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    高考数学压轴难题归纳总结培优专题2.2 导数定调情况多参数分类与整合 (含解析)

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    高考数学压轴难题归纳总结培优专题2.2 导数定调情况多参数分类与整合 (含解析)

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    这是一份高考数学压轴难题归纳总结培优专题2.2 导数定调情况多参数分类与整合 (含解析),共15页。试卷主要包含了求函数的单调区间的“两个”方法等内容,欢迎下载使用。


    题型综述

    用导数研究函数的单调性

    (1)用导数证明函数的单调性

    证明函数单调递增(减),只需证明在函数的定义域内)0

    (2)用导数求函数的单调区间

    求函数的定义域→求导→解不等式0得解集→求,得函数的单调递增(减)区间.

    一般地,函数在某个区间可导,>0在这个区间是增函数

    一般地,函数在某个区间可导,<0在这个区间是减函数

    (3)单调性的应用(已知函数单调性)

    一般地,函数在某个区间可导,在这个区间是增(减)函数

    1、利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤:

    (1)确定函数f(x)的定义域;(2)求导数f′(x);

    (3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0;

    (4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.

    2、求函数的单调区间的“两个”方法

    方法一:(1)确定函数yf(x)的定义域;(2)求导数y′=f′(x);

    (3)解不等式f′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间;

    (4)解不等式f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.

    方法二:(1)确定函数yf(x)的定义域;

    (2)求导数y′=f′(x),令f′(x)=0,解此方程,求出在定义区间内的一切实根;

    (3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间;

    (4)确定f′(x)在各个区间内的符号,根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性.

    3、由函数的单调性求参数的取值范围的方法

    (1)可导函数在某一区间上单调,实际上就是在该区间上(或)(在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立,然后分离参数,转化为求函数的最值问题,从而获得参数的取值范围;

    (2)可导函数在某一区间上存在单调区间,实际上就是(或)在该区间上存在解集,这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题;

    (3)若已知在区间I上的单调性,区间I中含有参数时,可先求出的单调区间,令I是其单调区间的子集,从而可求出参数的取值范围.

     

     

    【典例指引】

    例1已知函数为函数的导函数.

    (1)设函数的图象与x轴交点为A,曲线y=f(x)在A点处的切线方程是,求的值;

    (2)若函数,求函数的单调区间.

    (Ⅱ)

     

    ①当时,                                          

    0

    -

    0

    +

    极小值

    的单调递增区间为,单调递减区间为 

    (ⅱ)当,即时,

    单调递减; 

    (ⅲ)当,即时,

    0

    -

    0

    +

    0

    -

    极小值

    极大值

    上单调递增,在上单调递减 

    综上所述,当时,的单调递增区间为,单调递减区间为

    时,的单调递增区间为,单调递减区间为

    的单调递减区间为

    时,的单调递增区间为,单调递减区间为

    例2.已知函数

    (1)求函数的单调区间;

    【思路引导】

    (1)先确定函数的定义域,求导后得,根据正负进行讨论,可得函数的单调区间;

    试题解析:(1)函数的定义域为

    由题意得

    时, ,则在区间内单调递增;

    时,由,得(舍去),

    时,单调递增,

    时,单调递减.

    所以当时, 的单调递增区间为,无单调递减区间;

    时, 的单调递增区间为,单调递减区间为

    例3.已知函数,(其中为自然对数的底数, ……).

    (1)令,求的单调区间;

    【思路引导】

    (1)求导函数的导数得,再根据是否变号进行分类讨论单调性:当时,导函数不变号,为单调递增;当时,导函数先负后正,对应单调区间为先减后增.

