专题6.2 导数中的参数问题-2020届高考数学压轴题讲义(选填题)（解析版）

【方法综述】

导数中的参数问题主要指的是形如“已知不等式成立/存在性/方程的根/零点等条件,求解参数的取值或取值范围”.这类型题目在近几年的高考全国卷还是地方卷中，每一年或多或少都有在压轴选填题或解答题中出现，属于压轴常见题型.学生要想解决这类型的题目，关键的突破口在于如何处理参数，本专题主要介绍分类讨论法和分离参数法.

【解答策略】

一．分离参数法

分离参数法是处理参数问题中最常见的一种手段，是把参数和自变量进行分离，分离到等式或不等式的两边（当然部分题目半分离也是可以的，如下面的第2种情形），从而消除参数的影响，把含参问题转化为不含参数的最值、单调性、零点等问题，当然使用这种方法的前提是可以进行自变量和参数的分离.

1．形如或(其中符号确定)

该类题型，我们可以把参数和自变量进行完全分离，从而把含参数问题转化为不含参数的最值、单调性或图像问题.

例1．【河北省沧州市2019届高考模拟】直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是_____．

【答案】

【解析】

因为直线与曲线有两个公共点，所以方程有两不等实根，即有两不等实根，令，则与函数有两不同交点，因为，所以由得；由得或；因此函数在和上单调递减，在上单调递增，作出函数的简图大致如下：

因为；又与函数有两不同交点，所以由图像可得，只需.故答案为

【指点迷津】

由直线与曲线有两个公共点可得方程有两不等实根，即有两不等实根，令，求出函数的值域即可.

【举一反三】【湖南省永州市2019届高三三模】若存在，使得成立，则实数的取值范围是（  ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

原不等式等价于：   

令，则存在，使得成立

又

当时，，则单调递增；当时，，则单调递减

，，即   

当且仅当，即时取等号

，即

本题正确选项：

2．形如或（其中是关于一次函数）

该类题型中，参数与自变量可以半分离，等式或不等式一边是含有参数的一次函数，参数对一次函数图像的影响是比较容易分析的，故而再利用数形结合思想就很容易解决该类题目了.

例2．【安徽省蚌埠市2019届高三下学期第二次教学质量检查】定义在上的函数满足，且，不等式有解，则正实数的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

因为，故，

因，所以即.

不等式有解可化为

即在有解.

令，则，

当时，，在上为增函数；

当时，，在上为减函数；

故，所以，故选C.

【指点迷津】不等式的恒成立问题，应优先考虑参变分离的方法，把恒成立问题转化为函数的最值（或最值的范围）问题来处理，有时新函数的最值点（极值点）不易求得，可采用设而不求的思想方法，利用最值点（极值点）满足的等式化简函数的最值可以求得相应的最值范围．

【举一反三】【山东省济宁市2019届高三第一次模拟】已知当时，关于的方程有唯一实数解，则所在的区间是(   )

A．(3，4) B．(4，5) C．(5，6) D．(6．7)

【答案】C

【解析】

由xlnx+（3﹣a）x+a＝0，得，

令f（x）（x＞1），则f′（x）．

令g（x）＝x﹣lnx﹣4，则g′（x）＝10，

∴g（x）在（1，+∞）上为增函数，

∵g（5）＝1﹣ln5＜0，g（6）＝2﹣ln6＞0，

∴存在唯一x0∈（5，6），使得g（x0）＝0，

∴当x∈（1，x0）时，f′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0．

则f（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．

∴f（x）min＝f（x0）．

∵﹣4＝0，∴，

则∈（5，6）．

∴a所在的区间是（5，6）．

故选：C

二．分类讨论法

分类讨论法是指通过分析参数对函数相应性质的影响，然后划分情况进行相应分析，解决问题的方法，该类方法的关键是找到讨论的依据或分类的情况，该方法一般在分离参数法无法解决问题的情况下，才考虑采用，常见的有二次型和指对数型讨论.

1.二次型根的分布或不等式解集讨论

该类题型在进行求解过程，关键步骤出现求解含参数二次不等式或二次方程， 可以依次考虑依次根据对应定性（若二次项系数含参），开口，判别式，两根的大小（或跟固定区间的端点比较）为讨论的依据，进行分类讨论，然后做出简图即可解决.

例3．【江苏省扬州中学2019届高三3月月考】已知函数有两个不同的极值点，，若不等式 恒成立，则实数的取值范围是_______．

【答案】

【解析】

∵，

∴．

∵函数有两个不同的极值点，，

∴，是方程的两个实数根，且，

∴，且，

解得．

由题意得

．

令，

则，

∴在上单调递增，

∴．

又不等式 恒成立，

∴，

∴实数的取值范围是．

故答案为．

【指点迷津】

1.本题考查导数在研究函数中的应用，体现了导数的工具性，解题的关键是得到的表达式．解答恒成立问题的常用方法是转化为求函数的最值的问题解决，当函数的最值不存在时可利用函数值域的端点值来代替.

