2021年吉林省长春市宽城区中考数学一模试卷（解析版）

这是一份2021年吉林省长春市宽城区中考数学一模试卷（解析版），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年吉林省长春市宽城区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最小的是（　　）

A．a B．b C．c D．d
2．某自动控制器的芯片，可植入2020000000粒晶体管，这个数字2020000000用科学记数法可表示为（　　）
A．0.202×1010 B．2.02×109 C．20.2×108 D．2.02×108
3．如图，下列立体图形的左视图是圆的是（　　）
A． B． C． D．
4．不等式﹣x+3≤0的解集为（　　）
A．x≥3 B．x≤3 C．x≥﹣3 D．x≤﹣3
5．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点B逆时针旋转90°后得到△A1O1B，则点A1的坐标是（　　）

A．（2，4） B．（4，2） C．（﹣2，4） D．（﹣4，2）
6．如图，已知锐角∠AOB，在射线OA上取一点C，以点O为圆心、OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；分别以点C、D为圆心、CD长为半径作弧，两弧交于点P，连接CP、DP；作射线OP．若∠AOP＝20°，则∠ODP的度数是（　　）

A．110° B．120° C．130° D．140°
7．我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，所谓“割圆术”就是利用圆内接正多边形无限逼近圆来确定圆周率，刘徽计算出圆周率π≈3.14．刘徽从正六边形开始分割圆，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形…割的越细，圆的内接正多边形就越接近圆．设圆的半径为R，圆内接正六边形的周长p6＝6R，计算．下面计算圆内接正十二边形的周长正确的是（　　）

A．p12＝24Rsin30° B．p12＝24Rcos30°
C．p12＝24Rsin15° D．p12＝24Rcos15°
8．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象和△ABC都在第一象限，，BC∥x轴，且BC＝4，点A的坐标为（3，5）．若将△ABC向下平移m（m＞0）个单位，A、C两点的对应点同时落在函数的图象上，则k的值为（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．分解因式：2a2﹣4a+2＝　 　．
10．若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣k＝0有两个不相等的实数根，则k的值可以为　 　．（写出一个即可）
11．判断命题“代数式2m2﹣1的值一定大于代数式m2﹣1的值”是假命题，只需举出一个反例，反例中m的值为　 　．
12．如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，∠ADE＝∠C，四边形DBCE的面积是△ADE面积的3倍．若DE＝1.5，则BC的长为　 　．

13．如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，AC交⊙O于点D．若⊙O的半径为3，∠C＝40°，则的长为　 　．（结果保留π）

14．如图，杂技团进行杂技表演，一名演员从跷跷板右端A处恰好弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体（看成一点）的路线是抛物线的一部分，跳起的演员距点A所在y轴的水平距离为2.5米时身体离地面最高．若人梯到起跳点A的水平距离为4米，则人梯BC的高为　 　米．

三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．当时，求代数式[（3x+1）（3x﹣1）+（x+1）2]÷x的值．
16．甲、乙两名同学玩一个游戏：在一个不透明的口袋中装有三个小球，分别标有数字1、2、3，这些小球除数字不同外其余均相同．甲先从口袋中随机摸出一个小球记下数字后放回，搅匀后乙再从口袋中随机摸出一个小球．若两次摸出的小球上数字之和是偶数则甲获胜；若两次摸出的小球上数字之和是奇数，则乙获胜．用画树状图或列表的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
17．为帮助贫困山区孩子学习，某学校号召学生自愿捐书．已知七、八年级同学捐书总数相等都是900本，八年级捐书人数比七年级多30人，七年级人均捐书数量是八年级人均捐书数量的1.2倍．求八年级人均捐书的数量．
18．图①、图②均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．△ABC的顶点均在格点上．要求只用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．
（1）在图①中画△ABC的中线BD．
（2）在图②中画△ABC的高线BE，并直接写出BE的长．（保留确定点E的画图痕迹）

