吉林省吉林市船营区2021年中考数学一模试卷（word版 含答案）

这是一份吉林省吉林市船营区2021年中考数学一模试卷（word版 含答案），共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

吉林省吉林市船营区2021年中考数学一模试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．2021的倒数是（　　　）
A． B． C．2021 D．
2．柜子里有5双鞋，取出一只鞋是右脚鞋的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，是一个几何体的表面展开图，则该几何体是

A．正方体 B．长方体 C．三棱柱 D．四棱锥
4．如图，赵师傅透过平举的放大镜从正上方看水平桌面上的菱形图案的一角，那么∠A与放大镜中的∠C的大小关系是( )

A．∠A＝∠C B．∠A>∠C C．∠A<∠C D．无法比较
5．二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的对应值如下表：
x
…
－5
－4
－3
－2
－1
0
…
y
…
4
0
－2
－2
0
4
…
下列说法正确的是(　　)
A．抛物线的开口向下 B．当x＞－3时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最小值是－2 D．抛物线的对称轴是直线x＝－
6．图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为(　　)

A．(54+10) cm B．(54+10) cm C．64 cm D．54cm

二、填空题
7．分解因式：__________．
8．若关于x的方程kx2+2x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是_____．
9．《九章算术》中记载一问题如下：“今有共买物，人出八，盈三：人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出钱，会多钱；每人出钱，又差钱，问人数、物价各多少？设有人，依题意列方程得________．
10．如图，在中，，分别以点A、C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，过这两点作直线，分别交、于点D、E，连接，则的度数为__________度．

11．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，点C和点D在x轴上．若四边形为矩形，且矩形的面积为2，则k的值为__________．

12．如图，AB为半圆O的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点P在半圆上，斜边过点B，一条直角边交该半圆于点Q．若AB＝2，则线段BQ的长为___________.

13．如图，ABCD的顶点B在矩形AEFC的边EF上，点B与点E、F不重合．若△ACD的面积为3，则图中的阴影部分两个三角形的面积和为_______


三、解答题
14．如图，在平面直角坐标系中，点P为抛物线y＝x2﹣ax+a的顶点，点A、B在x轴上且AB＝2，当点P在x轴上方且△PAB面积最大时，a的值为_____．

15．先化简，再求值：，其中．
16．甲、乙两人都握有分别标记为、、的三张牌，两人做游戏，游戏规则是：每人各出一张牌，若两人出的牌相同，则为平局．用树状图或列表等方法，列出甲、乙两人一次游戏的所有可能的结果，并求出平局的概率．
17．如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D．

18．某小区为了铺设一段全长为480米的道路，为减少施工对居民生活的影响，需缩短施工时间，实际施工时每天的工作效率比原计划提高20%，结果提前2天完成任务．求原计划每天铺设多少米？
19．如图，是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，线段的两个端点均在小正方形的格点上．

（1）如图①，点P在小正方形的格点上，则________．
（2）在图①中画出以线段为边的格点正方形．
（3）在图②，图③中分别画出以线段为边和对角线的矩形（面积不为8），且另外两个顶点C、D均在小正方形的格点上．分别写出你所画出矩形的面积．
20．钓鱼岛历来就是我们中国的固有领土，是神圣不可侵犯的！如图是钓鱼岛中某个岛礁上的斜坡，我海监船在海面上与点C距离200米的D处，测得岛礁顶端A的仰角为，以及该斜坡坡度是，求该岛礁的高（结果取整数）．（参考数据：）

