2019江西宜春上学期期末】已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，不等式在上恒成立，求整数的最大值.

【思路引导】

（1）将函数代入中，并对求导，讨论导函数的正负即可得到的单调性；（2）参变分离，可将不等式转化为对任意恒成立，令，则，求出即可。

【解析】

（1）依题意可得，

．

①若,在单调递增；

②若令则，

当时，，在单调递增，

当时，，在单调递减，

（2）当时，．

∵，∴原不等式可化为，

即对任意恒成立．

令，要使其恒成立，则，

则，

【同步训练】

1．已知函数.

（1）若，求证：当时，；

（2）若存在，使，求实数的取值范围.[来源:学.科.网Z.X.X.K]

【思路引导】

(1)由题意对函数求导，然后构造函数，结合函数的性质即可证得题中的结论；

(2)结合题意构造函数，结合其导函数的性质可得实数a的取值范围是.

设h（x）=（x≥e），则h’（x）=

u=lnx-，u’=在[e，+∞）递增。

x=e时，u=1-＞0，所以u＞0在[e,+00）恒成立，

h’（x）＞0，在[e,+00）恒成立，所以h（x）[e,+∞）递增

x≥e，时h（x）min=h（e）=ee

需ea＞eea＞e学科&网

2．已知， 是的导函数．

（Ⅰ）求的极值；[来源:学科网]

（Ⅱ）若在时恒成立，求实数的取值范围．

【思路引导】

（Ⅰ）求函数f（x）的导数g（x）,再对g(x)进行求导g’(x),即可求出的极值；（Ⅱ）讨论以及时，对应函数f（x）的单调性，求出满足在时恒成立时a的取值范围．

【详细解析】

当时，由（）可得（）.

，

故当时， ，

于是当时， ， 不成立.

综上， 的取值范围为．学科&网

3．已知函数．

（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）设函数．若对于任意，都有成立，求实数的取值范围．

【思路引导】

(Ⅰ) 求出，可得切线斜率，根据点斜式可得切线方程；（Ⅱ）讨论三种情况，分别令得增区间， 得减区间； （Ⅲ）对于任意，都有成立等价于恒成立，利用导数研究函数的单调性，求出其最大值，进而可得结果.

【详细解析】

（3）当，即时， 在上恒成立，

所以函数的增区间为，无减区间.          

综上所述：

当时，函数的增区间为， ，减区间为；

当时，函数的增区间为， ，减区间为；

当时，函数的增区间为，无减区间. 

因为当时， ，所以在上单调递增.

所以.               

所以.             

所以.      

4．已知函数，.

(Ⅰ)当时，求证：过点有三条直线与曲线相切；

(Ⅱ)当时，，求实数的取值范围.

【思路引导】

(1)，设直线与曲线相切，其切点为，求出切线方程，且切线过点，可得，判断方程有三个不的根，则结论易得；

(2) 易得当时，，设，则，设，则，分、两种情况讨论函数的单调性并求出最小值，即可得出结论；

法二：

(1)同法一得，设，求导判断函数的单调性，判断函数的零点个数，即可得出结论；

(2)同法一.

【详细解析】

(Ⅱ)当时，，即当时，

当时，，学科&网

设，则，

设，则.

(1)当时，，从而(当且仅当时，等号成立)

在上单调递增，

又当时，，从而当时，，

在上单调递减，又，

从而当时，，即

于是当时，，

在上单调递增，又，

从而当时，，即学科&网

于是当时，，

综合得的取值范围为.

当变化时，变化情况如下表：

恰有三个根，

故过点有三条直线与曲线相切.

(Ⅱ)同解法一.

5．已知函数（）.

（1）当曲线在点处的切线的斜率大于时，求函数的单调区间；

（2）若 对恒成立，求的取值范围.（提示：）

【思路引导】

(1)考查函数的定义域，且 ，由，得.分类讨论：

当时，的单调递增区间为；

当时，的单调递减区间为.

(2)构造新函数，令 ，，

则 ，，分类讨论：

①当时，可得.

②当时， .

综上所述，.

【详细解析】

②当时，令，得.

当时，，单调递增；当时，，单调递减.

所以当时，取得最大值.

故只需，即 ，

化简得 ，

所以在上单调递增，又，，所以，，所以在上单调递减，在上递增，

而， ，所以上恒有，

即当时， .

综上所述，.学科&网

6．已知函数在点处的切线方程为,且.