19．如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，且BE＝DF．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）连接EF，若∠CEF＝30°，AE＝，直接写出四边形ABCD的周长．

20．自从开展“创建全国文明城区”工作以来，某城区便掀起了“争做热心人”志愿服务的热潮，区教育局也号召各校学生积极参与志愿服务．为了解甲、乙两所学校的学生一周志愿服务的情况，从这两所学校中各随机抽取40名学生，分别对他们一周的志愿服务时长（单位：min）数据进行收集、整理、描述和分析，部分信息如下：
a．甲校40名学生一周的志愿服务时长的扇形统计图如图：
b．甲校40名学生一周志愿服务时长在60≤x＜80这一组数据的是：60，60，62，63，65，68，70，72，73，75，75，77，79，79．
c．甲、乙两校各抽取的40名学生一周志愿服务时长的平均数、中位数、众数如下：
学校
平均数
中位数
众数
甲校
75
m
90
乙校
75
76
85
根据以上信息，解答下列问题：
（1）表中m的值为　 　．
（2）根据上面的统计结果，从志愿服务时长的角度看，你认为学生志愿服务工作做得较好的是　 　（填“甲校”或“乙校”），理由是　 　．（写出一条即可）
（3）甲校共有学生500人，该校要求学生一周志愿服务的时长不少于60min，请估计该校学生中一周志愿服务时长符合要求的人数．

21．甲、乙两地的路程为290千米，一辆汽车早上8：00从甲地出发，匀速向乙地行驶，途中休息一段时间后，继续按原速前进，当离甲地路程为240千米时接到通知，要求中午12：00准时到达乙地．设汽车离甲地的路程为y（千米），汽车出发时间为x（时），图中折线OCDE表示接到通知前y与x之间的函数图象．
（1）根据图象可知，休息前汽车行驶的速度为　 　千米/时．
（2）求线段DE所表示的y与x之间的函数关系式．
（3）汽车要想12：00准时到达乙地，求汽车接到通知后需匀速行驶的速度．

22．问题呈现：如图①，在一次数学折纸活动中，有一张矩形纸片ABCD，点E在AD上，点F在BC上，小华同学将这张矩形纸片沿EF翻折得到四边形C'D'EF，C'F交AD于点H，小华认为△EFH是等腰三角形，你认为小华的判断正确吗？请说明理由．
问题拓展：如图②，在“问题呈现”的条件下，当点C的对应点C'落在AD上时，已知DE＝a，CD＝b，CF＝c，写出a、b、c满足的数量关系，并证明你的结论．
问题应用：如图③，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝4．将▱ABCD沿对角线AC翻折得到△ACE，AE交BC于点F．若点F为BC的中点，则▱ABCD的面积为　 　．
23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10．点P从点C出发沿CA以每秒2个单位的速度向点A运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；在点P出发的同时，点Q从点A出发沿AB以每秒2个单位的速度向终点B运动．当点Q到达终点时，点P也停止运动．以PQ为斜边作等腰直角三角形PQM，使点M与点C在PQ的同侧．设P、Q两点的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）用含t的代数式表示线段BQ的长．
（2）当四边形APMQ为轴对称图形时，求t的值．
（3）当∠AQM为锐角时，求t的取值范围．
（4）当点M与△ABC一个顶点的连线垂直平分PQ时，直接写出t的值．

24．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+3m+1（m为常数）．
（1）当抛物线的顶点在第二象限时，求m的取值范围．
（2）当﹣2≤x≤1时，y先随x的增大而增大，后随x的增大而减小，且当x＝1时y有最小值，求整数m的值．
（3）当m＝1时，点A是直线y＝2上一点，过点A作y轴的平行线交抛物线于点B，以线段AB为边作正方形ABCD，使CD与y轴在的AB的同侧．若点C落在抛物线上，求点A的横坐标．
（4）已知△EFG三个顶点的坐标分别为E（0，1），F（0，﹣1），G（2，1）．当抛物线与△EFG的边有两个公共点时，直接写出m的取值范围．