    所以的减区间为 ,增区间为

    综上可得,当时, 上单调递增

    时, 的增区间为,减区间为

    例4.已知函数其中实数为常数且

    (I)求函数的单调区间;

    【思路引导】

    (1)利用导数并结合实数的不同取值求解单调区间;

    例5.已知函数

    (1)讨论的单调性

    【思路引导】

    (1)求出,分类讨论,分别由可得增区间,由可得减区间

     

     

    【同步训练】

    1.已知

    (1)若 ,且函数 在区间 上单调递增,求实数a的范围;

    【思路引导】

    (1)求导后根据函数在区间单调递增,导函数大于或等于0(2)先判断为一个零点,然后再求导,根据,化简求得另一个零点。

    解析:(1)当时,,因为函数上单调递增,所以当时,恒成立.

    函数的对称轴为

    ,即时,,即,解之得,解集为空集;

    ,即时,

      ,解之得,所以

    ,即时,

      ,解之得,所以

      综上所述,当 函数在区间 上单调递增.

    2.已知函数

    (1)讨论的单调性;

    【思路引导】

    (1)对函数进行求导分解因式可得 ,分为讨论导数与0的关系,得到单调性;

    3.设函数

    (1)讨论的单调性;

    【思路引导】

    (1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),,对m分类讨论即可得出.

    试题解析:(1)函数定义域为

    时, ,∴上单调递增;

    时,

    上单调递增;在上单调递减.

    点评:讨论函数的单调性即讨论导函数的正负,导函数中有参数m,需要对m进行讨论,来判断正负;

    4.已知函数 ,其中 (为自然对数的底数).

    (Ⅰ)讨论函数的单调性,并写出相应的单调区间;

    【思路引导】

    (I)求出,对分别讨论单调性,求出单调区间;

     5.已知函数

    (1)求函数的单调区间;

    【思路引导】

    (1)先确定函数的定义域,求导后得,根据正负进行讨论,可得函数的单调区间;

    6.已知函数,其中为自然对数的底数.

    (1)讨论函数在区间上的单调性;

    【思路引导】

    (1)求出,讨论三种情况 ,分别令可得增区间, 可得减区间;

    试题解析:(1),①当时,上单调递增,②当时,上单调递增,③当时, 时,上单调递增,时,上单调递减,④当时,上单调递增,综上所述,当时,上单调递增,当时,上单调递增,在单调递减

    7.设函数

    (1)讨论函数的单调性;

    (2)若,求函数的最值.

    【思路引导】

    (1)先求导,分类讨论即可求出函数的单调区间;(2)求导,根据导数和函数的最值得关系即可求出,注意分类讨论.

    ④若,则恒成立,所以函数上单调递减.

    (2)若

    ①当时, ,由(1)得,函数上单调递增,在上单调递减,

    时,函数有最大值,无最小值;

    ②当时, ,由(1)得,函数上单调递增,在上单调递减,

    时,函数有最小值,无最大值.

    8.已知函数f(x)=ln (x+1)-xa∈R.

    (1)当a>0时,求函数f(x)的单调区间;

    【思路引导】

    (1)先求导数,转化研究二次函数符号变化规律:当判别式非正时,导函数不变号;当判别式大于零时,定义域上有两个根 ,导函数符号先负再正再负.

    9.已知常数,函数.

    (1)讨论在区间上的单调性;

    【思路引导】

    (1)结合函数的解析式可得,分类讨论有:

    时,在区间上单调递增;

    时,在区间上单调递减,在区间上单调递增;

    试题解析:(1)

    时,此时在区间上单调递增

    时,,得

    时,时,

    在区间上单调递减,在区间上单调递增

    综上所述,当时,在区间上单调递增;当时,在区间上单调递减,在区间上单调递增

    点评:导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,所以在历届高考中,对导数的应用的考查都非常突出.

    10.已知函数.

    (1)若,求曲线在点处的切线方程;

    (2)求函数的单调区间;

    (3)设函数.若对于任意,都有成立,求实数的取值范围.

    【思路引导】

    (1)代入,求导,可求出切线方程。(2)因为.又因为的两根>0,所以分三类讨论单调性。(3)由成立,即,变形.,所以只需

     

     

     

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