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2021年吉林省吉林市船营区中考数学一模试卷
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这是一份2021年吉林省吉林市船营区中考数学一模试卷，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年吉林省吉林市船营区中考数学一模试卷
一、选择题（每小题2分，共12分）
1．（2分）2021的倒数是（ ）
A．2021 B．﹣2021 C． D．﹣
2．（2分）柜子里有5双鞋，取出一只鞋是右脚鞋的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．（2分）如图，是一个几何体的表面展开图，则该几何体是（ ）
A．正方体 B．长方体 C．三棱柱 D．四棱锥
4．（2分）如图，赵师傅透过平举的放大镜从正上方看到水平桌面上的菱形图案的一角，那么∠A与放大镜中的∠C的大小关系是（ ）
A．∠A＝∠C B．∠A＞∠C C．∠A＜∠C D．无法比较
5．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如下表：
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
…
y
…
4
0
﹣2
﹣2
0
4
…
下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下
B．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最小值是﹣2
D．抛物线的对称轴是直线x＝﹣
6．（2分）图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ）
A．cm B．cm C．64cm D．54cm
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）分解因式：8a2﹣2a＝ ．
8．（3分）若关于x的方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是 ．
9．（3分）《九章算术》中记载问题如下：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不是四，问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱：每人出7钱，又差4钱，问人数、物价各多少？设有x人，依题意列方程得 ．
10．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝65°，分别以点A、C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，过这两点作直线DE，分别交AC、BC于点D、E，连接AE，则∠AED的度数为 度．
11．（3分）如图，点A在双曲线（k＞0）上，点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，点C和点D在x轴上．若四边形ABCD为矩形，且矩形ABCD的面积为2，则k的值为 ．
12．（3分）AB为半圆O的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点P在半圆上，斜边过点B，一条直角边交该半圆于点Q．若AB＝2，则线段BQ的长为 ．
13．（3分）如图，▱ABCD的顶点B在矩形AEFC的边EF上，点B与点E、F不重合，若△ACD的面积为3，则图中阴影部分两个三角形的面积和为 ．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点P为抛物线y＝x2﹣ax+a的顶点，点A、B在x轴上且AB＝2，当点P在x轴上方且△PAB面积最大时，a的值为 ．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）先化简，再求值：（a﹣b）2﹣（a+b）（a﹣b），其中a＝﹣3，b＝2．
16．（5分）甲、乙两人都握有分别标记为A、B、C的三张牌，两人做游戏，游戏规则是：每人各出一张牌，若两人出的牌相同，则为平局．用树状图或列表等方法，列出甲、乙两人一次游戏的所有可能的结果，并求出平局的概率．
17．（5分）如图，点E、F在BC上，BE＝FC，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D．
18．（5分）某小区为了排污，需铺设一段全长为480米的排污管道，为减少施工对居民生活的影响，需缩短施工时间，实际施工时每天的工作效率比原计划提高20%，结果提前2天完成任务．求原计划每天铺设多少米．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）如图，是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在小正方形的格点上．
（1）如图①，点P在小正方形的格点上，则sin∠PAB＝ ．
（2）在图①中画出以线段PA为边的格点正方形．
（3）在图②，图③中分别画出以线段AB为边和对角线的矩形（面积不为8），且另外两个顶点C、D均在小正方形的格点上．分别写出你所画出矩形的面积．
20．（7分）钓鱼岛历来就是我们中国的固有领土，是神圣不可侵犯的！如图是钓鱼岛中某个岛礁上的斜坡AC，我海监船在海面上与点C距离200米的D处，测得岛礁顶端A的仰角为26.6°，以及该斜坡坡度是tanα＝，求该岛礁的高AB（结果取整数）．
（参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50）
21．（7分）如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C．
（1）若∠ADE＝25°，求∠C的度数；
（2）若AB＝AC，CE＝2，求⊙O半径的长．
22．（7分）在建设港珠澳大桥期间，大桥的规划选线须经过中华白海豚国家级自然保护区﹣﹣﹣区域A或区域B．为实现白海豚“零伤亡，不搬家”的目标，需合理安排施工时间和地点，为此，海豚观察员在相同条件下连续出海20天，在区域A，B两地对中华白海豚的踪迹进行了观测和统计，过程如下，请补充完整．（单位：头）
【收集数据】
连续20天观察不同中华白海豚每天在区域A，区域B出现的数目情况，得到统计结果，并按从小到大的顺序排列如下：
区域A
0
1
3
4
5
6
6
6
7
8
8
9
11
14
15
15
17
23
25
30
区域B
1
1
3
4
6
6
8
9
11
12
14
15
16
16
16
17
22
25
26
35
【整理、描述数据】
（1）按如下数段整理、描述这两组数据，请补充完整：
海豚数x
0≤x≤7
8≤x≤14
15≤x≤21
22≤x≤28
29≤x≤35
区域A
9
5
3
区域B
6
5
5
3
1
（2）两组数据的极差、平均数、中位数，众数如下表所示
观测点
极差
平均数
中位数
众数
区域A
a
10.65
b
c
区域B
34
13.15
13
16
请填空：上表中，极差a＝ ，中位数b＝ ，众数c＝ ；
（3）规划者们选择了区域A为大桥的必经地，为减少施工对白海豚的影响，合理安排施工时间，估计在接下来的200天施工期内，区域A大约有多少天中华白海豚出现的数目在22≤x≤35的范围内？
