还剩27页未读，
继续阅读
2021年吉林省长春市二道区中考数学一模试卷
展开
这是一份2021年吉林省长春市二道区中考数学一模试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年吉林省长春市二道区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）下列四个数表示在数轴上，它们对应的点中，离原点最近的是（ ）
A．﹣2 B．1.3 C．﹣0.4 D．0.6
2．（3分）2021年2月10日19时52分，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器实施近火捕获制动，顺利进入近火点高度约400千米，成为我国第一颗人造火星卫星，实现“绕、着、巡”第一步“绕”的目标，环绕火星获得成功，其中“400千米”用科学记数法可以表示为（ ）
A．4×105米 B．4×106米 C．0.4×106米 D．400×103米
3．（3分）某校九年级某班在“迎中考百日誓师”活动中打算制作一个带有正方体挂坠的倒计时牌挂在班级“成功舍我其谁”六个字分别书写在正方体的六个面上，如图是该班同学设计的正方体挂坠的平面展开图，那么“我”字对面的字是（ ）
A．其 B．谁 C．舍 D．成
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2mn﹣mn＝2 B．m2•m3＝m6 C．m﹣2÷m＝m﹣3 D．（﹣m2）3＝m6
5．（3分）⊙O是一个正n边形的外接圆，若⊙O的半径与这个正n边形的边长相等，则n的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（3分）如图，一艘海伦位于灯塔P的南偏东37°方向，距离灯塔40海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔的正东方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离PB的长可以表示为（ ）
A．40海里 B．40sin37°海里
C．40cos37°海里 D．40tan37°海里
7．（3分）如图小张同学的尺规作图步骤，其具体做法如下：
①在射线AD上顺次截取AB＝BC＝a，②分别以B、C为圆心，以a为半径作圆弧，两弧交于点E，③连接AE、BE、CE，则下列说法错误的是（ ）
A．△BCE为等边三角形 B．△ACE的面积为
C． D．∠AEC＝3∠A
8．（3分）如图，在平面直角坐标系，等腰直角△ABC的顶点A、B均在函数y＝（k＞0）的图象上，点C在y轴正半轴上，∠ACB＝90°，若点A的横坐标为﹣2，点B的纵坐标为1，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）分解因式：a3﹣ab2＝ ．
10．（3分）关于x的不等式ax＞2的解集为x＜，写出一个满足条件的a的值 ．（写出一个即可）
11．（3分）关于x的方程x2＝m﹣1有实数根，则m的取值范围是 ．
12．（3分）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB、CD，若CD∥BE，∠1＝30°，则∠2的大小为 度．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交边AB于点D，以点B为圆心，BD长为半径画圆弧，交边BC于点E，若AC＝2，则图中阴影部分图形的面积和为 （结果保留π）．
14．（3分）若点P（a，b）在抛物线y＝﹣x2+2x﹣1，则a+b的最大值为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）计算：6sin45°﹣+|2﹣|+（2﹣3）0．
16．（6分）2021年是中国辛年，小明将收集到的以下3张牛年邮票分别放到A、B、C三个完全相同的盒子中，现从中随机抽取一个盒子．
（1）“小明抽到80分邮票”是 事件．（填“随机”“不可能”或“必然”）
（2）小明将抽取的盒子放回，再随机抽取一个盒子，用画树状图（或列表）的方法，求小明抽到的两个盒子恰好是150分邮票和50分邮票的概率．
17．（6分）昆明圆通山动物园采用手机APP购票，智能闸机验票的方式，大大缩短了游客排队购票，验票的等待时间，平均每分钟接待游客的人数是原来的10倍．且接待5000名游客的入园时间比原来接待600名游客的入园时间还少5分钟，求昆明圆通山动物园原来平均每分钟接待游客的人数．
18．（7分）图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，点P为△ABC内部的格点，在图①、图②给定网格中按要求作图，只用无刻度的直尺，保留适当的作图痕迹．
（1）在图①中△ABC的边AC上确定一点O，使PQ的长最短．
（2）在②中△ABC的边AB上明确定一点M，边BC上确定一点N，连接PM、PN，使△PMN的周长最短，最短周长为 ．
19．（7分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且EA＝EC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）若tan∠BDC＝，DE＝EC＝2，则CD的长为 ．
20．（7分）2020年底，全国范围餐饮行业禁止使用不可降解的一次性塑料吸管，很多餐饮企业“换装”，用纸吸管或直饮杯盖代替塑料吸管，某校数学兴趣小组想了解该校所在区域奶茶店减少使用塑料吸管情况，因此在2021年4月5日这天随机调查了该校区所在区域20家奶茶店售卖饮品杯数n（单位：杯）的情况，将统计结果分为：A：50≤n＜150；B：150≤n＜250；C：250≤n＜350；D：350≤n＜350；E：450≤n＜550，并绘制了频数分布直方图．
其中，C组数据为：265，341，253，292，312，345，278．
（1）该兴趣小组同学在进行数据的收集调查时，在明确调查问题、确定调查对象后，还完成了以下4个步骤，下面就是该打乱顺序的步骤，正确的顺序是 （用序号写出即可）．
①记录结果；
②得出结论；
③展开调查；
④选择调查方法．
（2）被调查的20家奶茶店当天售卖饮品杯数的中位数为 ．
（3）该校数学兴趣小组同学统计出4月5日当日走访的奶茶店共销售饮品5820杯，这些饮品均使用纸吸管，假设以前每杯配一根塑料吸管，若该区域共有500家奶茶店，每根吸管用塑料0.5克，则估计该校所在区域500家奶茶店4元5日当天共减少使用塑料吸管多少克？
21．（8分）某广告公司需要印刷一批宣传单，某印刷厂由甲、乙两台机器同时印刷这批宣传单，甲机器印刷一段时间后，出现故障，停下来维修，排除故障后继续以原来的速度印刷，两台机器需印刷总量y（份）与印刷时间x（分钟）函数关系如图所示．
（1）甲机器维修时间是 分钟，甲、乙两台机器一分钟共印宣传单 份．
（2）求线段AB对应的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
（3）若甲机器没有发生故障，则可提前 分钟印刷完这批宣传单．
22．（9分）【问题提出】小慧同学遇到这样一道问题，如图①，在△ABC中，点D为边AC的中点．以点D为圆心，AC为直径作圆，∠ACB的平分线交此圆于点P，点P在△ABC的内部，连接BP．
求证，△BPC的面积等于△ABC面积的一半．
【问题解决】小慧的做法是连接AP并延长，交BC于点Q，利用△ACQ形状的特殊性解决问题，请你利用小慧的做法完成【问题提出】中的证明．
【问题拓展】如图②，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD．AC⊥BC，若BD＝8．AB﹣AD＝3，则△BCD面积的最大值为 ．
23．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点P从点A出发，沿折线AC﹣CB以每秒2个单位长度的速度向终点B匀速运动，点Q为线段CP的中点，点H在PQ下方，∠HPQ＝90°，∠HQP＝∠ABC，设点P运动的时间为t（秒）．
（1）当点P在边AC上运动时，
①线段PQ的长为 ．（用含t的代数式表示）
②若△PQH与△ABC重叠部分为轴对称图形，求t的值．
（2）当点H落在边AB上时，求HB的长．
