专题2.5 最值位置不迷惑，单调区间始与末-2020届高考数学压轴题讲义(解答题)（原卷版）

【题型综述】

函数的最值

函数的最值，即函数图象上最高点的纵坐标是最大值，图象上最低点的纵坐标是最小值，对于最值，我们有如下结论：一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.

设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为：

（1）求在内的极值；

（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.[来源:学科网]

函数的最值与极值的关系

（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言；

（2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；

（3）函数f (x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；

（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.

【典例指引】

例1．已知函数.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数在区间上的最大值和最小值.

例2．设函数 .

(1)关于的方程在区间上有解，求的取值范围；

(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.

例3．已知函数的一个极值为．[来源:Z*xx*k.Com]

（1）求实数的值；

（2）若函数在区间上的最大值为18，求实数的值．

【新题展示】

1．【2019江西新余市一中一模】已知函数，．

当时，若的最小值为3，求实数a的值；

当时，若不等式的解集包含，求实数a的取值范围．

2．【2019宁夏石嘴山三中期末】已知函数.

（1）若的图像过点，且在点处的切线方程为，试求函数的单调区间；

（2）当时，若函数恒成立，求整数的最小值.

【同步训练】

1．已知函数（且），为自然对数的底数．

（Ⅰ）当时，求函数在区间上的最大值；

（Ⅱ）若函数只有一个零点，求的值．

2．已知函数f(x)＝(x－k)ex，

(1)求f(x)的单调区间；

(2)求f(x)在区间[0，1]上的最小值．

3．已知函数的 图象在点处的切线方程为. [来源:学+科+网]

(1)求的值；

(2)求函数在值域.

4．设函数，.

（1） 关于的方程在区间上有解，求的取值范围；

（2） 当时，恒成立，求实数的取值范围.

5．已知函数.

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程.

（Ⅱ）求的单调区间.[来源:学科网]

（Ⅲ）求在上的最大值和最小值.

6．已知函数 ．

   （I） 讨论函数的单调区间；

   （II）当时，若函数在区间上的最大值为3，求的取值范围．

[来源:学科网ZXXK]

[来源:学科网ZXXK]

7．已知函数.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若存在，且，使得，求证： .

[来源:学§科§网Z§X§X§K]

8．已知函数.

（1）求在区间上的极小值和极大值点。

（2）求在上的最大值.

9．已知函数， （）.

（1）若， 恒成立，求实数的取值范围；

（2）设函数，若在上有零点，求实数的取值范围.

10．已知函数.

（I）若处取得极值，求实数a的值；

（II）在（I）的条件下，若关于x的方程上恰有两个不同的实数根，求实数m的取值范围.

[来源:学科网ZXXK]

11．已知函数， （其中为常数， 为自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行.

（1）求的单调区间；[来源:学科网]

（2）当时，若函数有两个不同零点，求实数的取值范围.

12．已知函数[来源:学&科&网Z&X&X&K]

(1) 当时，求函数的单调增区间；

(2) 求函数在区间上的最小值．

(3)在（1）的条件下，设 = +，求证：，参考数据： .