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）某校初三年级进行女子800米测试，甲、乙两名同学同时起跑，甲同学先以a米/秒的速度匀速跑，一段时间后提高速度，以米/秒的速度匀速跑，b秒到达终点，乙同学在第60秒和第140秒时分别减慢了速度，设甲、乙两名同学跑的路程为s（米），乙同学所用的时间为t（秒），s与t之间的函数图象如图所示．
（1）乙同学起跑的速度为 米/秒；
（2）求a、b的值；
（3）当乙同学领先甲同学60米时，直接写出t的值是 ．
24．（8分）（1）如图①，点C是AB中点，CD⊥AB，P是CD上任意一点，则线段PA与PB的数量关系是 ．
（2）如图②，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A和点B，点C是AB中点，CD⊥AB交OA于点D，连接BD，求BD的长．
（3）如图③，①将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AB′，请在图③网格中画出线段AB′；
②若存在一点P，使得PA＝PB′，且∠APB′≠90°，当点P的横、纵坐标均为整数时，则AP长度的最小值为 ．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，在等边△ABC中，AB＝6．点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿边AB向终点B运动，过点P作PD⊥AC于点D，过点P向上作PF∥AC，且，以PF、PD为边作矩形PDEF．设点P的运动时间为x（秒），矩形PDEF与△ABC的重叠部分图形的面积为y．
（1）用含x的式子表示线段PD的长；
（2）求出当点F落在边BC上时x的值；
（3）求在运动过程中y与x之间的函数关系式．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c过A，B，C三点，点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，﹣3），动点P在抛物线上．
（1）求这个抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）设动点P的横坐标为m，△PAC的面积为S．请直接写出面积S随着m的增大而减小时m的取值范围．
2021年吉林省吉林市船营区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题2分，共12分）
1．（2分）2021的倒数是（ ）
A．2021 B．﹣2021 C． D．﹣
【分析】直接利用倒数的定义得出答案．
【解答】解：2021的倒数是．
故选：C．
2．（2分）柜子里有5双鞋，取出一只鞋是右脚鞋的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】因为左右脚穿的鞋的数目相同，5双鞋中右脚穿的鞋有5只，根据概率公式解答即可．
【解答】解：5双鞋就是10只，其中右脚的有5只，所以取出一只鞋是右脚鞋的概率是＝．
故选：A．
3．（2分）如图，是一个几何体的表面展开图，则该几何体是（ ）
A．正方体 B．长方体 C．三棱柱 D．四棱锥
【分析】由展开图得这个几何体为棱柱，底面为三边形，则为三棱柱．
【解答】解：由图得，这个几何体为三棱柱．
故选：C．
4．（2分）如图，赵师傅透过平举的放大镜从正上方看到水平桌面上的菱形图案的一角，那么∠A与放大镜中的∠C的大小关系是（ ）
A．∠A＝∠C B．∠A＞∠C C．∠A＜∠C D．无法比较
【分析】原来的图形和放大的图形是相似的，根据相似三角形的对应角相等，可以判定∠A＝∠C．
【解答】解：由于图形放大或缩小后，形状没有发生变化，结合相似三角形的性质，可判定∠A＝∠C．
故选：A．
5．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如下表：
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
…
y
…
4
0
﹣2
﹣2
0
4
…
下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下
B．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最小值是﹣2
D．抛物线的对称轴是直线x＝﹣
【分析】选出3点的坐标，利用待定系数法求出函数的解析式，再根据二次函数的性质逐项分析四个选项即可得出结论．
【解答】解：将点（﹣4，0）、（﹣1，0）、（0，4）代入到二次函数y＝ax2+bx+c中，
得：，解得：，
∴二次函数的解析式为y＝x2+5x+4．
A、a＝1＞0，抛物线开口向上，A不正确；
B、﹣＝﹣，当x≥﹣时，y随x的增大而增大，B不正确；
C、y＝x2+5x+4＝﹣，二次函数的最小值是﹣，C不正确；
D、﹣＝﹣，抛物线的对称轴是直线x＝﹣，D正确．
故选：D．
6．（2分）图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ）
A．cm B．cm C．64cm D．54cm
【分析】过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则可得AE和BF的长，依据端点A与B之间的距离为10cm，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．
【解答】解：如图所示，过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则
Rt△ACE中，AE＝AC＝×54＝27（cm），
同理可得，BF＝27cm，
又∵点A与B之间的距离为10cm，
∴通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27＝64（cm），
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）分解因式：8a2﹣2a＝ 2a（4a﹣1） ．
【分析】直接提取公因式2a，进而得出答案．
【解答】解：8a2﹣2a＝2a（4a﹣1）．
故答案为：2a（4a﹣1）．
8．（3分）若关于x的方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是 k≥﹣1 ．
【分析】由于k的取值不确定，故应分k＝0（此时方程化简为一元一次方程）和k≠0（此时方程为二元一次方程）两种情况进行解答．
【解答】解：（1）当k＝0时，2x﹣1＝0，解得：x＝；
（2）当k≠0时，此方程是一元二次方程，
∵关于x方程kx2+2x﹣1＝0有实根，
∴△＝22﹣4k×（﹣1）≥0，解得k≥﹣1，
由（1）和（2）得，k的取值范围是k≥﹣1．
故答案为：k≥﹣1．
9．（3分）《九章算术》中记载问题如下：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不是四，问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱：每人出7钱，又差4钱，问人数、物价各多少？设有x人，依题意列方程得 8x﹣3＝7x+4 ．
【分析】设有x人合伙买东西，根据货物的价格不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：设有x人合伙买东西，
依题意，得：8x﹣3＝7x+4．
故答案为：8x﹣3＝7x+4．