（3）取边QH的中点E，边BC的中点F，连接EF，当EF∥AB时，直接写出t的值．
24．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+2x﹣1（a≠0），点A（﹣1，m）、B（2，n）均在该抛物线上，将抛物线在点A、B之间的部分（包括A、B两点）记为图象G．
（1）分别用含α的代数式表示m、n的值．
（2）设图象G最高点纵坐标与最低点纵坐标的差为h．
①当a＝﹣1时，求h的值；
②当图象G从左至右逐渐上升时，求h的最大值和最小值．
（3）图象G上恰好有三个点到x轴的距离等于到直线y＝a的距离的2倍，直接写出a的取值范围．
2021年吉林省长春市二道区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）下列四个数表示在数轴上，它们对应的点中，离原点最近的是（ ）
A．﹣2 B．1.3 C．﹣0.4 D．0.6
【分析】离原点最近的即是绝对值最小的数，依次求出绝对值进行比较即可选出正确答案．
【解答】∵|﹣2|＝2，|1.3|＝1.3，|﹣0.4|＝0.4，|0.6|＝0.6，
∴0.4＜0.6＜1.3＜2，
又∵离原点最近的即是绝对值最小的数，
∴离原点最近的是﹣0.4，
故选：C．
2．（3分）2021年2月10日19时52分，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器实施近火捕获制动，顺利进入近火点高度约400千米，成为我国第一颗人造火星卫星，实现“绕、着、巡”第一步“绕”的目标，环绕火星获得成功，其中“400千米”用科学记数法可以表示为（ ）
A．4×105米 B．4×106米 C．0.4×106米 D．400×103米
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：400千米＝400000米＝4×105米．
故选：A．
3．（3分）某校九年级某班在“迎中考百日誓师”活动中打算制作一个带有正方体挂坠的倒计时牌挂在班级“成功舍我其谁”六个字分别书写在正方体的六个面上，如图是该班同学设计的正方体挂坠的平面展开图，那么“我”字对面的字是（ ）
A．其 B．谁 C．舍 D．成
【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．
【解答】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，
“其”与“舍”是对面，
“成”与“功”是对面，
“谁”与“我”是对面，
故选：B．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2mn﹣mn＝2 B．m2•m3＝m6 C．m﹣2÷m＝m﹣3 D．（﹣m2）3＝m6
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，幂的乘方法则计算即可．
【解答】解：A．根据合并同类项法则，原式＝mn，不符合题意；
B．根据同底数幂的乘法，原式＝m5，不符合题意；
C．根据同底数幂的除法，计算正确，符合题意；
D．原式＝﹣m6，不符合题意．
故选：C．
5．（3分）⊙O是一个正n边形的外接圆，若⊙O的半径与这个正n边形的边长相等，则n的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】因为⊙O的半径与这个正n边形的边长相等，推出这个多边形的中心角＝60°，构建方程即可解决问题；
【解答】解：∵⊙O的半径与这个正n边形的边长相等，
∴这个多边形的中心角＝60°，
∴＝60°，
∴n＝6，
故选：D．
6．（3分）如图，一艘海伦位于灯塔P的南偏东37°方向，距离灯塔40海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔的正东方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离PB的长可以表示为（ ）
A．40海里 B．40sin37°海里
C．40cos37°海里 D．40tan37°海里
【分析】根据已知条件得出∠BAP＝37°，再根据AP＝40海里和正弦定理即可求出BP的长．
【解答】解：∵一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，
∴∠BAP＝37°，
∵AP＝40海里，
∴BP＝AP•sin37°＝40sin37°海里；
故选：B．
7．（3分）如图小张同学的尺规作图步骤，其具体做法如下：
①在射线AD上顺次截取AB＝BC＝a，②分别以B、C为圆心，以a为半径作圆弧，两弧交于点E，③连接AE、BE、CE，则下列说法错误的是（ ）
A．△BCE为等边三角形 B．△ACE的面积为
C． D．∠AEC＝3∠A
【分析】由题意可得△BCE为等边三角形，根据直角三角形及等边三角形依次判断．
【解答】解：由题意得AB＝BC＝BE＝CE＝a，
∴△BCE为等边三角形，故A选项正确．
∴△BCE的面积为，故B选项错误．
∵BE＝BA，∠EBC＝60°，
∴∠A＝∠BEA＝30°，
∴sinA＝sin30°＝，故C选项正确．
∴∠AEC＝∠BEA+∠BEC＝30°+60°＝90°，
∴∠AEC＝3∠A，故D选项正确．
故选：B．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系，等腰直角△ABC的顶点A、B均在函数y＝（k＞0）的图象上，点C在y轴正半轴上，∠ACB＝90°，若点A的横坐标为﹣2，点B的纵坐标为1，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【分析】作AM⊥y轴，BN⊥y轴于点M，N，用含k代数式表示点A，B坐标，通过CM﹣CN＝xB﹣xA求解．
【解答】解：作AM⊥y轴，BN⊥y轴于点M，N，
把x＝﹣2代入y＝得y＝﹣，
∴点A坐标为（﹣2，﹣），
把y＝1代入代入y＝得x＝k，
∴点B坐标为（k，1），
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ACB＝90°，AC＝BC，
∵∠ACM+∠BCN＝90°，∠ACM+∠MAC＝90°，
∴∠MAC＝∠BCN，
∴△ACM≌△CBN（AAS），
∴CM＝BN＝k，AM＝CN＝2，
∴NM＝CM﹣CN＝xB﹣xA，
即k﹣2＝1﹣（﹣），
解得k＝6，
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）分解因式：a3﹣ab2＝ a（a+b）（a﹣b） ．
【分析】首先提取公因式a，进而利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：a3﹣ab2
＝a（a2﹣b2）
＝a（a+b）（a﹣b）．
故答案为：a（a+b）（a﹣b）．
10．（3分）关于x的不等式ax＞2的解集为x＜，写出一个满足条件的a的值 ﹣1（答案不唯一） ．（写出一个即可）
【分析】利用不等式的基本性质判断即可确定出a的值．
【解答】解：∵关于x的不等式ax＞2的解集为x＜，
∴a＜0，
则一个满足条件a＝﹣1，
故答案为：﹣1（答案不唯一）．
11．（3分）关于x的方程x2＝m﹣1有实数根，则m的取值范围是 m≥1 ．
【分析】根据直接开平方法的条件得到m﹣1≥0，然后解不等式即可．
【解答】解：∵关于x的方程x2＝m﹣1有实数根，
∴m﹣1≥0，
∴m≥1，
故答案为：m≥1．
12．（3分）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB、CD，若CD∥BE，∠1＝30°，则∠2的大小为 60 度．
【分析】由折叠的性质可得∠3＝∠1＝30°，从而求得∠4＝120°，再根据平行线的性质定理求出∠ACD＝∠4＝120°，最后再根据平行线性质定理求出∠2＝60°．
【解答】解：如图，延长FA，由折叠的性质，可得∠3＝∠1＝30°，
∴∠4＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∵CD∥BE，BE∥AF，
∴∠ACD＝∠4＝120°，
又∵AC∥BD，
∴∠2＝180°﹣∠ACD＝180°﹣120°＝60°．