参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最小的是（　　）

A．a B．b C．c D．d
解：∵由数轴可得，离原点最近的点的是点c，
∴绝对值最小的是点c，
故选：C．
2．某自动控制器的芯片，可植入2020000000粒晶体管，这个数字2020000000用科学记数法可表示为（　　）
A．0.202×1010 B．2.02×109 C．20.2×108 D．2.02×108
解：2020000000＝2.02×109，
故选：B．
3．如图，下列立体图形的左视图是圆的是（　　）
A． B． C． D．
解：A、立方体的左视图是正方形，故此选项不合题意；
B、圆锥的左视图是等腰三角形，故此选项不合题意；
C、圆柱的左视图是矩形，故此选项不合题意；
D、球的左视图是圆形，故此选项符合题意；
故选：D．
4．不等式﹣x+3≤0的解集为（　　）
A．x≥3 B．x≤3 C．x≥﹣3 D．x≤﹣3
解：移项，得﹣x≤﹣3，
系数化为1得x≥3．
故选：A．
5．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点B逆时针旋转90°后得到△A1O1B，则点A1的坐标是（　　）

A．（2，4） B．（4，2） C．（﹣2，4） D．（﹣4，2）
解：由函数图像的B点的坐标为（0，4），
将y＝0代入y＝2x+4，可得x＝﹣2，
故A点的坐标为（﹣2，0），
∴OA＝2，OB＝4，
∴BO1＝OB＝4，
故A1的横坐标为4，
又∵A1O1＝OA＝2，
故A1的纵坐标为2，
∴点A1的坐标是（4，2）．
故选：B．
6．如图，已知锐角∠AOB，在射线OA上取一点C，以点O为圆心、OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；分别以点C、D为圆心、CD长为半径作弧，两弧交于点P，连接CP、DP；作射线OP．若∠AOP＝20°，则∠ODP的度数是（　　）

A．110° B．120° C．130° D．140°
解：由题意得OP为∠AOB的角平分线，△CDP为等边三角形，
∵OC＝OD，CP＝DP，OP＝OP，
∴△COP≌△DOP，
∴∠OCP＝∠ODP，
∵∠COD＝2∠AOP＝40°，
∠CPD＝60°，
∴∠OCP+∠ODP＝2∠ODP＝360°﹣∠COD﹣∠CPD＝260°，
∴∠ODP＝260°÷2＝130°．
故选：C．
7．我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，所谓“割圆术”就是利用圆内接正多边形无限逼近圆来确定圆周率，刘徽计算出圆周率π≈3.14．刘徽从正六边形开始分割圆，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形…割的越细，圆的内接正多边形就越接近圆．设圆的半径为R，圆内接正六边形的周长p6＝6R，计算．下面计算圆内接正十二边形的周长正确的是（　　）

A．p12＝24Rsin30° B．p12＝24Rcos30°
C．p12＝24Rsin15° D．p12＝24Rcos15°
解：∵十二边形A1A2…A12是正十二边形，
∴∠A6OA7＝30°．
∵OM⊥A1A2于M，又OA6＝OA7，
∴∠A6OM＝15°，
∵正n边形的周长＝n•2R•sin，
∴圆内接正十二边形的周长P12＝24Rsin15°，
故选：C．
8．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象和△ABC都在第一象限，，BC∥x轴，且BC＝4，点A的坐标为（3，5）．若将△ABC向下平移m（m＞0）个单位，A、C两点的对应点同时落在函数的图象上，则k的值为（　　）