10．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝65°，分别以点A、C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，过这两点作直线DE，分别交AC、BC于点D、E，连接AE，则∠AED的度数为 40 度．
【分析】由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，得出CE＝AE，由等腰三角形的性质得出∠C＝∠CAE，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠C＝50°，即可得出结果．
【解答】解：∵由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，
∴CE＝AE，
∴∠C＝∠CAE，
∵AC＝BC，∠B＝65°，
∴∠BAC＝65°，
∴∠C＝180°﹣2×65°＝50°，
∴∠CAE＝50°，
∴∠AED＝40°，
故答案为：40．
11．（3分）如图，点A在双曲线（k＞0）上，点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，点C和点D在x轴上．若四边形ABCD为矩形，且矩形ABCD的面积为2，则k的值为 3 ．
【分析】延长BA交y轴于E，根据反比例函数k的几何意义得到S矩形BCOE＝|k|，S矩形ADOE＝1，则|k|﹣1＝2，解得即可．
【解答】解：延长BA交y轴于E，如图，
∵S矩形BCOE＝|k|，S矩形ADOE＝1，
而矩形ABCD的面积为2，
∴S矩形BCOE﹣S矩形ADOE＝2，
即|k|﹣1＝2，
而k＞0，
∴k＝3．
故答案为3．
12．（3分）AB为半圆O的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点P在半圆上，斜边过点B，一条直角边交该半圆于点Q．若AB＝2，则线段BQ的长为 ．
【分析】连接AQ，BQ，根据圆周角定理可得出∠QAB＝∠P＝45°，∠AQB＝90°，故△ABQ是等腰直角三角形，根据勾股定理即可得出结论．
【解答】解：连接AQ，BQ，
∵∠P＝45°，
∴∠QAB＝∠P＝45°，
∵AB为直径，
∴∠AQB＝90°，
∴△ABQ是等腰直角三角形．
∵AB＝2，
∴2BQ2＝4，
∴BQ＝．
故答案为：．
13．（3分）如图，▱ABCD的顶点B在矩形AEFC的边EF上，点B与点E、F不重合，若△ACD的面积为3，则图中阴影部分两个三角形的面积和为 3 ．
【分析】根据平行四边形的性质求出AD＝BC，DC＝AB，证△ADC≌△CBA，推出△ABC的面积是3，求出AC×AE＝6，即可求出阴影部分的面积．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，DC＝AB，
∵在△ADC和△CBA中
，
∴△ADC≌△CBA，
∵△ACD的面积为3，
∴△ABC的面积是3，
即AC×AE＝3，
AC×AE＝6，
∴阴影部分的面积是6﹣3＝3，
故答案为：3．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点P为抛物线y＝x2﹣ax+a的顶点，点A、B在x轴上且AB＝2，当点P在x轴上方且△PAB面积最大时，a的值为 8 ．
【分析】利用配方法得到y＝x2﹣ax+a＝y＝（x﹣a）2﹣a2+a，则顶点P的坐标为（a，﹣a2+a），根据三角形面积公式得到S△PAB＝×2×（﹣a2+a）＝﹣a2+a，然后根据二次函数的性质可确定△PAB面积最大时a的值．
【解答】解：∵y＝x2﹣ax+a＝y＝x2﹣ax+a2﹣a2+a＝（x﹣a）2﹣a2+a，
∴顶点P的坐标为（a，﹣a2+a），
∵点P在x轴上方，
∴﹣a2+a＞0，
∴S△PAB＝×2×（﹣a2+a）＝﹣a2+a＝﹣（a﹣8）2+4，
∴a＝8时，△PAB面积最大．
故答案为8．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）先化简，再求值：（a﹣b）2﹣（a+b）（a﹣b），其中a＝﹣3，b＝2．
【分析】根据整式的混合运算顺序进行计算，然后代入值计算即可．
【解答】解：（a﹣b）2 ﹣（a+b）（a﹣b）
＝（a﹣b）（a﹣b﹣a﹣b）
＝﹣2b（a﹣b），
当a＝﹣3，b＝2 时，
原式＝﹣﹣2×2×（﹣3﹣2）
＝20．
16．（5分）甲、乙两人都握有分别标记为A、B、C的三张牌，两人做游戏，游戏规则是：每人各出一张牌，若两人出的牌相同，则为平局．用树状图或列表等方法，列出甲、乙两人一次游戏的所有可能的结果，并求出平局的概率．
【分析】列表得出所有情况，其中两次摸出的牌的标记相同的情况有3种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：列表如下：
A
B
C
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
所有等可能的情况有9种，其中两次摸出的牌的标记相同的情况有3种，
∴．
17．（5分）如图，点E、F在BC上，BE＝FC，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D．
【分析】可通过证△ABF≌△DCE，来得出∠A＝∠D的结论．
【解答】证明：∵BE＝FC，
∴BE+EF＝CF+EF，
即BF＝CE；
又∵AB＝DC，∠B＝∠C，
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴∠A＝∠D．
18．（5分）某小区为了排污，需铺设一段全长为480米的排污管道，为减少施工对居民生活的影响，需缩短施工时间，实际施工时每天的工作效率比原计划提高20%，结果提前2天完成任务．求原计划每天铺设多少米．
【分析】设原计划每天铺设管道为xm，故实际施工每天铺设管道为1.2xm．等量关系为：原计划完成的天数﹣实际完成的天数＝2，根据这个关系列出方程求解即可．
【解答】解：设原计划每天铺设x米，则实际每天铺设（1+20%）x米，
，
解得：x＝40．
经检验：x＝40是原方程的解．
答：原计划每天铺设40米．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）如图，是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在小正方形的格点上．
（1）如图①，点P在小正方形的格点上，则sin∠PAB＝ ．
（2）在图①中画出以线段PA为边的格点正方形．
（3）在图②，图③中分别画出以线段AB为边和对角线的矩形（面积不为8），且另外两个顶点C、D均在小正方形的格点上．分别写出你所画出矩形的面积．
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质求解即可．
（2）根据正方形的定义画出图形即可．
（3）根据矩形的定义结合题目要求画出图形即可．
【解答】解：（1）如图①中，△PAB是等腰直角三角形，
∴∠PAB＝45°，
∴sin∠PAB＝．，
故答案为：．
（2）如图①中，正方形APBC即为所求作．
（3）如图②中，矩形ABCD即为所求作，矩形的面积＝×2＝10，
如图③中，矩形ADBC即为所求作，矩形的面积＝×＝6．
20．（7分）钓鱼岛历来就是我们中国的固有领土，是神圣不可侵犯的！如图是钓鱼岛中某个岛礁上的斜坡AC，我海监船在海面上与点C距离200米的D处，测得岛礁顶端A的仰角为26.6°，以及该斜坡坡度是tanα＝，求该岛礁的高AB（结果取整数）．
（参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50）