故答案为：60．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交边AB于点D，以点B为圆心，BD长为半径画圆弧，交边BC于点E，若AC＝2，则图中阴影部分图形的面积和为 2﹣π （结果保留π）．
【分析】根据题意和图形可知阴影部分的面积S＝S△ACB﹣S扇形BDE﹣S扇形ACD．
【解答】解：在Rt△ABC，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝2，
∴∠B＝30°，AB＝2AC＝4，
∴BC＝＝2，
∴阴影部分的面积S＝S△ACB﹣S扇形BDE﹣S扇形ACD＝×2×﹣﹣＝2﹣π，
故答案为：2﹣π．
14．（3分）若点P（a，b）在抛物线y＝﹣x2+2x﹣1，则a+b的最大值为 ．
【分析】先用含a代数式表示b然后配方求解．
【解答】解：因为点P在抛物线y＝﹣x2+2x﹣1上，
∴b＝﹣a2+2a﹣1，
∴a+b＝a﹣a2+2a﹣1＝﹣a2+3a﹣1＝﹣（a﹣）2+，
故答案为：．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）计算：6sin45°﹣+|2﹣|+（2﹣3）0．
【分析】先代入三角函数值、化简二次根式、去绝对值符号、计算零指数幂，再计算乘法和加减可得．
【解答】解：原式＝6×﹣3+2﹣+1
＝3﹣3+2﹣+1
＝3﹣．
16．（6分）2021年是中国辛年，小明将收集到的以下3张牛年邮票分别放到A、B、C三个完全相同的盒子中，现从中随机抽取一个盒子．
（1）“小明抽到80分邮票”是 不可能 事件．（填“随机”“不可能”或“必然”）
（2）小明将抽取的盒子放回，再随机抽取一个盒子，用画树状图（或列表）的方法，求小明抽到的两个盒子恰好是150分邮票和50分邮票的概率．
【分析】（1）估计随机事件和确定事件的定义进行判断；
（2）画树状图展示所有9种等可能的结果，找出其中两个盒子恰好是150分邮票和50分邮票的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）小明抽到80分邮票”是不可能事件；
故答案为不可能；
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果．其中两个盒子恰好是150分邮票和50分邮票的结果数为2，
所以小明抽到的两个盒子恰好是150分邮票和50分邮票的概率＝．
17．（6分）昆明圆通山动物园采用手机APP购票，智能闸机验票的方式，大大缩短了游客排队购票，验票的等待时间，平均每分钟接待游客的人数是原来的10倍．且接待5000名游客的入园时间比原来接待600名游客的入园时间还少5分钟，求昆明圆通山动物园原来平均每分钟接待游客的人数．
【分析】设昆明圆通山动物园原来平均每分钟接待游客的人数为x人，则采用智能闸机验票的方式后平均每分钟接待游客的人数为10x人，接待时间＝接待游客人数的总数÷平均每分钟接待游客的人数，结合接待5000名游客的入园时间比原来接待600名游客的入园时间还少5分钟，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设昆明圆通山动物园原来平均每分钟接待游客的人数为x人，则采用智能闸机验票的方式后平均每分钟接待游客的人数为10x人，
依题意得：﹣＝5，
解得：x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意．
答：昆明圆通山动物园原来平均每分钟接待游客的人数为20人．
18．（7分）图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，点P为△ABC内部的格点，在图①、图②给定网格中按要求作图，只用无刻度的直尺，保留适当的作图痕迹．
（1）在图①中△ABC的边AC上确定一点O，使PQ的长最短．
（2）在②中△ABC的边AB上明确定一点M，边BC上确定一点N，连接PM、PN，使△PMN的周长最短，最短周长为 ．
【分析】（1）取格点K，连接PK交AC于点Q，线段PQ即为所求作．
（2）作点P关于AB，BC的对称点E，F，连接EF交AB于点M交CB于点N，连接PM，PN，△PMN即为所求作．
【解答】解：（1）如图，线段PQ即为所求作．
（2）如图，△PMN即为所求作．
△PMN的周长的最小值＝EF＝＝．
故答案为：．
19．（7分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且EA＝EC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）若tan∠BDC＝，DE＝EC＝2，则CD的长为 ．
【分析】（1）先证△ADE≌△CDE（SSS），得∠ADE＝∠CDE，再证BC＝CD，得AD＝BC，证出四边形ABCD为平行四边形，然后由AD＝CD即可得出结论；
（2）连接AC交BD于O，由菱形的性质得AC⊥BD，再由锐角三角函数定义得OD＝2OC，设OC＝x，则OD＝2x，OE＝OD﹣DE＝2x﹣2，然后在Rt△OCE中，由勾股定理得出方程，解方程即可解决问题．
【解答】（1）证明：在△ADE与△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE（SSS），
∴∠ADE＝∠CDE
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CBD，
∴∠CDE＝∠CBD，
∴BC＝CD，
∵AD＝CD，
∴BC＝AD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AD＝CD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
（2）解：连接AC交BD于O，如图所示：
由（1）得：四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC＝90°，
在Rt△OCD中，tan∠BDC＝＝，
∴OD＝2OC，
设OC＝x，则OD＝2x，OE＝OD﹣DE＝2x﹣2，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：OC2+OE2＝EC2，
即x2+（2x﹣2）2＝22，
解得：x＝或x＝0（舍去），
∴OC＝，OD＝，
∴CD＝＝＝，
故答案为：．
20．（7分）2020年底，全国范围餐饮行业禁止使用不可降解的一次性塑料吸管，很多餐饮企业“换装”，用纸吸管或直饮杯盖代替塑料吸管，某校数学兴趣小组想了解该校所在区域奶茶店减少使用塑料吸管情况，因此在2021年4月5日这天随机调查了该校区所在区域20家奶茶店售卖饮品杯数n（单位：杯）的情况，将统计结果分为：A：50≤n＜150；B：150≤n＜250；C：250≤n＜350；D：350≤n＜350；E：450≤n＜550，并绘制了频数分布直方图．
其中，C组数据为：265，341，253，292，312，345，278．
（1）该兴趣小组同学在进行数据的收集调查时，在明确调查问题、确定调查对象后，还完成了以下4个步骤，下面就是该打乱顺序的步骤，正确的顺序是 ④③①② （用序号写出即可）．
①记录结果；
②得出结论；
③展开调查；
④选择调查方法．
（2）被调查的20家奶茶店当天售卖饮品杯数的中位数为 285杯 ．
（3）该校数学兴趣小组同学统计出4月5日当日走访的奶茶店共销售饮品5820杯，这些饮品均使用纸吸管，假设以前每杯配一根塑料吸管，若该区域共有500家奶茶店，每根吸管用塑料0.5克，则估计该校所在区域500家奶茶店4元5日当天共减少使用塑料吸管多少克？
【分析】（1）根据题意和选项中的信息，可以得到正确的顺序；
（2）根据直方图中的信息和C组的数据，可以得到相应的中位数；
（3）根据题意和题目中的数据，可以计算出该校所在区域500家奶茶店4元5日当天共减少使用塑料吸管多少克．
【解答】解：（1）由题意可得，
正确的顺序是④③①②，
故答案为：④③①②；
（2）C组数据由小到大排列是：253，265，278，292，312，341，345，
则被调查的20家奶茶店当天售卖饮品杯数的中位数为：（278+292）÷2＝285（杯），
故答案为：285杯；
（3）（克），
答：估计该校所在区域500家奶茶店4月5日当天共减少使用塑料吸管约72750克．