A． B． C． D．
解：∵AB＝AC＝，BC＝4，点A（3，5）．
∴B（1，），C（5，），
将△ABC向下平移m个单位长度，
∴A（3，5﹣m），C（5，﹣m），
∵A，C两点同时落在反比例函数图象上，
∴3（5﹣m）＝5（﹣m），
∴m＝；
∴A（3，）
∴k＝3×＝．
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．分解因式：2a2﹣4a+2＝　2（a﹣1）2　．
解：原式＝2（a2﹣2a+1）
＝2（a﹣1）2．
故答案为：2（a﹣1）2．
10．若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣k＝0有两个不相等的实数根，则k的值可以为　3（答案不唯一）　．（写出一个即可）
解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣k＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣k）＝16+4k＞0，
解得k＞﹣4，
取k＝3，
故答案为：3（答案不唯一）．
11．判断命题“代数式2m2﹣1的值一定大于代数式m2﹣1的值”是假命题，只需举出一个反例，反例中m的值为　0　．
解：当m＝0时，2m2﹣1＝0，m2﹣1＝0，
则代数式2m2﹣1的值等于代数式m2﹣1的值，
∴命题“代数式2m2﹣1的值一定大于代数式m2﹣1的值”是假命题，
故答案为：0．
12．如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，∠ADE＝∠C，四边形DBCE的面积是△ADE面积的3倍．若DE＝1.5，则BC的长为　3　．

解：∵∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∵四边形DBCE的面积是△ADE面积的3倍，
∴S△ABC＝S△ADE+3S△ADE＝4S△ADE，
∴＝，
∴＝，
∴BC＝2DE＝3．
故答案为：3．
13．如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，AC交⊙O于点D．若⊙O的半径为3，∠C＝40°，则的长为　π　．（结果保留π）

解：连接OD，如图，
∵BC切⊙O于点B，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∵∠A＝90°﹣∠C＝90°﹣40°＝50°，
∴∠BOD＝2∠A＝100°，
∴的长＝＝π．
故答案为π．

14．如图，杂技团进行杂技表演，一名演员从跷跷板右端A处恰好弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体（看成一点）的路线是抛物线的一部分，跳起的演员距点A所在y轴的水平距离为2.5米时身体离地面最高．若人梯到起跳点A的水平距离为4米，则人梯BC的高为　3.4　米．

解：∵跳起的演员距点A所在y轴的水平距离为2.5米时身体离地面最高．
∴抛物线的对称轴为x＝2.5，
∴x＝﹣＝2.5，解得：b＝3，
∴抛物线为y＝﹣x2+3x+1，
∵人梯到起跳点A的水平距离是4，
∴点B的横坐标为4，
则yB＝﹣×42+3×4+1＝3.4，即BC＝3.4米．
故答案为：3.4．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．当时，求代数式[（3x+1）（3x﹣1）+（x+1）2]÷x的值．
解：[（3x+1）（3x﹣1）+（x+1）2]÷x
＝（9x2﹣1+x2+2x+1）÷x
＝（10x2+2x）÷x
＝10x+2，
当x＝﹣时，原式＝10×（﹣）+2＝﹣1+2＝1．
16．甲、乙两名同学玩一个游戏：在一个不透明的口袋中装有三个小球，分别标有数字1、2、3，这些小球除数字不同外其余均相同．甲先从口袋中随机摸出一个小球记下数字后放回，搅匀后乙再从口袋中随机摸出一个小球．若两次摸出的小球上数字之和是偶数则甲获胜；若两次摸出的小球上数字之和是奇数，则乙获胜．用画树状图或列表的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
解：画树状图如下：

由表可知，共有9种等可能结果，其中和为偶数的有5种结果，和为奇数的有4种结果，
∴P（甲获胜）＝，P（乙获胜）＝．
∵≠，
∴这个游戏对双方不公平．
17．为帮助贫困山区孩子学习，某学校号召学生自愿捐书．已知七、八年级同学捐书总数相等都是900本，八年级捐书人数比七年级多30人，七年级人均捐书数量是八年级人均捐书数量的1.2倍．求八年级人均捐书的数量．
解：设八年级人均捐书x本，则七年级人均捐书1.2x本，
依题意得：﹣＝30，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意．
答：八年级人均捐书5本．
18．图①、图②均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．△ABC的顶点均在格点上．要求只用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．
（1）在图①中画△ABC的中线BD．
（2）在图②中画△ABC的高线BE，并直接写出BE的长．（保留确定点E的画图痕迹）