【分析】根据tanα＝，可设AB＝3x（米），BC＝4x（米），继而表示出AB、BD的长度，再由tan26.6°≈0.50，可得关于x的方程，解出即可得出答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，，
故可设AB＝3x（米），BC＝4x（米），
在Rt△ADB中，∠D＝26.6°，BD＝200+4x（米），
∴，
解得：x＝100，
则3x＝300．
答：该岛礁的高AB为300米．
21．（7分）如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C．
（1）若∠ADE＝25°，求∠C的度数；
（2）若AB＝AC，CE＝2，求⊙O半径的长．
【分析】（1）连接OA，利用切线的性质和角之间的关系解答即可；
（2）根据直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：（1）连接OA，
∵AC是⊙O的切线，OA是⊙O的半径，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC＝90°，
∵，∠ADE＝25°，
∴∠AOE＝2∠ADE＝50°，
∴∠C＝90°﹣∠AOE＝90°﹣50°＝40°；
（2）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵，
∴∠AOC＝2∠B，
∴∠AOC＝2∠C，
∵∠OAC＝90°，
∴∠AOC+∠C＝90°，
∴3∠C＝90°，
∴∠C＝30°，
∴OA＝OC，
设⊙O的半径为r，
∵CE＝2，
∴r＝，
解得：r＝2，
∴⊙O的半径为2．
22．（7分）在建设港珠澳大桥期间，大桥的规划选线须经过中华白海豚国家级自然保护区﹣﹣﹣区域A或区域B．为实现白海豚“零伤亡，不搬家”的目标，需合理安排施工时间和地点，为此，海豚观察员在相同条件下连续出海20天，在区域A，B两地对中华白海豚的踪迹进行了观测和统计，过程如下，请补充完整．（单位：头）
【收集数据】
连续20天观察不同中华白海豚每天在区域A，区域B出现的数目情况，得到统计结果，并按从小到大的顺序排列如下：
区域A
0
1
3
4
5
6
6
6
7
8
8
9
11
14
15
15
17
23
25
30
区域B
1
1
3
4
6
6
8
9
11
12
14
15
16
16
16
17
22
25
26
35
【整理、描述数据】
（1）按如下数段整理、描述这两组数据，请补充完整：
海豚数x
0≤x≤7
8≤x≤14
15≤x≤21
22≤x≤28
29≤x≤35
区域A
9
5
3
2
1
区域B
6
5
5
3
1
（2）两组数据的极差、平均数、中位数，众数如下表所示
观测点
极差
平均数
中位数
众数
区域A
a
10.65
b
c
区域B
34
13.15
13
16
请填空：上表中，极差a＝ 30 ，中位数b＝ 8 ，众数c＝ 6 ；
（3）规划者们选择了区域A为大桥的必经地，为减少施工对白海豚的影响，合理安排施工时间，估计在接下来的200天施工期内，区域A大约有多少天中华白海豚出现的数目在22≤x≤35的范围内？
【分析】（1）根据题目中的数据，可以将表格补充完整；
（2）根据题目中的数据可以分别求得a、b、c的值；
（3）根据表格中的数据可以求得区域A大约有多少天中华白海豚出现的数目在22≤x≤35的范围内．
【解答】解：（1）由收集数据中的数据可得，
22≤x≤28时，中华白海豚在区域A出现的数目为：2，
29≤x≤35时，中华白海豚在区域A出现的数目为：1，
故答案为：2，1；
（2）由收集数据中的数据可得，
a＝30﹣0＝30，b＝8，c＝6，
故答案为：30，8，6；
（3）200×＝30（天），
答：区域A大约有30天中华白海豚出现的数目在22≤x≤35的范围内．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）某校初三年级进行女子800米测试，甲、乙两名同学同时起跑，甲同学先以a米/秒的速度匀速跑，一段时间后提高速度，以米/秒的速度匀速跑，b秒到达终点，乙同学在第60秒和第140秒时分别减慢了速度，设甲、乙两名同学跑的路程为s（米），乙同学所用的时间为t（秒），s与t之间的函数图象如图所示．
（1）乙同学起跑的速度为 5 米/秒；
（2）求a、b的值；
（3）当乙同学领先甲同学60米时，直接写出t的值是 30或160 ．
【分析】（1）根据函数图象中的数据可以求得乙起跑的速度；
（2）根据题意和函数图象中的数据可以求得a、b的值；
（3）根据题意可以求得乙同学领先甲同学60米时对应的t的值．
【解答】解：（1）由图可得，
乙同学起跑的速度为：300÷6＝5米/秒，
故答案为：5；
（2）a＝300÷100＝3，
b＝100+（800﹣300）×（3×）＝200，
即a的值是3，b的值是200；
（3）当0＜t≤60时，
（5﹣3）t＝60，得t＝30，
当60＜t≤140时，乙的速度为：（620﹣300）÷（140﹣60）＝4米/秒，
∵在前100秒，甲的速度小于乙的速度，则30秒到100秒中他们的距离会越来越大，
当t＝100时，甲跑的路程为300米，乙跑的路程为：300+（100﹣60）×4＝460米，
当t＝140时，甲跑的路程为300+（140﹣100）×5＝500米，乙跑的路程为：300+（140﹣60）×4＝620，
∵620﹣500＞60，
∴在100≤t≤140中，甲乙之间的距离大于60米，
当140＜t＜230时，乙的速度为：（800﹣620）÷（230﹣140）＝2米/秒，
620+2（t﹣140）﹣[300+（t﹣100）×5]＝60，
解得，t＝160，
故答案为：30或160．
24．（8分）（1）如图①，点C是AB中点，CD⊥AB，P是CD上任意一点，则线段PA与PB的数量关系是 相等 ．
（2）如图②，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A和点B，点C是AB中点，CD⊥AB交OA于点D，连接BD，求BD的长．
（3）如图③，①将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AB′，请在图③网格中画出线段AB′；
②若存在一点P，使得PA＝PB′，且∠APB′≠90°，当点P的横、纵坐标均为整数时，则AP长度的最小值为 5 ．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质即可得到结论；
（2）根据的垂直平分线性质，利用勾股定理即可求得；
（3）①根据旋转的性质将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AB′，画出线段AB′即可；
②求得AB′垂直平分线的表达式为：y＝﹣x+，AP＝＝，即可求解．
【解答】解：（1）∵点C是AB中点，CD⊥AB，P是CD上任意一点，
∴PA＝PB，
故答案为：相等；
（2）方法一：
由题意得：当x＝0时，y＝1；当y＝0时，x＝3；
∴A（3，0），B（0，1），
∴AO＝3，BO＝1，
设BD的长为a．
∵点C是AB中点，CD⊥AB交OA于点D，
∴DA＝DB＝a，OD＝3﹣a，
在Rt△BOD中，∠BOD＝90°，
∴BD2＝BO2+DO2，12+（3﹣a）2＝a2，
∴，即．
∴BD的长为；
方法二：
由题意得：当x＝0时，y＝1；当y＝0时，x＝3，
∴A（3，0），B（0，1），
∴AO＝3，BO＝1，
在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，
∴，