21．如图，是的直径，点A和点D是上的两点，过点A作的切线交延长线于点C．

（1）若，求的度数；
（2）若，求半径的长．
22．在建设港珠澳大桥期间，大桥的规划选线须经过中华白海豚国家级自然保护区---区域A或区域B．为实现白海豚“零伤亡，不搬家”的目标，需合理安排施工时间和地点，为此，海豚观察员在相同条件下连续出海20天，在区域A，B两地对中华白海豚的踪迹进行了观测和统计，过程如下，请补充完整．（单位：头）
（收集数据）
连续20天观察不同中华白海豚每天在区域A，区域B出现的数目情况，得到统计结果，并按从小到大的顺序排列如下：
区域A   0   1   3     4     5     6     6    6     7     8      8   9   11   14   15   15   17   23   25   30
B   1     1     3     4     6     6     8    9    11   12       14   15   16   16   16   17   22   25  26   35
（整理、描述数据）
（1）按如下数段整理、描述这两组数据，请补充完整：
海豚数x
0≤x≤7
8≤x≤14
15≤x≤21
22≤x≤28
29≤x≤35
区域A
9
5
3
______
______
区域B
6
5
5
3
1
（2）两组数据的极差、平均数、中位数，众数如下表所示
观测点
极差
平均数
中位数
众数
区域A
a
10.65
b
c
区域B
34
13.15
13
16
请填空：上表中，极差a=______，中位数b=______，众数c=______；
（3）规划者们选择了区域A为大桥的必经地，为减少施工对白海豚的影响，合理安排施工时间，估计在接下来的200天施工期内，区域A大约有多少天中华白海豚出现的数目在22≤x≤35的范围内？
23．某校初三年级进行女子800米测试，甲、乙两名同学同时起跑，甲同学先以a米/秒的速度匀速跑，一段时间后提高速度，以米/秒的速度匀速跑，b秒到达终点，乙同学在第60秒和第140秒时分别减慢了速度，设甲、乙两名同学所的路程为s（米），乙同学所用的时间为t（秒），s与t之间的函数图象如图所示．
（1）乙同学起跑的速度为______米/秒；
（2）求a、b的值；
（3）当乙同学领先甲同学60米时，直接写出t的值是______．

24．（1）如图①，点C是中点，，P是上任意一点，则线段与的数量关系是________．
（2）如图②，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A和点B，点C是中点，交于点D，连接，求的长．
（3）如图③，①将线段绕点A顺时针旋转得到线段，请在图③网格中画出线段；
②若存在一点P，使得，且，当点P的横、纵坐标均为整数时，则长度的最小值为______．

25．如图，在等边中，．点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿边向终点B运动，过点P作于点D，过点P向上作，且，以、为边作矩形．设点P的运动时间为x（秒），矩形与的重叠部分图形的面积为y．

（1）用含x的式子表示线段的长；
（2）求出当点F落在边上时x的值；
（3）求在运动过程中y与x之间的函数关系式．
26．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标是，点C的坐标是，动点P在抛物线上．

（1）求这个抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）是否存在点P，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）设动点P的横坐标为m，的面积为S．请直接写出面积S随着m的增大而减小时m的取值范围．


参考答案
1．D
【分析】
根据倒数的定义即可得出正确选项．
【详解】
解：2021的倒数是，
故选：D．
【点睛】
本题考查倒数的定义，非零整数的倒数是．
2．A
【分析】
因为左右脚穿的鞋的数目相同，5双鞋中右脚穿的鞋有5只，根据概率公式解答即可．
【详解】
解：5双鞋就是10只，其中右脚的有5只，所以取出一只鞋是右脚鞋的概率是．
故选：A．
【点睛】
本题考查求概率，掌握概率公式是解题的关键．
3．C
【详解】
【分析】根据表面展开图中有两个三角形，三个长方形，由此即可判断出此几何体为三棱柱.
【详解】观察可知图中有一对全等的三角形，有三个长方形，
所以此几何体为三棱柱，
故选C
【点睛】本题考查了几何体的展开图，熟记常见立体图形的展开图特点是解决此类问题的关键．
4．A
【分析】
原来的图形和放大的图形是相似的,根据相似三角形的对应角相等,可以判定∠A＝∠C.
【详解】
由于图形放大或缩小后,形状没有发生变化,结合相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等,可判定∠A＝∠C.
故选A.
【点睛】
题考查了相似三角形的性质:相似三角形的对应角相等.熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键.
5．D
【详解】
将点(−4,0)、(−1,0)、(0,4)代入到二次函数y=ax2+bx+c中，
得：,解得：，
∴二次函数的解析式为y=x ²+5x+4.
A. a=1>0，抛物线开口向上，A不正确；
B. −=−,当x⩾−时，y随x的增大而增大，B不正确；
C. y=x²+5x+4=(x+) ²−,二次函数的最小值是−，C不正确；
D. −=−,抛物线的对称轴是x=−，D正确.
故选D.
点睛: 本题主要考查二次函数的性质，利用待定系数法求得抛物线解析式是解题的关键．
6．C
【分析】
过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则可得AE和BF的长，依据端点A与B之间的距离为10cm，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．
【详解】
如图所示，