解：（1）如图，线段BD即为所求作．

（2）如图，线段BE即为所求作．
S△ABC＝•AC•BE＝，
∴BE＝．
19．如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，且BE＝DF．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）连接EF，若∠CEF＝30°，AE＝，直接写出四边形ABCD的周长．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠ADF，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
在△AEB和△AFD中，
，
∴△AEB≌△AFD（ASA），
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵∠CEF＝30°，AE⊥BC，
∴∠AEF＝60°，
由（1）知，△AEB≌△AFD，
∴AE＝AF，∠BAE＝∠DAF，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠EAF＝60°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB＝90°，
∴∠DAF＝∠DAE﹣∠EAF＝30°，
∴∠BAE＝30°，
∴BE＝AB，
∴AB＝2BE，
∵AB2＝BE2+AE2，AE＝2，
∴（2BE）2＝BE2+（2），
∴BE＝2，
∴AB＝4，
∵由（1）知，四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD的周长＝4AB＝16．

20．自从开展“创建全国文明城区”工作以来，某城区便掀起了“争做热心人”志愿服务的热潮，区教育局也号召各校学生积极参与志愿服务．为了解甲、乙两所学校的学生一周志愿服务的情况，从这两所学校中各随机抽取40名学生，分别对他们一周的志愿服务时长（单位：min）数据进行收集、整理、描述和分析，部分信息如下：
a．甲校40名学生一周的志愿服务时长的扇形统计图如图：
b．甲校40名学生一周志愿服务时长在60≤x＜80这一组数据的是：60，60，62，63，65，68，70，72，73，75，75，77，79，79．
c．甲、乙两校各抽取的40名学生一周志愿服务时长的平均数、中位数、众数如下：
学校
平均数
中位数
众数
甲校
75
m
90
乙校
75
76
85
根据以上信息，解答下列问题：
（1）表中m的值为　78　．
（2）根据上面的统计结果，从志愿服务时长的角度看，你认为学生志愿服务工作做得较好的是　甲校　（填“甲校”或“乙校”），理由是　甲校学生一周志愿服务时长的中位数是78min，大于乙校的中位数76min　．（写出一条即可）
（3）甲校共有学生500人，该校要求学生一周志愿服务的时长不少于60min，请估计该校学生中一周志愿服务时长符合要求的人数．

解：（1）甲校A、B、C三组的人数为40×（5%+15%+35%）＝22（人），
甲班同学一周志愿服务时长从小到大排列后，处在第20、21位两个数的平均数为 ＝78（分），
因此m＝78，
故答案为：78；

（2）甲校所在的学校学生志愿服务工作做得好，
因为甲校学生一周志愿服务时长的中位数是78min，大于乙校的中位数76min．
故答案为：甲校学生一周志愿服务时长的中位数是78min，大于乙校的中位数76min．

（3）因为500×（1﹣5%﹣15%）＝400（人），
所以甲校学生中一周志愿服务时长不少于60min的人数约为400人．
21．甲、乙两地的路程为290千米，一辆汽车早上8：00从甲地出发，匀速向乙地行驶，途中休息一段时间后，继续按原速前进，当离甲地路程为240千米时接到通知，要求中午12：00准时到达乙地．设汽车离甲地的路程为y（千米），汽车出发时间为x（时），图中折线OCDE表示接到通知前y与x之间的函数图象．
（1）根据图象可知，休息前汽车行驶的速度为　80　千米/时．
（2）求线段DE所表示的y与x之间的函数关系式．
（3）汽车要想12：00准时到达乙地，求汽车接到通知后需匀速行驶的速度．