2. 由是函数的两个不同的极值点可得，进而得到，然后构造函数，求出函数的值域后可得所求范围．

【举一反三】【2019年3月2019届高三第一次全国大联考】若函数有个零点，则实数取值的集合是________．

【答案】或（填也给满分）

【解析】

由题意得，

令，得．

设，

则，

易得在和上单调递增，在和上单调递减．

因为函数有个零点，

所以函数的图象和直线有个交点，

而，，注意，即轴与的图象只有个交点．

画出函数的大致图象和直线,如下图所示，

依题意得或，

即或．

故实数取值的集合是或．

故答案为：或或 ．

2．指数对数型解集或根的讨论

该类题型在进行求解过程，关键步骤出现求解含参指对数型不等式或方程， 可以依次考虑依次根据对应指对数方程的根大小(或与固定区间端点的大小)为讨论的依据,进行分类讨论.

即可解决.

例4．函数,则在的最大值（   ）

A.     B.    C.     D.

【答案】D

【指点迷津】该题为含参数的最值问题,关键是确定单调性和区间,即含参数的导函数在区间上的符号,该导数含f’′(x)=x−2kx=x(−2k)含有指数，且有两个根，故而要根据两个根的大小和两根与固定区间端点的大小进行相应的讨论，确定单调性，再确定最值.

【举一反三】【福建省2019届备考关键问题指导适应性练习（四)】已知函数，，若关于的方程在区间内有两个实数解，则实数的取值范围是(   )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

易知当≤0时，方程只有一个解，

所以>0．令，

，

令得，

为函数的极小值点，

又关于的方程=在区间内有两个实数解，

所以，解得，

故选A.

【强化训练】

1．已知函数，若在上恒成立，则的取值范围是（     ）

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】由题意得，令

；故选A.

2．【天津市和平区2019届高三下学期第一次调查】已知函数，若关于的方程恰有三个不相等的实数解,则的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

关于的方程恰有三个不相等的实数解，

即方程恰有三个不相等的实数解，

即与有三个不同的交点.

令，

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增；

且当时，，

当时，，，

当时，，

据此绘制函数的图像如图所示，

结合函数图像可知，满足题意时的取值范围是 .

本题选择C选项.

3．当时， 恒成立，则的取值范围为（     ）

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】当x≥0时， ≥aln（x+1）恒成立，∴x≥0

则f′（x）= ，再设g（x）=（1+x）2ln（x+1）﹣x，

则g′（x）=（1+x）ln（x+1）+1+x﹣x=（1+x）ln（x+1）+1＞0恒成立，

∴g（x）在[0，+∞）上单调递增，∴g（x）≥g（0）=0，∴f′（x）≥0

∴f′（x）在[0，+∞）上单调递增，∴f（x）≥f（0），

∵根据洛必达法则可得 ∵f（0）=1∴a≤1，故a的取值范围为（﹣∞，1]，故答案为A.

4.【四川省成都外国语学校2019届高三3月月考】已知函数 恰好有两个极值点，则的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

依题意，令并化简得，，构造函数，，故当时，递增，当时，递减，.注意到时，，由此可知与有两个交点，需要满足，故，故选.

5.【2019届高三第一次全国大联考】若函数恰有三个零点，则的取值范围为(  )

A． B．（） C． D．（）

【答案】D

【解析】

当时，为减函数，令易得，所以只需有两个零点，令则问题可转化为函数的图象与的图象有两个交点.求导可得，令，即，可解得；令，即，可解得，所以当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，由此可知当时，函数取得最小值，即．在同一坐标系中作出函数与的简图如图所示，

根据图可得故选D.

6．【辽宁省抚顺市2019届高三一模】若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

由题意，函数的定义域为，

又由，得，

则等价为方程，在上有两个不同的根，

设，

，

由得得，得，

此时，函数为增函数，

得得，得或，

此时，函数为减函数，

即当时，函数取得极大值，极大值为，

要使，有两个根，则即可，

故实数的取值范围是，

故选：D．

7.【广东省2019届广州市高中毕业班综合测试（一)】已知函数，对任意，，都有，则实数a的取值范围是　　

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

由题意可知函数是上的单调递减函数，

且当时，，

据此可得：，即恒成立，

令，则，

据此可得函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

函数的最小值为，

则，

据此可得：实数a的取值范围是．

故选：A．

8．【安徽省马鞍山市2019年高三第二次监测】已知函数，若的解集为，且中恰有两个整数，则实数的取值范围为（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

，,

设，，问题就转化为在内，，且中恰有两个整数.先研究函数 的单调性，

当时， ，所以函数在单调递减；

当时，，所以函数在单调递增，

注意到，当时，.，恒过

要想在内，，且中恰有两个整数，必须要满足以下两个条件：

故本题选C.