过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则
Rt△ACE中，AE=AC=×54=27（cm），
同理可得，BF=27cm，
又∵点A与B之间的距离为10cm，
∴通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27=64（cm），
故选C．
【点睛】
本题主要考查了特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
7．
【分析】
直接提取公因式，进而得出答案．
【详解】
解：．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式法是解题的关键．
8．k≥-1
【分析】
首先讨论当时，方程是一元一次方程，有实数根，当时，利用根的判别式△=b2-4ac=4+4k≥0，两者结合得出答案即可．
【详解】
当时，方程是一元一次方程：，方程有实数根；
当时，方程是一元二次方程，
解得：且.
综上所述，关于的方程有实数根，则的取值范围是.
故答案为
【点睛】
考查一元二次方程根的判别式，注意分类讨论思想在解题中的应用，不要忽略
这种情况.
9．
【分析】
分配问题，依据题意，等量关系式为：第一次分配时的物价=第二次分配的物价，据此列写等量方程即可．
【详解】
根据等量关系式：第一次分配时的物价=第二次分配的物价
即：
故答案为：
【点睛】
本题考查列写一元一次方程，解题关键是根据题意，找出对应的等量关系式．
10．40
【分析】
由作图可知，是线段的垂直平分线，得出，由等腰三角形的性质得出，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，即可得出结果．
【详解】
解：∵由作图可知，DE是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：40．
【点睛】
本题考查尺规作图-线段垂直平分线、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等内容，根据尺规作图明确DE是线段的垂直平分线是解题的关键．
11．3
【分析】
延长交y轴于E，根据反比例函数k的几何意义得到，则，解得即可．
【详解】
解：延长交y轴于E，如图，

∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形ADOE是矩形，四边形BCOE是矩形，
∵点A在双曲线上，点B在双曲线上，
∴，
∵矩形的面积为2，
∴，
即，
而，
∴．
故答案为3．
【点睛】
本题考查了反比例函数k的几何意义，矩形的性质，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键．
12．
【分析】
连接AQ，BQ，根据圆周角定理可得出 ， ，故为等腰直角三角形，再根据锐角三角函数即可得出答案.
【详解】
连接AQ，BQ，

，
，且，
为等腰直角三角形
,


【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题关键.
13．3．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，∴△ACD的面积=△ACB的面积．
又∵△ACD的面积为3，∴△ACB的面积为3．
∵△ACB的面积矩形AEFC的面积的一半， ∴阴影部分两个三角形的面积和=△ACB的面积=3．
故答案为：3
14．8
【分析】
利用配方法得到y=x2−ax+a=y=(x−a)2﹣a2+a，则顶点P的坐标为(a，)，根据三角形面积公式得到S△PAB=×2×()=，然后根据二次函数的性质可确定△PAB面积最大时a的值．
【详解】
解：∵y=x2−ax+a=y=(x−a)2﹣a2+a，
∴顶点P的坐标为(a，)，
∵点P在x轴上方，
∴＞0，
∴S△PAB=×2×()==，
∴a=8时，△PAB面积最大，
故答案为8．
【点睛】
本题考查了二次函数的最值问题，解题的关键是将面积最大值问题转化为求二次函数最大值问题．
15．，20
【分析】
利用完全平方公式，平方差公式展开化简，然后代入值计算即可．
【详解】
解：

，
当时，
原式
．
【点睛】
本题考查了完全平方公式，平方差公式，合并同类项，熟练运用完全平方公式，平方差公式对代数式进行化简是解题的关键．
16．
【分析】
画树状图，观察图形得出概率．
【详解】

由图形可知，共有9种可能，其中平局有3种可能
所以(平局)．
【点睛】
本题考查求解概率，常见的方法有3种；树状图法、列表法和穷举法．
17．答案见解析
【分析】
由BE＝CF可得BF＝CE，再结合AB＝DC，∠B＝∠C可证得△ABF≌△DCE，问题得证.
【详解】
解∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE．
在△ABF和△DCE中，

∴△ABF≌△DCE，
∴∠A＝∠D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握全等三角形的判定和性质.
18．40米
【分析】
设原计划每天铺设x米,则现计划每天铺设(1+20%)x米，再根据题意列出可出分式方程进行求解.
【详解】
设原计划每天铺设x米,则现计划每天铺设(1+20%)x米，
依题意得
解得x=40
经检验，x=40是远方程的解，
故原计划每天铺设40米
【点睛】
此题主要考查分式方程的求解，解题的关键是根据题意的等量关系列出方程.
19．（1）；（2）见解析；（3）作图见解析，10，6
【分析】
（1）结合题意，等腰直角三角形和三角函数的性质计算，即可得到答案．
（2）根据（1）的结论，得；根据正方形的定义，过点作且，连接、，即可得到答案．
（3）结合题目要求，根据矩形的定义和性质作图，即可完成求解．
【详解】
（1）如图①中，是等腰直角三角形，