21．（8分）某广告公司需要印刷一批宣传单，某印刷厂由甲、乙两台机器同时印刷这批宣传单，甲机器印刷一段时间后，出现故障，停下来维修，排除故障后继续以原来的速度印刷，两台机器需印刷总量y（份）与印刷时间x（分钟）函数关系如图所示．
（1）甲机器维修时间是 10 分钟，甲、乙两台机器一分钟共印宣传单 400 份．
（2）求线段AB对应的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
（3）若甲机器没有发生故障，则可提前 5 分钟印刷完这批宣传单．
【分析】（1）根据图象的特殊点的坐标求解即可；
（2）先求出m的值，利用待定系数法求解即可；
（3）根据甲、乙两台机器的工作效率和解答即可．
【解答】解：（1）由图象可知，甲机器维修的时间是：40﹣30＝10（分钟），
甲乙两台机器一分钟共印宣传单：（份），
故答案为：10；400；
（2）m＝（55﹣40）×400＝6000，
设线段AB对应的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）．
将点A（30，8000），B（40，6000）代入，
得，
解得，
所以y与x之间的函数关系式为y＝﹣200x+1400（30≤x≤40）；
（3）若甲机器没有发生故障，所需时间为：20000÷400＝50（分），
55﹣50＝5（分），
若甲机器没有发生故障，可提前5分钟印刷完这批宣传单，
故答案为：5．
22．（9分）【问题提出】小慧同学遇到这样一道问题，如图①，在△ABC中，点D为边AC的中点．以点D为圆心，AC为直径作圆，∠ACB的平分线交此圆于点P，点P在△ABC的内部，连接BP．
求证，△BPC的面积等于△ABC面积的一半．
【问题解决】小慧的做法是连接AP并延长，交BC于点Q，利用△ACQ形状的特殊性解决问题，请你利用小慧的做法完成【问题提出】中的证明．
【问题拓展】如图②，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD．AC⊥BC，若BD＝8．AB﹣AD＝3，则△BCD面积的最大值为 6 ．
【分析】（1）根据提示作图，通过三角形中线将三角形面积等分证明．
（2）延长BC，AD交于点E，通过三角形三线合一得到C为BE中点，通过中线将三角形面积平分可得△BCD面积最大时，△BDE面积最大，即BD为高时满足题意．
【解答】解：（1）如图，连接AP并延长，交边BC于点Q．
∵AC为⊙O的直径，
∴∠APC＝90°．
∴∠APC＝∠QPC＝90°．
∵CP平分∠ACB，
∴∠ACP＝∠QCP．
∵CP＝CP，
∴△ACP≌△QCP（ASA）．
∴AC＝QC．
∵∠APC＝90°．
∴点P为AQ的中点．
∴，
∴．
∴△BPC的面积等于△ABC面积的一半．
（2）延长BC，AD交于点E，
∵AC平分∠BAD且AC⊥BC，
∴△ABE为等腰三角形，点C为BE中点，
∴S△BCD＝S△CDE＝S△BDE，
当△BCD的面积最大时，△BDE面积最大，
即BD⊥AD满足题意，
∵DE＝AB﹣AD＝3，BD＝8，
∴△BCD面积的最大值为BD•DE＝×8×3＝6．
故答案为：6．
23．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点P从点A出发，沿折线AC﹣CB以每秒2个单位长度的速度向终点B匀速运动，点Q为线段CP的中点，点H在PQ下方，∠HPQ＝90°，∠HQP＝∠ABC，设点P运动的时间为t（秒）．
（1）当点P在边AC上运动时，
①线段PQ的长为 2﹣t ．（用含t的代数式表示）
②若△PQH与△ABC重叠部分为轴对称图形，求t的值．
（2）当点H落在边AB上时，求HB的长．
（3）取边QH的中点E，边BC的中点F，连接EF，当EF∥AB时，直接写出t的值．
【分析】（1）①由PQ＝CP求解．②根据QP＝QK满足题意求解，分别用含t代数式表示QP与QK．
（2）分类讨论点P在AC与BC上，解直角三角形求解．
（3）分类讨论点P在AC与BC上，结合图象求解．
【解答】解：（1）①∵CP＝AC﹣AP＝4﹣2t，Q为CP中点，
∴PQ＝CP＝2﹣t．
故答案为：2﹣t．
②HQ交AB于点K，
若△PQH与△ABC重叠部分为轴对称图形，QP＝QK，
∵∠HQP＝∠ABC，∠A+∠ABC＝90°，
∴∠A+∠HQP＝90°，即QK⊥AK，
由①得PQ＝2﹣t，
∴AQ＝AP+PQ＝2+t，
由勾股定理得AB＝＝5，
∴sinA＝＝＝，
即＝＝，
∴QK＝（2+t），
当QP＝QK时，2﹣t＝（2+t），
解得．
（2）当0＜t＜2时，若点H落在边AB上，
cosA＝＝＝＝，
∴AH＝AP＝，AH＝＝（2﹣t），
即．
解得．
所以．
当，若点H落在边AB上，
∵∠HQP＝∠ABC，
∴△HBQ为等腰三角形，点P为BQ中点，
又∵Q为CP中点，
∴3BP＝BC，
即3（7﹣2t）＝3﹒
解得t＝3．
所以．
综上所述，BH＝或．
（3）如图，点P在AC上时，作QM⊥AB，FN⊥AB，
∵E为QH中点，EF∥AB，
∴FE⊥QH，
∴四边形EMNF为矩形，
∴EM＝FN，
∵sinA＝＝，
∴QM＝AQ＝（2+t），
且QE＝QH，
∵cosB＝cos∠HQP＝＝，
∴HQ＝PQ＝（2﹣t），
∴QE＝QH＝（2﹣t），
∴EM＝QM﹣QE＝（2+t）﹣（2﹣t）＝t﹣，
∵F为BC中点，
∴BF＝BC＝，
∴sinB＝＝，
∴FN＝BF＝，
∴t﹣＝，
解得t＝．
当点P在BC上时，连接PE，
∵E为QH中点，∴PE＝EQ，
∴∠PQE＝∠QPE＝∠B，
∴PE∥AB，
∴点P与点F重合时满足题意，
即2t﹣4＝，
解得t＝．
综上所述，或．
24．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+2x﹣1（a≠0），点A（﹣1，m）、B（2，n）均在该抛物线上，将抛物线在点A、B之间的部分（包括A、B两点）记为图象G．
（1）分别用含α的代数式表示m、n的值．
（2）设图象G最高点纵坐标与最低点纵坐标的差为h．
①当a＝﹣1时，求h的值；
②当图象G从左至右逐渐上升时，求h的最大值和最小值．
（3）图象G上恰好有三个点到x轴的距离等于到直线y＝a的距离的2倍，直接写出a的取值范围．
【分析】（1）直接代入A，B坐标求解．
（2）①将a＝﹣1代入解析式分别求出最高点与最低点坐标求解．
②分类讨论a＞0，a＜0两种情况最高点与最低点作差求解．
（3）满足点到x轴的距离等于到直线y＝a的距离的2倍的所有点分别在直线y＝2a和y＝a上，通过数形结合，讨论a＞0，a＜0求解．
【解答】解：（1）将（﹣1，m）代入解析式可得：
m＝a﹣2﹣1＝a﹣3．
将（2，n）代入解析式可得：
n＝4a+4﹣1＝4a+3．
（2）①当a＝﹣1时，y＝﹣x2+2x﹣1＝﹣（x﹣1）2，
即抛物线顶点坐标为（1，0），
∵m＝a﹣3＝﹣4，
∴A（﹣1，﹣4），
∵n＝4a+3＝﹣1，
∴B（2，﹣1），
∴图象G中最高点为顶点，最低点为A，
∴h＝0﹣（﹣4）＝4．
②当a＞0时，抛物线开口向上，图象对称轴为直线x＝﹣，
当﹣≤﹣1时满足题意，即0＜a≤1，
h＝yB﹣yA＝n﹣m＝4a+3﹣（a﹣3）＝3a+6．
∴6＜h≤9．
当a＜0时，抛物线开口向下，图象对称轴为直线x＝﹣，
当﹣≥2时满足题意，即﹣≤a＜0，
∴≤h＜6．
综上所述，h最大值为9，最小值为．
（3）抛物线顶点坐标为（﹣，﹣﹣1），点A（﹣1，a﹣3），点B（2，4a+3），
满足点到x轴的距离等于到直线y＝a的距离的2倍的所有点分别在直线y＝2a和y＝a上，
∴存在三个点满足条件时，顶点在AB之间，即a＞1或a＜﹣，
①a＞1，图象开口向上，点A落在直线y＝a上时，
a﹣3＝a，解得a＝9．
点B落在直线y＝2a上时，
4a+3＝2a，
解得a＝﹣
∴a≥9满足题意．
②a＜﹣时，图象开口向下，
点B落在直线y＝a上时，
4a+3＝a，解得a＝﹣，
a减小由①得点B落在直线y＝2a上时a＝﹣，
∴满足题意．
③点A落在直线y＝2a上时，
a﹣3＝2a，解得a＝﹣3，
当a＜﹣3时，点A在直线y＝a与直线y＝2a之间，点B在直线y＝2a下方，
顶点在直线y＝a上方满足题意．
综上所述，a≥9或或a＜﹣3．
2021年吉林省长春市二道区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）下列四个数表示在数轴上，它们对应的点中，离原点最近的是（ ）
A．﹣2 B．1.3 C．﹣0.4 D．0.6