9．【重庆市南开中学2019届高三第三次检测】已知函数，若不等式对任意上恒成立，则实数的取值范围为（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

由题得，

取特值代入上面的不等式得a≥3，

所以，

（1）在x∈（0,1上，0＜x≤1＜，

恒有a≤3+2x-lnx成立，记g(x)=2x-lnx+3(0＜x≤1）

所以，所以

所以.

(2)在x∈上，，恒有，

所以在x∈上恒成立，

又在x∈上，的最小值为5，

所以.

(3)在x∈时，x≥，

恒有.

综上.

故选:C

10．【江西省吉安一中、九江一中、新余一中等八所重点中学2019届高三4月联考】已知函数，，函数的最小值，则实数的最小值是（）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

求得

考察是否有零点，令，

可得，记，

,在上递减，在上递增，

所以 ，即，

因为,

所以，

故可知，当时，单调递减，

当时，单调递增，

从而由上知，

设，

记

在上单调递减，

，

的最小值为0.故选C.

11．【辽宁省鞍山一中2019届高考三模】已知函数有三个极值点，则a的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

由题意，函数的导数，

若函数有三个极值点，

等价为有三个不同的实根，

即，即，

则，所以有两个不等于﹣1的根，则，

设，则，

则由得x＞1，由得且，

则当时，取得极小值，

当时，，作出函数，的图象如图，

要使有两个不同的根，则满足，即实数a的取值范围是．

故选：C．

12．【湖南省湘潭市2019届高三二模】设，已知函数，对于任意，都有，则实数的取值范围为（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

设函数，

由当时，对于任意，都有，

即对于任意，，

由于，那么在上单调递减，

而，在上单调递减，

所以，

，

则，

那么，或，结合，所以，故选C.

二、填空题

13．【江苏省苏州市2019届高三下学期测试】若函数在其定义域上恰有两个零点，则正实数a的值为_____.

【答案】

【解析】

当x≤0时，f（x）＝x+2x，单调递增，

f（﹣1）＝﹣1+2﹣1＜0，f（0）＝1＞0，

由零点存在定理，可得f（x）在（﹣1，0）有且只有一个零点；

则由题意可得x＞0时，f（x）＝ax﹣lnx有且只有一个零点，

即有a有且只有一个实根．

令g（x），g′（x），

当x＞e时，g′（x）＜0，g（x）递减；

当0＜x＜e时，g′（x）＞0，g（x）递增．

即有x＝e处取得极大值，也为最大值，且为，当x

如图g（x）的图象，当直线y＝a（a＞0）与g（x）的图象

只有一个交点时，则a．

故答案为：．

14．【2019年3月2019届高三第一次全国大联考】已知函数，，若，则_______

【答案】

【解析】

令，则，

易知函数在上单调递减，在上单调递增，

且，故.

当，即时，，，

此时，不合题意，舍去；

当，即时，，，

若，即，则，解得；

若，即，则，解得；

当，即时，，，

此时，不合题意，舍去.

综上所述，.

故答案为：

15．【山东省淄博实验中学、淄博五中2019届高三上学期第一次教学诊断】函数有极值，则实数的取值范围是______.

【答案】

【解析】

令

函数有极值，则在区间上有实数根

当时，，则函数在区间单调递增

时，；时，

故存在，使得在递减，在递增

故的极大值是，符合题意；

当时，令，解得

令，解得，此时函数单调递增

令，解得，此时函数单调递减

当时，函数取得极大值．

当趋近于与趋近于时，

要使在区间上有实数根，则，解得

综上：实数的取值范围是

本题正确结果：

 16．【河南省郑州市2019年高三第二次检测】已知函数，若函数有两个极值点，且，则实数的取值范围是________.

【答案】

【解析】

∵函数有两个极值点，∴有两个零点，

即，两式作比得到:==，

令，①，则有=,②

∴,代入①可得，

又由②得=，∴t,

令g（t）=，（t）,则=，

令h(t)=，则=，

∴h(t)单调递减，∴h(t)=1-2，

∴g（t）单调递减，∴g(t)=，即，

而，令u(x)=，则>0, ∴u(x)在x上单调递增，

∴u(x)，即a，

又有两个零点，u(x)在R上与y=a有两个交点，

而，在（-，1）,u(x)单调递增，在（1，+, u(x)单调递减，u(x)的最大值为u(1)=，大致图像为：

∴,又，，

综上，，

故答案为.