(Ⅰ)求函数的极值；

(Ⅱ)若在上恒成立，求正整数的最大值.

【思路引导】

(Ⅰ)由函数的解析式可得，结合导函数与极值的关系可得

，无极大值.

(Ⅱ)由题意结合恒成立的条件可得正整数的最大值是5.

【详细解析】

.∴在区间上递增，在区间上递减，

又∵

∴当时，恒有；当时，恒有；

∴使命题成立的正整数的最大值为.学科&网

7．已知函数， ，其中， .

（1）若的一个极值点为，求的单调区间与极小值；

（2）当时， ， ， ，且在上有极值，求的取值范围.

【思路引导】

（1）求导,由题意,可得,下来按照求函数的单调区间与极值的一般步骤求解即可;

（2）当时， ，求导,酒红色的单调性可得,进而得到.

又， ，分类讨论,可得或时， 在上无极值.

若，通过讨论的单调性，可得 ，或 ，可得的取值范围.

【详细解析】

的单调递增区间为，单调递减区间为， .

的极小值为.

8．已知函数.

(1)求函数的图象在处的切线方程；

(2)若任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；

(3)设， ，

证明： .

【思路引导】

(1) 求导,易得结果为;

(2) 原不等式等价于,令,,令,分, ,三种情况讨论函数的单调性,则可得结论;

(3) 利用定积分求出m的值,由(2)知,当时, ,则, 令, ,求导并判断函数的单调性,求出, 即在上恒成立, 令,则结论易得.

【详细解析】

且时， ，∴递增，∴ (不符合题意)

综上： .

9．已知函数， 为自然对数的底数).

(1)讨论函数的单调性；

(2)当时， 恒成立，求实数的取值范围.

【思路引导】

(1) ，分、两种情况讨论的符号，则可得结论；(2) 当时，原不等式可化为，令，则，令，则，进而判断函数的单调性，并且求出最小值，则可得结论.

【详细解析】

 (1)

①若， ， 在上单调递增；

②若，当时， ， 单调递减；

当时， ， 单调递增

10．设函数.

（1）当时,求函数在点处的切线方程；

（2）对任意的函数恒成立，求实数的取值范围.

【思路引导】

（1）把代入函数解析式，求导后得到函数在点处的切线的斜率，然后利用直线方程的点斜式得答案；（2）由，得，求出函数的导函数，导函数在处，的导数为零，然后由导函数的导函数在上大于零求得的范围，就是满足函数恒成立的实数的取值范围.

【详细解析】

（1）当时,

由，则  

 函数在点处的切线方程 为 

  即  [来源:学科网]

11．设函数，其中， 是自然对数的底数.

（Ⅰ）若是上的增函数，求的取值范围；

（Ⅱ）若，证明： .

【思路引导】

（I）由于函数单调递增，故导函数恒为非负数，分离常数后利用导数求得的最小值，由此得到的取值范围；（II）将原不等式，转化为，令，求出的导数，对分成两类，讨论函数的最小值，由此证得，由此证得.

【详细解析】

（Ⅱ） .

令（），以下证明当时， 的最小值大于0.

求导得 .

①当时， ， ；

②当时， ，令，

则 ，又 ，

取且使，即，则 ，

12．已知函数（）与函数有公共切线．

（Ⅰ）求的取值范围；

（Ⅱ）若不等式对于的一切值恒成立，求的取值范围．

【思路引导】

（1）函数与有公共切线， 函数与的图象相切或无交点，所以找到两曲线相切时的临界值，就可求出参数的取值范围。（2）等价于在上恒成立，令，x>0,继续求导，令，得。可知的最小值为

>0,把上式看成解关于a的不等式，利用函数导数解决。

【详细解析】[来源:Z#xx#k.Com]

（Ⅰ），．

∵函数与有公共切线，∴函数与的图象相切或无交点．

当两函数图象相切时，设切点的横坐标为（），则，

（Ⅱ）等价于在上恒成立，

令，

因为，令，得，

所以的最小值为，

令，因为，

令，得，且[来源:学科网ZXXK]

所以当时，的最小值，

当时，的最小值为 ，

所以．

综上得的取值范围为．

13．已知函数，.

（1）求证：（）；

（2）设，若时，，求实数的取值范围.

【思路引导】

（1）即证恒成立，令求导可证；（2）

，．又 ，因为时，恒成立，所以，所以只需考虑。又，所以下证符合。

【详细解析】

②当时，[来源:学科网ZXXK]