2．（3分）2021年2月10日19时52分，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器实施近火捕获制动，顺利进入近火点高度约400千米，成为我国第一颗人造火星卫星，实现“绕、着、巡”第一步“绕”的目标，环绕火星获得成功，其中“400千米”用科学记数法可以表示为（ ）
A．4×105米 B．4×106米 C．0.4×106米 D．400×103米
3．（3分）某校九年级某班在“迎中考百日誓师”活动中打算制作一个带有正方体挂坠的倒计时牌挂在班级“成功舍我其谁”六个字分别书写在正方体的六个面上，如图是该班同学设计的正方体挂坠的平面展开图，那么“我”字对面的字是（ ）
A．其 B．谁 C．舍 D．成
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2mn﹣mn＝2 B．m2•m3＝m6 C．m﹣2÷m＝m﹣3 D．（﹣m2）3＝m6
5．（3分）⊙O是一个正n边形的外接圆，若⊙O的半径与这个正n边形的边长相等，则n的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（3分）如图，一艘海伦位于灯塔P的南偏东37°方向，距离灯塔40海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔的正东方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离PB的长可以表示为（ ）
A．40海里 B．40sin37°海里
C．40cos37°海里 D．40tan37°海里
7．（3分）如图小张同学的尺规作图步骤，其具体做法如下：
①在射线AD上顺次截取AB＝BC＝a，②分别以B、C为圆心，以a为半径作圆弧，两弧交于点E，③连接AE、BE、CE，则下列说法错误的是（ ）
A．△BCE为等边三角形 B．△ACE的面积为
C． D．∠AEC＝3∠A
8．（3分）如图，在平面直角坐标系，等腰直角△ABC的顶点A、B均在函数y＝（k＞0）的图象上，点C在y轴正半轴上，∠ACB＝90°，若点A的横坐标为﹣2，点B的纵坐标为1，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）分解因式：a3﹣ab2＝ ．
10．（3分）关于x的不等式ax＞2的解集为x＜，写出一个满足条件的a的值 ．（写出一个即可）
11．（3分）关于x的方程x2＝m﹣1有实数根，则m的取值范围是 ．
12．（3分）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB、CD，若CD∥BE，∠1＝30°，则∠2的大小为 度．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交边AB于点D，以点B为圆心，BD长为半径画圆弧，交边BC于点E，若AC＝2，则图中阴影部分图形的面积和为 （结果保留π）．
14．（3分）若点P（a，b）在抛物线y＝﹣x2+2x﹣1，则a+b的最大值为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）计算：6sin45°﹣+|2﹣|+（2﹣3）0．
16．（6分）2021年是中国辛年，小明将收集到的以下3张牛年邮票分别放到A、B、C三个完全相同的盒子中，现从中随机抽取一个盒子．
（1）“小明抽到80分邮票”是 事件．（填“随机”“不可能”或“必然”）
（2）小明将抽取的盒子放回，再随机抽取一个盒子，用画树状图（或列表）的方法，求小明抽到的两个盒子恰好是150分邮票和50分邮票的概率．
17．（6分）昆明圆通山动物园采用手机APP购票，智能闸机验票的方式，大大缩短了游客排队购票，验票的等待时间，平均每分钟接待游客的人数是原来的10倍．且接待5000名游客的入园时间比原来接待600名游客的入园时间还少5分钟，求昆明圆通山动物园原来平均每分钟接待游客的人数．
18．（7分）图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，点P为△ABC内部的格点，在图①、图②给定网格中按要求作图，只用无刻度的直尺，保留适当的作图痕迹．
（1）在图①中△ABC的边AC上确定一点O，使PQ的长最短．
（2）在②中△ABC的边AB上明确定一点M，边BC上确定一点N，连接PM、PN，使△PMN的周长最短，最短周长为 ．
19．（7分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且EA＝EC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）若tan∠BDC＝，DE＝EC＝2，则CD的长为 ．
20．（7分）2020年底，全国范围餐饮行业禁止使用不可降解的一次性塑料吸管，很多餐饮企业“换装”，用纸吸管或直饮杯盖代替塑料吸管，某校数学兴趣小组想了解该校所在区域奶茶店减少使用塑料吸管情况，因此在2021年4月5日这天随机调查了该校区所在区域20家奶茶店售卖饮品杯数n（单位：杯）的情况，将统计结果分为：A：50≤n＜150；B：150≤n＜250；C：250≤n＜350；D：350≤n＜350；E：450≤n＜550，并绘制了频数分布直方图．
其中，C组数据为：265，341，253，292，312，345，278．
（1）该兴趣小组同学在进行数据的收集调查时，在明确调查问题、确定调查对象后，还完成了以下4个步骤，下面就是该打乱顺序的步骤，正确的顺序是 （用序号写出即可）．
①记录结果；
②得出结论；
③展开调查；
④选择调查方法．
（2）被调查的20家奶茶店当天售卖饮品杯数的中位数为 ．
（3）该校数学兴趣小组同学统计出4月5日当日走访的奶茶店共销售饮品5820杯，这些饮品均使用纸吸管，假设以前每杯配一根塑料吸管，若该区域共有500家奶茶店，每根吸管用塑料0.5克，则估计该校所在区域500家奶茶店4元5日当天共减少使用塑料吸管多少克？
21．（8分）某广告公司需要印刷一批宣传单，某印刷厂由甲、乙两台机器同时印刷这批宣传单，甲机器印刷一段时间后，出现故障，停下来维修，排除故障后继续以原来的速度印刷，两台机器需印刷总量y（份）与印刷时间x（分钟）函数关系如图所示．
（1）甲机器维修时间是 分钟，甲、乙两台机器一分钟共印宣传单 份．
（2）求线段AB对应的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
（3）若甲机器没有发生故障，则可提前 分钟印刷完这批宣传单．
22．（9分）【问题提出】小慧同学遇到这样一道问题，如图①，在△ABC中，点D为边AC的中点．以点D为圆心，AC为直径作圆，∠ACB的平分线交此圆于点P，点P在△ABC的内部，连接BP．
求证，△BPC的面积等于△ABC面积的一半．
【问题解决】小慧的做法是连接AP并延长，交BC于点Q，利用△ACQ形状的特殊性解决问题，请你利用小慧的做法完成【问题提出】中的证明．
【问题拓展】如图②，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD．AC⊥BC，若BD＝8．AB﹣AD＝3，则△BCD面积的最大值为 ．
23．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点P从点A出发，沿折线AC﹣CB以每秒2个单位长度的速度向终点B匀速运动，点Q为线段CP的中点，点H在PQ下方，∠HPQ＝90°，∠HQP＝∠ABC，设点P运动的时间为t（秒）．
（1）当点P在边AC上运动时，
①线段PQ的长为 ．（用含t的代数式表示）
②若△PQH与△ABC重叠部分为轴对称图形，求t的值．
（2）当点H落在边AB上时，求HB的长．
（3）取边QH的中点E，边BC的中点F，连接EF，当EF∥AB时，直接写出t的值．
24．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+2x﹣1（a≠0），点A（﹣1，m）、B（2，n）均在该抛物线上，将抛物线在点A、B之间的部分（包括A、B两点）记为图象G．
（1）分别用含α的代数式表示m、n的值．
（2）设图象G最高点纵坐标与最低点纵坐标的差为h．
①当a＝﹣1时，求h的值；
②当图象G从左至右逐渐上升时，求h的最大值和最小值．