∵点C是AB中点，CD⊥AB交OA于点D，
∴∠AOB＝∠ACD＝90°，，AD＝BD．
∵∠A＝∠A，
∴△AOB∽△ACD．
∴，
∴，
∴．
∴，
∴BD的长为；
（3）①如图，线段AB′即为所求．
；
②如图，点B′（4，3），
过AB′的中点作AB′的垂直平分线，点P是该平分线上一点，
∴AB的中点的坐标为（，），
设AB′的垂直平分线的解析式为y＝﹣x+b，
∴＝﹣×+b，解得b＝，
∴AB′垂直平分线的表达式为：y＝﹣x+，
设点P（m，﹣m+），点A（3，0），
∴AP＝＝，
∵10＞0，故AP有最小值，当m＝﹣＝3.5时，AP有最小值，
当m＝4或3时，﹣m+不是整数，
当m＝5时，﹣m+＝1，是整数，
当m＝2时，﹣m+＝2，是整数，
当m＝7时，﹣m+不是整数，
当m＝8或﹣1时，﹣m+是整数，点P（8，0）或（﹣1，3），
当故点P（5，1）或（2，2）时，AP有最小值，但此时，∠APB′≠90°（舍去），
AP＝5，
即点P（8，0）或（﹣1，3），AP的最小值为5，
故答案为5．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，在等边△ABC中，AB＝6．点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿边AB向终点B运动，过点P作PD⊥AC于点D，过点P向上作PF∥AC，且，以PF、PD为边作矩形PDEF．设点P的运动时间为x（秒），矩形PDEF与△ABC的重叠部分图形的面积为y．
（1）用含x的式子表示线段PD的长；
（2）求出当点F落在边BC上时x的值；
（3）求在运动过程中y与x之间的函数关系式．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得∠A＝60°，根据∠A的正弦函数值即可求解；
（2）当点F落在边BC上时，可得△PBF为等边三角形，用含x的式子表示线段PB、PF，由PF＝PB即可求解；
（3）求出当点E和点C重合时，点P到终点B时x的值，分三种情况画出图形，列式化简即可得y与x之间的函数关系式．
【解答】解：（1）∵等边△ABC中，AB＝6．
∴∠A＝60°，
∵AP＝2x，
∴sin∠A＝，
∴PD＝x；
（2）当点F落在BC边上时，如图1，
∵△ABC为等边三角形，四边形PDEF是矩形，
∴PF∥AC，
∴∠FPB＝∠A＝∠B＝60°，
∴△PBF为等边三角形，
∴PF＝PB，
∵AP＝2x，PD＝x，PF＝PD，AB＝6．
∴PF＝3x，PB＝6﹣2x，
∴3x＝6﹣2x，
∴x＝；
（3）当点E和点C重合时，如图2，
∵由（2）知，△PGF为等边三角形，
∴PG＝PB＝6﹣2x，∠PGB＝∠CGF＝60°，
∵四边形PDEF是矩形，
∴PD＝CF，∠PDA＝∠F＝90°，
∵∠A＝60°，
∴∠CGF＝∠A，
∴△PDA≌△CFG，
∴GF＝AD＝x，
∴PG＝PF﹣GF＝3x﹣x＝2x，
∴6﹣2x＝2x，
∴x＝；
点P到终点B时，如图3，
∵△ABC为等边三角形，AB＝6．
∴AP＝2x＝6，
∴x＝3，
①当 时：（如图4）
y＝PD•PF＝x•3x＝3x2；
②当时：（如图5）
＝；
③当时：（如图6）
＝．
综上：．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c过A，B，C三点，点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，﹣3），动点P在抛物线上．
（1）求这个抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）设动点P的横坐标为m，△PAC的面积为S．请直接写出面积S随着m的增大而减小时m的取值范围．
【分析】（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式，即可得这个抛物线的解析式，将解析式化为顶点式即可得顶点D的坐标；
（2）分∠ACP是直角、∠P′AC为直角两种情况，分别求解即可；
（3）观察图象，根据点A的坐标和顶点D的坐标即可求解．
【解答】解：（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式得：
∴
∴此抛物线的解析式y＝x2﹣2x﹣3．
又y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点D的坐标为（1，﹣4）；
（2）存在．
①当∠PAC＝90°时：（如图1）
∵OA＝OC＝3，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°．
∠PAB＝45°，
∴yP＝xA﹣xP，即 x2﹣2x﹣3＝3﹣x．
∴x1＝﹣2，x2＝3（舍）．
∴P（﹣2，5）；
②当∠PCA＝90°时：（如图2）
∵∠OCA＝45°，
∴∠PCQ＝45°，
∴xP＝yC﹣yP，即﹣3﹣x2+2x+3＝x．
∴x1＝1，x2＝0（舍）．
∴P （1，﹣4）．
综上，符合条件的点P的坐标为（﹣2，5）或（1，﹣4）；
（3）由图象可得m＜0时，△PAC的面积为S随着m的增大而减小；
∵顶点D的坐标为（1，﹣4），点A的坐标是（3，0），
∴由图象可得 1＜m＜3时，过点P作PN⊥x轴交AC于点N，
设直线AC的解析式y＝kx+b，
∵点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，﹣3），
∴线AC的解析式y＝x﹣3，
设点P的坐标是（m，m2﹣2m﹣3），则点N（m，m﹣3），
∴，△PAC的面积为S＝[m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）]×3＝﹣（m﹣）2+，
m＝时，△PAC的面积有最大值，
∴＜m＜3时，S随着m的增大而减小．
∴面积S随着m的增大而减小时m的取值范围为m＜0或 ＜m＜3．
2021年吉林省吉林市船营区中考数学一模试卷
一、选择题（每小题2分，共12分）
1．（2分）2021的倒数是（ ）
A．2021 B．﹣2021 C． D．﹣
2．（2分）柜子里有5双鞋，取出一只鞋是右脚鞋的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．（2分）如图，是一个几何体的表面展开图，则该几何体是（ ）
A．正方体 B．长方体 C．三棱柱 D．四棱锥
4．（2分）如图，赵师傅透过平举的放大镜从正上方看到水平桌面上的菱形图案的一角，那么∠A与放大镜中的∠C的大小关系是（ ）
A．∠A＝∠C B．∠A＞∠C C．∠A＜∠C D．无法比较
5．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如下表：
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
…
y
…
4
0
﹣2
﹣2
0
4
…
下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下
B．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最小值是﹣2
D．抛物线的对称轴是直线x＝﹣
6．（2分）图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ）
A．cm B．cm C．64cm D．54cm
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）分解因式：8a2﹣2a＝ ．
