专题2.2 导数定调情况多，参数分类与整合-2020届高考数学压轴题讲义(解答题)（原卷版）

【题型综述】

用导数研究函数的单调性

（1）用导数证明函数的单调性

证明函数单调递增（减），只需证明在函数的定义域内（）0

（2）用导数求函数的单调区间

求函数的定义域→求导→解不等式＞0得解集→求，得函数的单调递增（减）区间．

一般地，函数在某个区间可导，＞0在这个区间是增函数

一般地，函数在某个区间可导，＜0在这个区间是减函数

（3）单调性的应用（已知函数单调性）

一般地，函数在某个区间可导，在这个区间是增(减)函数≥[来源:Zxxk.Com]

1、利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤：

(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；

(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；

(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．

2、求函数的单调区间的“两个”方法

方法一：(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)；

(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；[来源:学科网]

(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．

方法二：(1)确定函数y＝f(x)的定义域；

(2)求导数y′＝f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；

(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；

(4)确定f′(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．[来源:Zxxk.Com]

3、由函数的单调性求参数的取值范围的方法

（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上(或)(在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；

（2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是(或)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；

（3）若已知在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围．

【典例指引】

例1．已知函数，为函数的导函数．

(1)设函数的图象与x轴交点为A，曲线y=f(x)在A点处的切线方程是，求的值；

(2)若函数，求函数的单调区间．

例2．已知函数，．

（1）求函数的单调区间；

[来源:学_科_网]

例3．已知函数， ，（其中， 为自然对数的底数， ……）．

（1）令，求的单调区间；[来源:学科网]

例4．已知函数其中实数为常数且．

（I）求函数的单调区间；

[来源:Z§xx§k.Com]

例5．已知函数．

（1）讨论的单调性；

【新题展示】

1．【2019广东广州天河区综合测试（一)】设函数．

求函数的单调区间和极值．

若函数在区间内恰有两个零点，求a的取值范围．

2．【2019河北五个一名校联盟一诊】已知函数

（1）讨论函数的单调性；

（2）令，若对任意的，恒有成立，求实数的最大整数.

3．【2019安徽六校教育研究会联考】已知函数．

（Ⅰ）若f(x)在定义域内单调递增，求实数a的范围；

（Ⅱ）设函数，若至多有一个极值点，求a的取值集合．

[来源:学,科,网]

4．【2019山西太原期末】已知函数，.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.

【同步训练】

1．已知

（1）若 ，且函数 在区间 上单调递增，求实数a的范围；

2．已知函数．

(1)讨论的单调性；

3．设函数

（1）讨论的单调性；

4．已知函数 ，其中 (为自然对数的底数).

（Ⅰ）讨论函数的单调性，并写出相应的单调区间；

5．已知函数， ．

（1）求函数的单调区间；[来源:学科网]

6．已知函数，其中为自然对数的底数.[来源:学科网]

（1）讨论函数在区间上的单调性；

7．设函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若，求函数的最值．

8．已知函数f(x)＝ln (x＋1)－ －x，a∈R.

(1)当a>0时，求函数f(x)的单调区间；

9．已知常数，函数.

(1)讨论在区间上的单调性；[来源:学科网ZXXK]

[来源:Z|xx|k.Com]

10．已知函数.

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数的单调区间；

（3）设函数.若对于任意，都有成立，求实数的取值范围.