（3）图象G上恰好有三个点到x轴的距离等于到直线y＝a的距离的2倍，直接写出a的取值范围．
2021年吉林省长春市二道区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）下列四个数表示在数轴上，它们对应的点中，离原点最近的是（ ）
A．﹣2 B．1.3 C．﹣0.4 D．0.6
【分析】离原点最近的即是绝对值最小的数，依次求出绝对值进行比较即可选出正确答案．
【解答】∵|﹣2|＝2，|1.3|＝1.3，|﹣0.4|＝0.4，|0.6|＝0.6，
∴0.4＜0.6＜1.3＜2，
又∵离原点最近的即是绝对值最小的数，
∴离原点最近的是﹣0.4，
故选：C．
2．（3分）2021年2月10日19时52分，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器实施近火捕获制动，顺利进入近火点高度约400千米，成为我国第一颗人造火星卫星，实现“绕、着、巡”第一步“绕”的目标，环绕火星获得成功，其中“400千米”用科学记数法可以表示为（ ）
A．4×105米 B．4×106米 C．0.4×106米 D．400×103米
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：400千米＝400000米＝4×105米．
故选：A．
3．（3分）某校九年级某班在“迎中考百日誓师”活动中打算制作一个带有正方体挂坠的倒计时牌挂在班级“成功舍我其谁”六个字分别书写在正方体的六个面上，如图是该班同学设计的正方体挂坠的平面展开图，那么“我”字对面的字是（ ）
A．其 B．谁 C．舍 D．成
【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．
【解答】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，
“其”与“舍”是对面，
“成”与“功”是对面，
“谁”与“我”是对面，
故选：B．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2mn﹣mn＝2 B．m2•m3＝m6 C．m﹣2÷m＝m﹣3 D．（﹣m2）3＝m6
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，幂的乘方法则计算即可．
【解答】解：A．根据合并同类项法则，原式＝mn，不符合题意；
B．根据同底数幂的乘法，原式＝m5，不符合题意；
C．根据同底数幂的除法，计算正确，符合题意；
D．原式＝﹣m6，不符合题意．
故选：C．
5．（3分）⊙O是一个正n边形的外接圆，若⊙O的半径与这个正n边形的边长相等，则n的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】因为⊙O的半径与这个正n边形的边长相等，推出这个多边形的中心角＝60°，构建方程即可解决问题；
【解答】解：∵⊙O的半径与这个正n边形的边长相等，
∴这个多边形的中心角＝60°，
∴＝60°，
∴n＝6，
故选：D．
6．（3分）如图，一艘海伦位于灯塔P的南偏东37°方向，距离灯塔40海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔的正东方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离PB的长可以表示为（ ）
A．40海里 B．40sin37°海里
C．40cos37°海里 D．40tan37°海里
【分析】根据已知条件得出∠BAP＝37°，再根据AP＝40海里和正弦定理即可求出BP的长．
【解答】解：∵一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，
∴∠BAP＝37°，
∵AP＝40海里，
∴BP＝AP•sin37°＝40sin37°海里；
故选：B．
7．（3分）如图小张同学的尺规作图步骤，其具体做法如下：
①在射线AD上顺次截取AB＝BC＝a，②分别以B、C为圆心，以a为半径作圆弧，两弧交于点E，③连接AE、BE、CE，则下列说法错误的是（ ）
A．△BCE为等边三角形 B．△ACE的面积为
C． D．∠AEC＝3∠A
【分析】由题意可得△BCE为等边三角形，根据直角三角形及等边三角形依次判断．
【解答】解：由题意得AB＝BC＝BE＝CE＝a，
∴△BCE为等边三角形，故A选项正确．
∴△BCE的面积为，故B选项错误．
∵BE＝BA，∠EBC＝60°，
∴∠A＝∠BEA＝30°，
∴sinA＝sin30°＝，故C选项正确．
∴∠AEC＝∠BEA+∠BEC＝30°+60°＝90°，
∴∠AEC＝3∠A，故D选项正确．
故选：B．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系，等腰直角△ABC的顶点A、B均在函数y＝（k＞0）的图象上，点C在y轴正半轴上，∠ACB＝90°，若点A的横坐标为﹣2，点B的纵坐标为1，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【分析】作AM⊥y轴，BN⊥y轴于点M，N，用含k代数式表示点A，B坐标，通过CM﹣CN＝xB﹣xA求解．
【解答】解：作AM⊥y轴，BN⊥y轴于点M，N，
把x＝﹣2代入y＝得y＝﹣，
∴点A坐标为（﹣2，﹣），
把y＝1代入代入y＝得x＝k，
∴点B坐标为（k，1），
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ACB＝90°，AC＝BC，
∵∠ACM+∠BCN＝90°，∠ACM+∠MAC＝90°，
∴∠MAC＝∠BCN，
∴△ACM≌△CBN（AAS），
∴CM＝BN＝k，AM＝CN＝2，
∴NM＝CM﹣CN＝xB﹣xA，
即k﹣2＝1﹣（﹣），
解得k＝6，
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）分解因式：a3﹣ab2＝ a（a+b）（a﹣b） ．
【分析】首先提取公因式a，进而利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：a3﹣ab2
＝a（a2﹣b2）
＝a（a+b）（a﹣b）．
故答案为：a（a+b）（a﹣b）．
10．（3分）关于x的不等式ax＞2的解集为x＜，写出一个满足条件的a的值 ﹣1（答案不唯一） ．（写出一个即可）
【分析】利用不等式的基本性质判断即可确定出a的值．
【解答】解：∵关于x的不等式ax＞2的解集为x＜，
∴a＜0，
则一个满足条件a＝﹣1，
故答案为：﹣1（答案不唯一）．
11．（3分）关于x的方程x2＝m﹣1有实数根，则m的取值范围是 m≥1 ．
【分析】根据直接开平方法的条件得到m﹣1≥0，然后解不等式即可．
【解答】解：∵关于x的方程x2＝m﹣1有实数根，
∴m﹣1≥0，
∴m≥1，
故答案为：m≥1．
12．（3分）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB、CD，若CD∥BE，∠1＝30°，则∠2的大小为 60 度．
【分析】由折叠的性质可得∠3＝∠1＝30°，从而求得∠4＝120°，再根据平行线的性质定理求出∠ACD＝∠4＝120°，最后再根据平行线性质定理求出∠2＝60°．
【解答】解：如图，延长FA，由折叠的性质，可得∠3＝∠1＝30°，
∴∠4＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∵CD∥BE，BE∥AF，
∴∠ACD＝∠4＝120°，
又∵AC∥BD，
∴∠2＝180°﹣∠ACD＝180°﹣120°＝60°．
故答案为：60．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交边AB于点D，以点B为圆心，BD长为半径画圆弧，交边BC于点E，若AC＝2，则图中阴影部分图形的面积和为 2﹣π （结果保留π）．
【分析】根据题意和图形可知阴影部分的面积S＝S△ACB﹣S扇形BDE﹣S扇形ACD．
【解答】解：在Rt△ABC，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝2，
∴∠B＝30°，AB＝2AC＝4，
∴BC＝＝2，