8．（3分）若关于x的方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是 ．
9．（3分）《九章算术》中记载问题如下：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不是四，问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱：每人出7钱，又差4钱，问人数、物价各多少？设有x人，依题意列方程得 ．
10．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝65°，分别以点A、C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，过这两点作直线DE，分别交AC、BC于点D、E，连接AE，则∠AED的度数为 度．
11．（3分）如图，点A在双曲线（k＞0）上，点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，点C和点D在x轴上．若四边形ABCD为矩形，且矩形ABCD的面积为2，则k的值为 ．
12．（3分）AB为半圆O的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点P在半圆上，斜边过点B，一条直角边交该半圆于点Q．若AB＝2，则线段BQ的长为 ．
13．（3分）如图，▱ABCD的顶点B在矩形AEFC的边EF上，点B与点E、F不重合，若△ACD的面积为3，则图中阴影部分两个三角形的面积和为 ．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点P为抛物线y＝x2﹣ax+a的顶点，点A、B在x轴上且AB＝2，当点P在x轴上方且△PAB面积最大时，a的值为 ．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）先化简，再求值：（a﹣b）2﹣（a+b）（a﹣b），其中a＝﹣3，b＝2．
16．（5分）甲、乙两人都握有分别标记为A、B、C的三张牌，两人做游戏，游戏规则是：每人各出一张牌，若两人出的牌相同，则为平局．用树状图或列表等方法，列出甲、乙两人一次游戏的所有可能的结果，并求出平局的概率．
17．（5分）如图，点E、F在BC上，BE＝FC，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D．
18．（5分）某小区为了排污，需铺设一段全长为480米的排污管道，为减少施工对居民生活的影响，需缩短施工时间，实际施工时每天的工作效率比原计划提高20%，结果提前2天完成任务．求原计划每天铺设多少米．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）如图，是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在小正方形的格点上．
（1）如图①，点P在小正方形的格点上，则sin∠PAB＝ ．
（2）在图①中画出以线段PA为边的格点正方形．
（3）在图②，图③中分别画出以线段AB为边和对角线的矩形（面积不为8），且另外两个顶点C、D均在小正方形的格点上．分别写出你所画出矩形的面积．
20．（7分）钓鱼岛历来就是我们中国的固有领土，是神圣不可侵犯的！如图是钓鱼岛中某个岛礁上的斜坡AC，我海监船在海面上与点C距离200米的D处，测得岛礁顶端A的仰角为26.6°，以及该斜坡坡度是tanα＝，求该岛礁的高AB（结果取整数）．
（参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50）
21．（7分）如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C．
（1）若∠ADE＝25°，求∠C的度数；
（2）若AB＝AC，CE＝2，求⊙O半径的长．
22．（7分）在建设港珠澳大桥期间，大桥的规划选线须经过中华白海豚国家级自然保护区﹣﹣﹣区域A或区域B．为实现白海豚“零伤亡，不搬家”的目标，需合理安排施工时间和地点，为此，海豚观察员在相同条件下连续出海20天，在区域A，B两地对中华白海豚的踪迹进行了观测和统计，过程如下，请补充完整．（单位：头）
【收集数据】
连续20天观察不同中华白海豚每天在区域A，区域B出现的数目情况，得到统计结果，并按从小到大的顺序排列如下：
区域A
0
1
3
4
5
6
6
6
7
8
8
9
11
14
15
15
17
23
25
30
区域B
1
1
3
4
6
6
8
9
11
12
14
15
16
16
16
17
22
25
26
35
【整理、描述数据】
（1）按如下数段整理、描述这两组数据，请补充完整：
海豚数x
0≤x≤7
8≤x≤14
15≤x≤21
22≤x≤28
29≤x≤35
区域A
9
5
3
区域B
6
5
5
3
1
（2）两组数据的极差、平均数、中位数，众数如下表所示
观测点
极差
平均数
中位数
众数
区域A
a
10.65
b
c
区域B
34
13.15
13
16
请填空：上表中，极差a＝ ，中位数b＝ ，众数c＝ ；
（3）规划者们选择了区域A为大桥的必经地，为减少施工对白海豚的影响，合理安排施工时间，估计在接下来的200天施工期内，区域A大约有多少天中华白海豚出现的数目在22≤x≤35的范围内？
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）某校初三年级进行女子800米测试，甲、乙两名同学同时起跑，甲同学先以a米/秒的速度匀速跑，一段时间后提高速度，以米/秒的速度匀速跑，b秒到达终点，乙同学在第60秒和第140秒时分别减慢了速度，设甲、乙两名同学跑的路程为s（米），乙同学所用的时间为t（秒），s与t之间的函数图象如图所示．
（1）乙同学起跑的速度为 米/秒；
（2）求a、b的值；
（3）当乙同学领先甲同学60米时，直接写出t的值是 ．
24．（8分）（1）如图①，点C是AB中点，CD⊥AB，P是CD上任意一点，则线段PA与PB的数量关系是 ．
（2）如图②，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A和点B，点C是AB中点，CD⊥AB交OA于点D，连接BD，求BD的长．
（3）如图③，①将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AB′，请在图③网格中画出线段AB′；
②若存在一点P，使得PA＝PB′，且∠APB′≠90°，当点P的横、纵坐标均为整数时，则AP长度的最小值为 ．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，在等边△ABC中，AB＝6．点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿边AB向终点B运动，过点P作PD⊥AC于点D，过点P向上作PF∥AC，且，以PF、PD为边作矩形PDEF．设点P的运动时间为x（秒），矩形PDEF与△ABC的重叠部分图形的面积为y．
（1）用含x的式子表示线段PD的长；
（2）求出当点F落在边BC上时x的值；
（3）求在运动过程中y与x之间的函数关系式．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c过A，B，C三点，点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，﹣3），动点P在抛物线上．