∴，
∴，
故答案为：；
（2）根据（1）的结论，得；
过点作且，连接、，如图①中，正方形即为所求；
；
（3）如图②中，矩形即为所求作，矩形的面积，

如图③中，矩形即为所求作，矩形的面积；
．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形、三角函数、矩形、正方形的知识；解题的关键是熟练掌握等腰直角三角形、三角函数、矩形、正方形的性质，从而完成求解．
20．300米
【分析】
根据，可设（米），（米），继而表示出、的长度，再由，可得关于x的方程，解出即可得出答案．
【详解】
在中，，
故设（米），（米），
在中，，（米），
∴，
解得：，
则（米）．
答：该岛礁的高为300米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形在实际生活中的应用，关键是理解题意，把实际问题通过建立数学模型，转化为数学问题．
21．（1）40°；（2）2
【分析】
（1）连接，利用切线的性质和圆心角与圆周角之间的关系，直角三角形两个锐角互余解答即可；
（2）根据等腰三角形的两个底角相等，直角三角形两个锐角互余，确定∠C=30°，利用直角三角形的性质解答即可．
【详解】
解：（1）如图，连接，

∵是的切线，是的半径，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴
=；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设的半径为r，
∵，
∴，
解得：，
∴的半径为2．
【点睛】
本题考查了圆的切线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，圆心角与圆周角的关系定理，熟练掌握切线的性质，连接半径，构造同弧上的圆心角与圆周角，活用直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
22．（1）2，1；（2）30，8，6；（3）22≤x≤35.
【分析】
（1）根据题目中的数据，可以将表格补充完整；
（2）根据题目中的数据可以分别求得a、b、c的值；
（3）根据样本估计整体，集合表格中的数据可以求得区域A大约有多少天中华白海豚出现的数目在22≤x≤35的范围内．
【详解】
解：（1）由收集数据中的数据可得，
22≤x≤28时，中华白海豚在区域A出现的数目为：2，
29≤x≤35时，中华白海豚在区域A出现的数目为：1，
故答案为2，1；
（2）由收集数据中的数据可得，
a=30-0=30，b=8，c=6，
故答案为30，8，6；
（3）200×=30（天），
答：区域A大约有30天中华白海豚出现的数目在22≤x≤35的范围内．
【点睛】
考查极差、用样本估计总体、中位数、众数，解答本题的关键是明确题意，求出相应的中位数、众数、极差．
23．(1)5；(2)a=3，b=200；(3)30或160．
【分析】
（1）根据乙同学在60秒时跑了300米可求出乙同学起跑的速度；
（2）甲同学100秒跑了300米，可求出甲的起跑速度，然后求出提速后的速度，用提速后的路程除以速度可得提速后跑的时间，然后可得b值；
（3）分情况讨论，①在前60秒内，根据甲乙的速度列方程求解即可；②在t=140之后和甲乙相遇之前，分别求出对应时间段的直线解析式，然后根据题意列方程即可.
【详解】
解：（1）300÷60=5米/秒.
（2）由题意得：米/秒，米/秒，
秒.
（3）由题意得：①在t=60秒时，甲的路程=3×60=180米，乙的路程=60×5=300米，所以在前60秒内有乙同学领先甲同学60米的情况，即：5t-3t=60，解得：t=30秒；②t=140秒时，甲的路程=300+5×（140-100）=500米，此时乙跑了620米，所以在t=140之后和甲乙相遇之前，有乙同学领先甲同学60米的情况，当时，设乙同学时间和路程的关系式为y1=k1x+b，将（140,620）和（230，800）代入可求得y1=2x+340，设甲同学时间和路程的关系式为y2=k2x+b，将（100,300）和（200，800）代入可求得y2=5x-200，由2t+340-(5t-200)=60，解得：t=160秒；所以当t=30或160时乙同学领先甲同学60米.
【点睛】
本题考查了学生的读图能力及一次函数的图像和性质，能够读懂函数图像是解题关键.
24．（1）相等；（2）；（3）①图见解析；②5．
【分析】
（1）根据线段垂直平分线的性质即可得到结论；
（2）先根据直线的函数解析式可得点的坐标，从而可得的长，再根据线段垂直平分线性质可得，然后在中，利用勾股定理即可求得；
（3）①根据旋转的性质将线段绕点A顺时针旋转得到线段，画出线段即可；
②先利用待定系数法求得垂直平分线的表达式为，从而可得设点的坐标为 ，然后利用两点之间的距离公式可得，据此利用二次函数的性质求解即可得．
【详解】
解：（1）∵点是中点，，是上任意一点，
∴，
故答案为：相等；
（2）由题意得：当时，；当时，；
∴，
∴，
设的长为，
∵点是中点，交于点，
∴，
在中，，
∴，即，
解得，即．
故的长为；
（3）①如图，线段即为所求．
；
②如图，点，，