∴阴影部分的面积S＝S△ACB﹣S扇形BDE﹣S扇形ACD＝×2×﹣﹣＝2﹣π，
故答案为：2﹣π．
14．（3分）若点P（a，b）在抛物线y＝﹣x2+2x﹣1，则a+b的最大值为 ．
【分析】先用含a代数式表示b然后配方求解．
【解答】解：因为点P在抛物线y＝﹣x2+2x﹣1上，
∴b＝﹣a2+2a﹣1，
∴a+b＝a﹣a2+2a﹣1＝﹣a2+3a﹣1＝﹣（a﹣）2+，
故答案为：．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）计算：6sin45°﹣+|2﹣|+（2﹣3）0．
【分析】先代入三角函数值、化简二次根式、去绝对值符号、计算零指数幂，再计算乘法和加减可得．
【解答】解：原式＝6×﹣3+2﹣+1
＝3﹣3+2﹣+1
＝3﹣．
16．（6分）2021年是中国辛年，小明将收集到的以下3张牛年邮票分别放到A、B、C三个完全相同的盒子中，现从中随机抽取一个盒子．
（1）“小明抽到80分邮票”是 不可能 事件．（填“随机”“不可能”或“必然”）
（2）小明将抽取的盒子放回，再随机抽取一个盒子，用画树状图（或列表）的方法，求小明抽到的两个盒子恰好是150分邮票和50分邮票的概率．
【分析】（1）估计随机事件和确定事件的定义进行判断；
（2）画树状图展示所有9种等可能的结果，找出其中两个盒子恰好是150分邮票和50分邮票的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）小明抽到80分邮票”是不可能事件；
故答案为不可能；
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果．其中两个盒子恰好是150分邮票和50分邮票的结果数为2，
所以小明抽到的两个盒子恰好是150分邮票和50分邮票的概率＝．
17．（6分）昆明圆通山动物园采用手机APP购票，智能闸机验票的方式，大大缩短了游客排队购票，验票的等待时间，平均每分钟接待游客的人数是原来的10倍．且接待5000名游客的入园时间比原来接待600名游客的入园时间还少5分钟，求昆明圆通山动物园原来平均每分钟接待游客的人数．
【分析】设昆明圆通山动物园原来平均每分钟接待游客的人数为x人，则采用智能闸机验票的方式后平均每分钟接待游客的人数为10x人，接待时间＝接待游客人数的总数÷平均每分钟接待游客的人数，结合接待5000名游客的入园时间比原来接待600名游客的入园时间还少5分钟，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设昆明圆通山动物园原来平均每分钟接待游客的人数为x人，则采用智能闸机验票的方式后平均每分钟接待游客的人数为10x人，
依题意得：﹣＝5，
解得：x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意．
答：昆明圆通山动物园原来平均每分钟接待游客的人数为20人．
18．（7分）图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，点P为△ABC内部的格点，在图①、图②给定网格中按要求作图，只用无刻度的直尺，保留适当的作图痕迹．
（1）在图①中△ABC的边AC上确定一点O，使PQ的长最短．
（2）在②中△ABC的边AB上明确定一点M，边BC上确定一点N，连接PM、PN，使△PMN的周长最短，最短周长为 ．
【分析】（1）取格点K，连接PK交AC于点Q，线段PQ即为所求作．
（2）作点P关于AB，BC的对称点E，F，连接EF交AB于点M交CB于点N，连接PM，PN，△PMN即为所求作．
【解答】解：（1）如图，线段PQ即为所求作．
（2）如图，△PMN即为所求作．
△PMN的周长的最小值＝EF＝＝．
故答案为：．
19．（7分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且EA＝EC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）若tan∠BDC＝，DE＝EC＝2，则CD的长为 ．
【分析】（1）先证△ADE≌△CDE（SSS），得∠ADE＝∠CDE，再证BC＝CD，得AD＝BC，证出四边形ABCD为平行四边形，然后由AD＝CD即可得出结论；
（2）连接AC交BD于O，由菱形的性质得AC⊥BD，再由锐角三角函数定义得OD＝2OC，设OC＝x，则OD＝2x，OE＝OD﹣DE＝2x﹣2，然后在Rt△OCE中，由勾股定理得出方程，解方程即可解决问题．
【解答】（1）证明：在△ADE与△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE（SSS），
∴∠ADE＝∠CDE
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CBD，
∴∠CDE＝∠CBD，
∴BC＝CD，
∵AD＝CD，
∴BC＝AD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AD＝CD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
（2）解：连接AC交BD于O，如图所示：
由（1）得：四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC＝90°，
在Rt△OCD中，tan∠BDC＝＝，
∴OD＝2OC，
设OC＝x，则OD＝2x，OE＝OD﹣DE＝2x﹣2，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：OC2+OE2＝EC2，
即x2+（2x﹣2）2＝22，
解得：x＝或x＝0（舍去），
∴OC＝，OD＝，
∴CD＝＝＝，
故答案为：．
20．（7分）2020年底，全国范围餐饮行业禁止使用不可降解的一次性塑料吸管，很多餐饮企业“换装”，用纸吸管或直饮杯盖代替塑料吸管，某校数学兴趣小组想了解该校所在区域奶茶店减少使用塑料吸管情况，因此在2021年4月5日这天随机调查了该校区所在区域20家奶茶店售卖饮品杯数n（单位：杯）的情况，将统计结果分为：A：50≤n＜150；B：150≤n＜250；C：250≤n＜350；D：350≤n＜350；E：450≤n＜550，并绘制了频数分布直方图．
其中，C组数据为：265，341，253，292，312，345，278．
（1）该兴趣小组同学在进行数据的收集调查时，在明确调查问题、确定调查对象后，还完成了以下4个步骤，下面就是该打乱顺序的步骤，正确的顺序是 ④③①② （用序号写出即可）．
①记录结果；
②得出结论；
③展开调查；
④选择调查方法．
（2）被调查的20家奶茶店当天售卖饮品杯数的中位数为 285杯 ．
（3）该校数学兴趣小组同学统计出4月5日当日走访的奶茶店共销售饮品5820杯，这些饮品均使用纸吸管，假设以前每杯配一根塑料吸管，若该区域共有500家奶茶店，每根吸管用塑料0.5克，则估计该校所在区域500家奶茶店4元5日当天共减少使用塑料吸管多少克？
【分析】（1）根据题意和选项中的信息，可以得到正确的顺序；
（2）根据直方图中的信息和C组的数据，可以得到相应的中位数；
（3）根据题意和题目中的数据，可以计算出该校所在区域500家奶茶店4元5日当天共减少使用塑料吸管多少克．
【解答】解：（1）由题意可得，
正确的顺序是④③①②，
故答案为：④③①②；
（2）C组数据由小到大排列是：253，265，278，292，312，341，345，
则被调查的20家奶茶店当天售卖饮品杯数的中位数为：（278+292）÷2＝285（杯），
故答案为：285杯；
（3）（克），
答：估计该校所在区域500家奶茶店4月5日当天共减少使用塑料吸管约72750克．
21．（8分）某广告公司需要印刷一批宣传单，某印刷厂由甲、乙两台机器同时印刷这批宣传单，甲机器印刷一段时间后，出现故障，停下来维修，排除故障后继续以原来的速度印刷，两台机器需印刷总量y（份）与印刷时间x（分钟）函数关系如图所示．
（1）甲机器维修时间是 10 分钟，甲、乙两台机器一分钟共印宣传单 400 份．
（2）求线段AB对应的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
（3）若甲机器没有发生故障，则可提前 5 分钟印刷完这批宣传单．