（1）求这个抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）设动点P的横坐标为m，△PAC的面积为S．请直接写出面积S随着m的增大而减小时m的取值范围．
2021年吉林省吉林市船营区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题2分，共12分）
1．（2分）2021的倒数是（ ）
A．2021 B．﹣2021 C． D．﹣
【分析】直接利用倒数的定义得出答案．
【解答】解：2021的倒数是．
故选：C．
2．（2分）柜子里有5双鞋，取出一只鞋是右脚鞋的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】因为左右脚穿的鞋的数目相同，5双鞋中右脚穿的鞋有5只，根据概率公式解答即可．
【解答】解：5双鞋就是10只，其中右脚的有5只，所以取出一只鞋是右脚鞋的概率是＝．
故选：A．
3．（2分）如图，是一个几何体的表面展开图，则该几何体是（ ）
A．正方体 B．长方体 C．三棱柱 D．四棱锥
【分析】由展开图得这个几何体为棱柱，底面为三边形，则为三棱柱．
【解答】解：由图得，这个几何体为三棱柱．
故选：C．
4．（2分）如图，赵师傅透过平举的放大镜从正上方看到水平桌面上的菱形图案的一角，那么∠A与放大镜中的∠C的大小关系是（ ）
A．∠A＝∠C B．∠A＞∠C C．∠A＜∠C D．无法比较
【分析】原来的图形和放大的图形是相似的，根据相似三角形的对应角相等，可以判定∠A＝∠C．
【解答】解：由于图形放大或缩小后，形状没有发生变化，结合相似三角形的性质，可判定∠A＝∠C．
故选：A．
5．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如下表：
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
…
y
…
4
0
﹣2
﹣2
0
4
…
下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下
B．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最小值是﹣2
D．抛物线的对称轴是直线x＝﹣
【分析】选出3点的坐标，利用待定系数法求出函数的解析式，再根据二次函数的性质逐项分析四个选项即可得出结论．
【解答】解：将点（﹣4，0）、（﹣1，0）、（0，4）代入到二次函数y＝ax2+bx+c中，
得：，解得：，
∴二次函数的解析式为y＝x2+5x+4．
A、a＝1＞0，抛物线开口向上，A不正确；
B、﹣＝﹣，当x≥﹣时，y随x的增大而增大，B不正确；
C、y＝x2+5x+4＝﹣，二次函数的最小值是﹣，C不正确；
D、﹣＝﹣，抛物线的对称轴是直线x＝﹣，D正确．
故选：D．
6．（2分）图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ）
A．cm B．cm C．64cm D．54cm
【分析】过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则可得AE和BF的长，依据端点A与B之间的距离为10cm，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．
【解答】解：如图所示，过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则
Rt△ACE中，AE＝AC＝×54＝27（cm），
同理可得，BF＝27cm，
又∵点A与B之间的距离为10cm，
∴通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27＝64（cm），
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）分解因式：8a2﹣2a＝ 2a（4a﹣1） ．
【分析】直接提取公因式2a，进而得出答案．
【解答】解：8a2﹣2a＝2a（4a﹣1）．
故答案为：2a（4a﹣1）．
8．（3分）若关于x的方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是 k≥﹣1 ．
【分析】由于k的取值不确定，故应分k＝0（此时方程化简为一元一次方程）和k≠0（此时方程为二元一次方程）两种情况进行解答．
【解答】解：（1）当k＝0时，2x﹣1＝0，解得：x＝；
（2）当k≠0时，此方程是一元二次方程，
∵关于x方程kx2+2x﹣1＝0有实根，
∴△＝22﹣4k×（﹣1）≥0，解得k≥﹣1，
由（1）和（2）得，k的取值范围是k≥﹣1．
故答案为：k≥﹣1．
9．（3分）《九章算术》中记载问题如下：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不是四，问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱：每人出7钱，又差4钱，问人数、物价各多少？设有x人，依题意列方程得 8x﹣3＝7x+4 ．
【分析】设有x人合伙买东西，根据货物的价格不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：设有x人合伙买东西，
依题意，得：8x﹣3＝7x+4．
故答案为：8x﹣3＝7x+4．
10．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝65°，分别以点A、C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，过这两点作直线DE，分别交AC、BC于点D、E，连接AE，则∠AED的度数为 40 度．
【分析】由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，得出CE＝AE，由等腰三角形的性质得出∠C＝∠CAE，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠C＝50°，即可得出结果．
【解答】解：∵由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，
∴CE＝AE，
∴∠C＝∠CAE，
∵AC＝BC，∠B＝65°，
∴∠BAC＝65°，
∴∠C＝180°﹣2×65°＝50°，
∴∠CAE＝50°，
∴∠AED＝40°，
故答案为：40．
11．（3分）如图，点A在双曲线（k＞0）上，点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，点C和点D在x轴上．若四边形ABCD为矩形，且矩形ABCD的面积为2，则k的值为 3 ．
【分析】延长BA交y轴于E，根据反比例函数k的几何意义得到S矩形BCOE＝|k|，S矩形ADOE＝1，则|k|﹣1＝2，解得即可．
【解答】解：延长BA交y轴于E，如图，
∵S矩形BCOE＝|k|，S矩形ADOE＝1，
而矩形ABCD的面积为2，
∴S矩形BCOE﹣S矩形ADOE＝2，
即|k|﹣1＝2，
而k＞0，
∴k＝3．
故答案为3．
12．（3分）AB为半圆O的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点P在半圆上，斜边过点B，一条直角边交该半圆于点Q．若AB＝2，则线段BQ的长为 ．
【分析】连接AQ，BQ，根据圆周角定理可得出∠QAB＝∠P＝45°，∠AQB＝90°，故△ABQ是等腰直角三角形，根据勾股定理即可得出结论．
【解答】解：连接AQ，BQ，
∵∠P＝45°，
∴∠QAB＝∠P＝45°，
∵AB为直径，