解：（1）由图象可知，休息前汽车行驶的速度为80千米/小时；
故答案为：80；
（2）休息后按原速继续前进行驶的时间为：（240﹣80）÷80＝2（小时），
∴点E的坐标为（3.5，240），
设线段DE所表示的y与x之间的函数表达式为y＝kx+b，则：
得，，
∴线段DE所表示的y与x之间的函数表达式为：y＝80x﹣40（1.5≤x≤3.5）；
（3）接到通知后，汽车距离乙地还有290﹣240＝50（千米），
此时距离12点还有12﹣8﹣3.5＝0.5（小时），
∴汽车要想按时到达速度为：＝100（千米/小时），
答：汽车接到通知后的速度为100千米/小时．
22．问题呈现：如图①，在一次数学折纸活动中，有一张矩形纸片ABCD，点E在AD上，点F在BC上，小华同学将这张矩形纸片沿EF翻折得到四边形C'D'EF，C'F交AD于点H，小华认为△EFH是等腰三角形，你认为小华的判断正确吗？请说明理由．
问题拓展：如图②，在“问题呈现”的条件下，当点C的对应点C'落在AD上时，已知DE＝a，CD＝b，CF＝c，写出a、b、c满足的数量关系，并证明你的结论．
问题应用：如图③，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝4．将▱ABCD沿对角线AC翻折得到△ACE，AE交BC于点F．若点F为BC的中点，则▱ABCD的面积为　3　．
解：问题呈现：小华的判断是正确的．
在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠HEF＝∠EFC．
由折叠，得∠HFE＝∠EFC，
∴∠HFE＝∠HEF．
∴HE＝HF．
∴△EFH是等腰三角形．
问题拓展：a2+b2＝c2．
在矩形ABCD中，∠D＝90°，
由折叠，得∠D'＝∠D＝90°，DE＝DE＝a，C'D'＝CD＝b，C'F＝CF＝c
由问题呈现，得C'E＝C'F＝c．
在Rt△C'D'E中，D'E2+C'D'2＝C'E2，
∴a2+b2＝c2；
问题应用：

∵四边形ABCD为平行四边形，AB＝3，AD＝4，
∴CD＝3，BC＝4，∠B＝∠D，
由折叠性质可知，
EC＝CD，AE＝AD＝4，∠E＝∠D，
∴EC＝AB，∠B＝∠E，
∵点F为BC的中点，
∴BF＝CF，
∵∠AFB＝∠EFC，
∴△AFB≌△EFC（AAS），
∴AF＝FE＝AE＝＝2．
∴BF＝AF＝2，
如图，过点F作FH⊥AB于H，
则AH＝BH＝AB＝＝，
在Rt△BHF中，HF＝＝＝，
∴S△ABF＝＝＝，
∴S▱ABCD＝4S△ABF＝4×＝3．
故答案为3．
23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10．点P从点C出发沿CA以每秒2个单位的速度向点A运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；在点P出发的同时，点Q从点A出发沿AB以每秒2个单位的速度向终点B运动．当点Q到达终点时，点P也停止运动．以PQ为斜边作等腰直角三角形PQM，使点M与点C在PQ的同侧．设P、Q两点的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）用含t的代数式表示线段BQ的长．
（2）当四边形APMQ为轴对称图形时，求t的值．
（3）当∠AQM为锐角时，求t的取值范围．
（4）当点M与△ABC一个顶点的连线垂直平分PQ时，直接写出t的值．

解：（1）由题意，得AQ＝2t，
∵AB＝10，
∴BQ＝AB﹣AQ＝10﹣2t（0＜t≤5）．
（2）当四边形APMQ为轴对称图形时，PQ的垂直平分线过A点，
∴Rt△PMQ为轴对称图形，
∴PA＝AQ，
∵AP＝AC﹣CP，AC＝6，CP＝2t，
∴AP＝6﹣2t，即6﹣2t＝2t，
∴t＝．
（3）当∠AQM为直角时，∠AQM＝90°，
∵△PQM为等腰直角三角形，
∴∠PQM＝45°，
∴∠AQP＝∠AQM﹣∠PQM＝90°﹣45°＝45°，
如图，作PD⊥AQ交AQ于点D，