【分析】（1）根据图象的特殊点的坐标求解即可；
（2）先求出m的值，利用待定系数法求解即可；
（3）根据甲、乙两台机器的工作效率和解答即可．
【解答】解：（1）由图象可知，甲机器维修的时间是：40﹣30＝10（分钟），
甲乙两台机器一分钟共印宣传单：（份），
故答案为：10；400；
（2）m＝（55﹣40）×400＝6000，
设线段AB对应的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）．
将点A（30，8000），B（40，6000）代入，
得，
解得，
所以y与x之间的函数关系式为y＝﹣200x+1400（30≤x≤40）；
（3）若甲机器没有发生故障，所需时间为：20000÷400＝50（分），
55﹣50＝5（分），
若甲机器没有发生故障，可提前5分钟印刷完这批宣传单，
故答案为：5．
22．（9分）【问题提出】小慧同学遇到这样一道问题，如图①，在△ABC中，点D为边AC的中点．以点D为圆心，AC为直径作圆，∠ACB的平分线交此圆于点P，点P在△ABC的内部，连接BP．
求证，△BPC的面积等于△ABC面积的一半．
【问题解决】小慧的做法是连接AP并延长，交BC于点Q，利用△ACQ形状的特殊性解决问题，请你利用小慧的做法完成【问题提出】中的证明．
【问题拓展】如图②，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD．AC⊥BC，若BD＝8．AB﹣AD＝3，则△BCD面积的最大值为 6 ．
【分析】（1）根据提示作图，通过三角形中线将三角形面积等分证明．
（2）延长BC，AD交于点E，通过三角形三线合一得到C为BE中点，通过中线将三角形面积平分可得△BCD面积最大时，△BDE面积最大，即BD为高时满足题意．
【解答】解：（1）如图，连接AP并延长，交边BC于点Q．
∵AC为⊙O的直径，
∴∠APC＝90°．
∴∠APC＝∠QPC＝90°．
∵CP平分∠ACB，
∴∠ACP＝∠QCP．
∵CP＝CP，
∴△ACP≌△QCP（ASA）．
∴AC＝QC．
∵∠APC＝90°．
∴点P为AQ的中点．
∴，
∴．
∴△BPC的面积等于△ABC面积的一半．
（2）延长BC，AD交于点E，
∵AC平分∠BAD且AC⊥BC，
∴△ABE为等腰三角形，点C为BE中点，
∴S△BCD＝S△CDE＝S△BDE，
当△BCD的面积最大时，△BDE面积最大，
即BD⊥AD满足题意，
∵DE＝AB﹣AD＝3，BD＝8，
∴△BCD面积的最大值为BD•DE＝×8×3＝6．
故答案为：6．
23．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点P从点A出发，沿折线AC﹣CB以每秒2个单位长度的速度向终点B匀速运动，点Q为线段CP的中点，点H在PQ下方，∠HPQ＝90°，∠HQP＝∠ABC，设点P运动的时间为t（秒）．
（1）当点P在边AC上运动时，
①线段PQ的长为 2﹣t ．（用含t的代数式表示）
②若△PQH与△ABC重叠部分为轴对称图形，求t的值．
（2）当点H落在边AB上时，求HB的长．
（3）取边QH的中点E，边BC的中点F，连接EF，当EF∥AB时，直接写出t的值．
【分析】（1）①由PQ＝CP求解．②根据QP＝QK满足题意求解，分别用含t代数式表示QP与QK．
（2）分类讨论点P在AC与BC上，解直角三角形求解．
（3）分类讨论点P在AC与BC上，结合图象求解．
【解答】解：（1）①∵CP＝AC﹣AP＝4﹣2t，Q为CP中点，
∴PQ＝CP＝2﹣t．
故答案为：2﹣t．
②HQ交AB于点K，
若△PQH与△ABC重叠部分为轴对称图形，QP＝QK，
∵∠HQP＝∠ABC，∠A+∠ABC＝90°，
∴∠A+∠HQP＝90°，即QK⊥AK，
由①得PQ＝2﹣t，
∴AQ＝AP+PQ＝2+t，
由勾股定理得AB＝＝5，
∴sinA＝＝＝，
即＝＝，
∴QK＝（2+t），
当QP＝QK时，2﹣t＝（2+t），
解得．
（2）当0＜t＜2时，若点H落在边AB上，
cosA＝＝＝＝，
∴AH＝AP＝，AH＝＝（2﹣t），
即．
解得．
所以．
当，若点H落在边AB上，
∵∠HQP＝∠ABC，
∴△HBQ为等腰三角形，点P为BQ中点，
又∵Q为CP中点，
∴3BP＝BC，
即3（7﹣2t）＝3﹒
解得t＝3．
所以．
综上所述，BH＝或．
（3）如图，点P在AC上时，作QM⊥AB，FN⊥AB，
∵E为QH中点，EF∥AB，
∴FE⊥QH，
∴四边形EMNF为矩形，
∴EM＝FN，
∵sinA＝＝，
∴QM＝AQ＝（2+t），
且QE＝QH，
∵cosB＝cos∠HQP＝＝，
∴HQ＝PQ＝（2﹣t），
∴QE＝QH＝（2﹣t），
∴EM＝QM﹣QE＝（2+t）﹣（2﹣t）＝t﹣，
∵F为BC中点，
∴BF＝BC＝，
∴sinB＝＝，
∴FN＝BF＝，
∴t﹣＝，
解得t＝．
当点P在BC上时，连接PE，
∵E为QH中点，∴PE＝EQ，
∴∠PQE＝∠QPE＝∠B，
∴PE∥AB，
∴点P与点F重合时满足题意，
即2t﹣4＝，
解得t＝．
综上所述，或．
24．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+2x﹣1（a≠0），点A（﹣1，m）、B（2，n）均在该抛物线上，将抛物线在点A、B之间的部分（包括A、B两点）记为图象G．
（1）分别用含α的代数式表示m、n的值．
（2）设图象G最高点纵坐标与最低点纵坐标的差为h．
①当a＝﹣1时，求h的值；
②当图象G从左至右逐渐上升时，求h的最大值和最小值．
（3）图象G上恰好有三个点到x轴的距离等于到直线y＝a的距离的2倍，直接写出a的取值范围．
【分析】（1）直接代入A，B坐标求解．
（2）①将a＝﹣1代入解析式分别求出最高点与最低点坐标求解．
②分类讨论a＞0，a＜0两种情况最高点与最低点作差求解．
（3）满足点到x轴的距离等于到直线y＝a的距离的2倍的所有点分别在直线y＝2a和y＝a上，通过数形结合，讨论a＞0，a＜0求解．
【解答】解：（1）将（﹣1，m）代入解析式可得：
m＝a﹣2﹣1＝a﹣3．
将（2，n）代入解析式可得：
n＝4a+4﹣1＝4a+3．
（2）①当a＝﹣1时，y＝﹣x2+2x﹣1＝﹣（x﹣1）2，
即抛物线顶点坐标为（1，0），
∵m＝a﹣3＝﹣4，
∴A（﹣1，﹣4），
∵n＝4a+3＝﹣1，
∴B（2，﹣1），
∴图象G中最高点为顶点，最低点为A，
∴h＝0﹣（﹣4）＝4．
②当a＞0时，抛物线开口向上，图象对称轴为直线x＝﹣，
当﹣≤﹣1时满足题意，即0＜a≤1，
h＝yB﹣yA＝n﹣m＝4a+3﹣（a﹣3）＝3a+6．
∴6＜h≤9．
当a＜0时，抛物线开口向下，图象对称轴为直线x＝﹣，
当﹣≥2时满足题意，即﹣≤a＜0，
∴≤h＜6．
综上所述，h最大值为9，最小值为．
（3）抛物线顶点坐标为（﹣，﹣﹣1），点A（﹣1，a﹣3），点B（2，4a+3），
满足点到x轴的距离等于到直线y＝a的距离的2倍的所有点分别在直线y＝2a和y＝a上，
∴存在三个点满足条件时，顶点在AB之间，即a＞1或a＜﹣，
①a＞1，图象开口向上，点A落在直线y＝a上时，
a﹣3＝a，解得a＝9．
点B落在直线y＝2a上时，
4a+3＝2a，
解得a＝﹣
∴a≥9满足题意．
②a＜﹣时，图象开口向下，
点B落在直线y＝a上时，
4a+3＝a，解得a＝﹣，
a减小由①得点B落在直线y＝2a上时a＝﹣，
∴满足题意．
③点A落在直线y＝2a上时，
a﹣3＝2a，解得a＝﹣3，
当a＜﹣3时，点A在直线y＝a与直线y＝2a之间，点B在直线y＝2a下方，
顶点在直线y＝a上方满足题意．
综上所述，a≥9或或a＜﹣3．
相关试卷
2023年吉林省长春市二道区赫行实验学校中考数学二模试卷（含解析）： 这是一份2023年吉林省长春市二道区赫行实验学校中考数学二模试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年吉林省长春市二道区中考数学一模试卷（含解析）： 这是一份2023年吉林省长春市二道区中考数学一模试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年吉林省长春市中考数学一模试卷 (含答案)： 这是一份2023年吉林省长春市中考数学一模试卷 (含答案)，共51页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
