专题2.4 极值计算先判断，单调原则不能撼-2020届高考数学压轴题讲义(解答题)（原卷版）

【题型综述】

函数极值问题的常见类型及解题策略

（1）函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．

（2）求函数极值的方法：[来源:学|科|网]

①确定函数的定义域．

②求导函数．

③求方程的根．

④检查在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果在这个根的左、右两侧符号不变，则在这个根处没有极值．[来源:Z#xx#k.Com]

（3）利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数，求方程的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围．

【典例指引】

例1．已知函数其中

⑴当时，求曲线处的切线的斜率；w.w.w.zxxk.c.o.m   

⑵当时，求函数的单调区间与极值.

例2．已知函数的图象在处的切线过点，.

（1）若，求函数的极值点；

（2）设是函数的两个极值点，若，证明：.（提示）

例3．已知函数在处有极值10.

（1）求实数的值；

（2）设，讨论函数在区间上的单调性.[来源:学科网ZXXK]

[来源:Zxxk.Com]

【新题展示】[来源:Zxxk.Com]

1．【2019浙江七彩联盟期中】已知函数．

证明：函数存在唯一的极值点，并求出该极值点；

若函数的极值为1，试证明：．

2．【2019北京石景山区期末】已知函数．

（1）当时，求在处的切线方程；

（2）当时，若有极小值，求实数a的取值范围．

3．【2019河南驻马店市期末】已知函数

（1）求函数的单调区间和的极值；

（2）对于任意的，，都有，求实数的取值范围.

【同步训练】

1．设， .

（1）令，求的单调区间；

（2）已知在处取得极大值，求实数的取值范围.[来源:Z#xx#k.Com]

2．已知函数，在定义域内有两个不同的极值点

（I）求的取值范围；

（II）求证：

3．已知函数．

（Ⅰ）若函数在时有极值0，求常数a,b的值；

（Ⅱ）若函数在点处的切线平行于x轴，求实数b的值．

4．已知函数， .

（1）求函数在上的最值；

（2）求函数的极值点.

5．设函数f（x）=lnx+ax2+x+1．

（I）a=﹣2时，求函数f（x）的极值点；

（Ⅱ）当a=0时，证明xex≥f（x）在（0，+∞）上恒成立．

6．已知函数，，（其中，为自然对数的底数，……）.

（1）令，求的单调区间；

（2）已知在处取得极小值，求实数的取值范围.

7．已知函数（）.

（1）若在其定义域内单调递增，求实数的取值范围；

（2）若，且有两个极值点，（），求的取值范围.

8．已知函数．

（1）若函数在和处取得极值，求的值；[来源:学#科#网]

（2）在（1）的条件下，当时， 恒成立，求的取值范围．[来源:学科网]

9．已知函数，其中为常数.

（1）当，且时，判断函数是否存在极值，若存在，求出极值点；若不存在，说明理由；

（2）若，对任意的正整数，当时，求证：.[来源:学.科.网Z.X.X.K]

[来源:学科网]

10．已知函数.

(1)求函数的极值点；   

 (2)若f(x)≥x2+1在(0,2)上恒成立,求实数t的取值范围.