过的中点作的垂直平分线，点是该平分线上一点，
∴的中点的坐标为，
又，
的垂直平分线与直线平行，
则设的垂直平分线的解析式为，
∴，解得，
∴垂直平分线的表达式为，
设点，
∴，
∵，故有最小值，当时，有最小值，
当或3时，不是整数；
当时，，是整数，当时，，是整数，
此时的最小值为，
，
又，
，
是等腰直角三角形，且，与题意矛盾，舍去；
当或1时，不是整数；
当或0时，不是整数；
当时，是整数，时，是整数，
此时的最小值为，
，
又，
，
不是等腰直角三角形，即，符合题意，
则点或；
综上，长度的最小值为5，
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了一次函数、二次函数、线段垂直平分线的性质、图形的旋转等知识点，较难的是（3）②，正确求出垂直平分线的表达式是解题关键．
25．（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）根据等边三角形的性质得，根据的正弦函数值即可求解；
（2）当点F落在边上时，可得为等边三角形，用含x的式子表示线段、，由即可求解；
（3）求出当点E和点C重合时，点P到终点B时x的值，分三种情况画出图形，列式化简即可得y与x之间的函数关系式．
【详解】
解：（1）∵等边中，．
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）当点F落在边上时，如图1，

∵为等边三角形，四边形是矩形，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵．
∴，
∴，
∴；
（3）当点E和点C重合时，如图2，

∵由（2）知，为等边三角形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
点P到终点B时，如图3，

∵为等边三角形，．
∴，
∴，
∴函数关系式确定如下：
①当时：（如图4）

；
②当时：（如图5）

∵△PBG是等边三角形，
∴∠PGB=∠HGF=60°，PB=PG=6-2x，
∴GF=PF-PG=3x-(6-2x)=5x-6，
∵tan60°=，
∴HF= tan60°×FG= FG，
∴
；
③当时：（如图6）

∵四边形DPGC是梯形，且PB=PG=6-2x，CD=AC-AD=6-x,
∴．
综上所述，．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，三角形的全等，特殊角的三角函数值，图形面积的分割，分类思想，熟练掌握等边三角形的性质，灵活运用特殊角的三角函数值，合理进行图形面积的分割计算是解得关键．
26．（1），顶点D的坐标为；（2）存在，点P的坐标为或；（3）或
【分析】
（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式，通过解二元一次方程即可得这个抛物线的解析式，将解析式化为顶点式即可得顶点D的坐标；
（2）分是直角、为直角两种情况，通过求解一元二次方程，即可得到答案；
（3）观察图象，根据点A的坐标和顶点D的坐标，设点P的坐标是，通过求解方程，即可完成求解．
【详解】
（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式得：

∴
∴此抛物线的解析式．
∵，
∴顶点D的坐标为；
（2）存在；
①当时：（如图1）

∵，
∴．
∴，
∴，即
∴，（舍）
∴；
②当时：（如图2）

∵，
∴，
∴，即．
∴，（舍）
∴．
∴符合条件的点P的坐标为或；
（3）由图象可得时，的面积为S随着m的增大而减小；
∵顶点D的坐标为，点A的坐标是，
∴由图象可得时，过点P作轴交于点N，

设直线的解析式，
∵点A的坐标是，点C的坐标是，
∴线的解析式，
设点P的坐标是，则点，
∴的面积为，
当时，的面积有最大值，
∴时，S随着m的增大而减小．
∴面积S随着m的增大而减小时m的取值范围为或．
【点睛】
本题考查了二次函数、二元一次方程组、直角三角形、等腰三角形、一元二次方程、坐标的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、一元二次方程的性质，从而完成求解．