∴PD＝DQ，
∴APsin∠A＝AQ﹣APcos∠A，即（6﹣2t）×+（6﹣2t）×＝2t，
∴t＝，
当t＜时，∠AQM＞90°，
当t＞时，∠AQM＜90°，
∴．
（4）分三种情况，使得PQ的中垂线分别经过A、B、C．
①过A点，与（2）情况相同，PA＝AQ，
6﹣2t＝2t，
t＝；
②过B点，此时PQ＝QB，
PB＝，QB＝10﹣2t，
∴，
∴t＝；
③过C点，此时CP＝CQ，CQ＝5，CP＝2t，即2t＝5，
∴t＝；
④当3＜t≤5时，CP的表示方法为12﹣2t，故CQ＝12﹣2t，t＝．
综上，t的值为或或或．
24．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+3m+1（m为常数）．
（1）当抛物线的顶点在第二象限时，求m的取值范围．
（2）当﹣2≤x≤1时，y先随x的增大而增大，后随x的增大而减小，且当x＝1时y有最小值，求整数m的值．
（3）当m＝1时，点A是直线y＝2上一点，过点A作y轴的平行线交抛物线于点B，以线段AB为边作正方形ABCD，使CD与y轴在的AB的同侧．若点C落在抛物线上，求点A的横坐标．
（4）已知△EFG三个顶点的坐标分别为E（0，1），F（0，﹣1），G（2，1）．当抛物线与△EFG的边有两个公共点时，直接写出m的取值范围．
解：（1）∵y＝﹣x2+2mx﹣m2+3m+1＝﹣（x﹣m）2+3m+1，
∴抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+3m+1的顶点为（m，3m+1），
∵抛物线的顶点在第二象限，
∴，
解得﹣＜m＜0；
（2）∵当﹣2≤x≤1时，y先随x的增大而增大，后随x的增大而减小，且抛物线对称轴x＝m，
∴﹣2＜m＜1，
当x＝﹣2时，y＝﹣m2﹣m﹣3，
当m＝1时，y＝﹣m2+5m，
∵当x＝1时y有最小值，
∴﹣m2+5m≤﹣m2﹣m﹣3，
解得m≤﹣，
∴﹣2＜m≤﹣，
∵m为整数，
∴m＝﹣1
（3）设点A坐标为（a，2），则点B的坐标为（a，﹣a2+2a+3），
∴AB＝﹣a2+2a+3﹣2＝﹣a2+2a+1或AB＝2﹣（﹣a2+2a+3）＝a2﹣2a﹣1．
∵BC＝2a﹣2或BC＝2﹣2a，
∴＝﹣a2+2a+1＝2a﹣2或a2﹣2a﹣1＝2a﹣2，
解得a＝或a＝2+或a＝2﹣（舍）．
∴点A的横坐标为﹣或或2+．
（4）抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+3m+1＝﹣（x﹣m）2+3m+1，
抛物线顶点坐标为（m，3m+1），顶点运动轨迹为直线y＝3x+1，
抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣m2+3m+1），
如图，当抛物线经过点F（0，﹣1）时，﹣m2+3m+1＝﹣1，
解得m＝（舍）或m＝，

m增大，当抛物线经过点G（2，1）时，1＝﹣22+4m﹣m2+3m+1，
解得m＝或m＝（舍），

∴＜m＜满足题意．
m继续增大，抛物线与三角形无交点，当抛物线经过点E（0，1）时，﹣m2+3m+1＝1，
解得m＝0（舍）或m＝3，

m增大，当抛物线经过点G时，m＝（舍）或m＝，

∴3＜m＜．
综上所述，＜m＜或3＜m＜．