∴∠AQB＝90°，
∴△ABQ是等腰直角三角形．
∵AB＝2，
∴2BQ2＝4，
∴BQ＝．
故答案为：．
13．（3分）如图，▱ABCD的顶点B在矩形AEFC的边EF上，点B与点E、F不重合，若△ACD的面积为3，则图中阴影部分两个三角形的面积和为 3 ．
【分析】根据平行四边形的性质求出AD＝BC，DC＝AB，证△ADC≌△CBA，推出△ABC的面积是3，求出AC×AE＝6，即可求出阴影部分的面积．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，DC＝AB，
∵在△ADC和△CBA中
，
∴△ADC≌△CBA，
∵△ACD的面积为3，
∴△ABC的面积是3，
即AC×AE＝3，
AC×AE＝6，
∴阴影部分的面积是6﹣3＝3，
故答案为：3．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点P为抛物线y＝x2﹣ax+a的顶点，点A、B在x轴上且AB＝2，当点P在x轴上方且△PAB面积最大时，a的值为 8 ．
【分析】利用配方法得到y＝x2﹣ax+a＝y＝（x﹣a）2﹣a2+a，则顶点P的坐标为（a，﹣a2+a），根据三角形面积公式得到S△PAB＝×2×（﹣a2+a）＝﹣a2+a，然后根据二次函数的性质可确定△PAB面积最大时a的值．
【解答】解：∵y＝x2﹣ax+a＝y＝x2﹣ax+a2﹣a2+a＝（x﹣a）2﹣a2+a，
∴顶点P的坐标为（a，﹣a2+a），
∵点P在x轴上方，
∴﹣a2+a＞0，
∴S△PAB＝×2×（﹣a2+a）＝﹣a2+a＝﹣（a﹣8）2+4，
∴a＝8时，△PAB面积最大．
故答案为8．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）先化简，再求值：（a﹣b）2﹣（a+b）（a﹣b），其中a＝﹣3，b＝2．
【分析】根据整式的混合运算顺序进行计算，然后代入值计算即可．
【解答】解：（a﹣b）2 ﹣（a+b）（a﹣b）
＝（a﹣b）（a﹣b﹣a﹣b）
＝﹣2b（a﹣b），
当a＝﹣3，b＝2 时，
原式＝﹣﹣2×2×（﹣3﹣2）
＝20．
16．（5分）甲、乙两人都握有分别标记为A、B、C的三张牌，两人做游戏，游戏规则是：每人各出一张牌，若两人出的牌相同，则为平局．用树状图或列表等方法，列出甲、乙两人一次游戏的所有可能的结果，并求出平局的概率．
【分析】列表得出所有情况，其中两次摸出的牌的标记相同的情况有3种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：列表如下：
A
B
C
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
所有等可能的情况有9种，其中两次摸出的牌的标记相同的情况有3种，
∴．
17．（5分）如图，点E、F在BC上，BE＝FC，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D．
【分析】可通过证△ABF≌△DCE，来得出∠A＝∠D的结论．
【解答】证明：∵BE＝FC，
∴BE+EF＝CF+EF，
即BF＝CE；
又∵AB＝DC，∠B＝∠C，
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴∠A＝∠D．
18．（5分）某小区为了排污，需铺设一段全长为480米的排污管道，为减少施工对居民生活的影响，需缩短施工时间，实际施工时每天的工作效率比原计划提高20%，结果提前2天完成任务．求原计划每天铺设多少米．
【分析】设原计划每天铺设管道为xm，故实际施工每天铺设管道为1.2xm．等量关系为：原计划完成的天数﹣实际完成的天数＝2，根据这个关系列出方程求解即可．
【解答】解：设原计划每天铺设x米，则实际每天铺设（1+20%）x米，
，
解得：x＝40．
经检验：x＝40是原方程的解．
答：原计划每天铺设40米．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）如图，是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在小正方形的格点上．
（1）如图①，点P在小正方形的格点上，则sin∠PAB＝ ．
（2）在图①中画出以线段PA为边的格点正方形．
（3）在图②，图③中分别画出以线段AB为边和对角线的矩形（面积不为8），且另外两个顶点C、D均在小正方形的格点上．分别写出你所画出矩形的面积．
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质求解即可．
（2）根据正方形的定义画出图形即可．
（3）根据矩形的定义结合题目要求画出图形即可．
【解答】解：（1）如图①中，△PAB是等腰直角三角形，
∴∠PAB＝45°，
∴sin∠PAB＝．，
故答案为：．
（2）如图①中，正方形APBC即为所求作．
（3）如图②中，矩形ABCD即为所求作，矩形的面积＝×2＝10，
如图③中，矩形ADBC即为所求作，矩形的面积＝×＝6．
20．（7分）钓鱼岛历来就是我们中国的固有领土，是神圣不可侵犯的！如图是钓鱼岛中某个岛礁上的斜坡AC，我海监船在海面上与点C距离200米的D处，测得岛礁顶端A的仰角为26.6°，以及该斜坡坡度是tanα＝，求该岛礁的高AB（结果取整数）．
（参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50）
【分析】根据tanα＝，可设AB＝3x（米），BC＝4x（米），继而表示出AB、BD的长度，再由tan26.6°≈0.50，可得关于x的方程，解出即可得出答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，，
故可设AB＝3x（米），BC＝4x（米），
在Rt△ADB中，∠D＝26.6°，BD＝200+4x（米），
∴，
解得：x＝100，
则3x＝300．
答：该岛礁的高AB为300米．
21．（7分）如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C．
（1）若∠ADE＝25°，求∠C的度数；
（2）若AB＝AC，CE＝2，求⊙O半径的长．
【分析】（1）连接OA，利用切线的性质和角之间的关系解答即可；
（2）根据直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：（1）连接OA，
∵AC是⊙O的切线，OA是⊙O的半径，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC＝90°，
∵，∠ADE＝25°，
∴∠AOE＝2∠ADE＝50°，
∴∠C＝90°﹣∠AOE＝90°﹣50°＝40°；
（2）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵，
∴∠AOC＝2∠B，
∴∠AOC＝2∠C，
∵∠OAC＝90°，
∴∠AOC+∠C＝90°，
∴3∠C＝90°，
∴∠C＝30°，
∴OA＝OC，
设⊙O的半径为r，
∵CE＝2，
∴r＝，
解得：r＝2，
∴⊙O的半径为2．
22．（7分）在建设港珠澳大桥期间，大桥的规划选线须经过中华白海豚国家级自然保护区﹣﹣﹣区域A或区域B．为实现白海豚“零伤亡，不搬家”的目标，需合理安排施工时间和地点，为此，海豚观察员在相同条件下连续出海20天，在区域A，B两地对中华白海豚的踪迹进行了观测和统计，过程如下，请补充完整．（单位：头）
【收集数据】
连续20天观察不同中华白海豚每天在区域A，区域B出现的数目情况，得到统计结果，并按从小到大的顺序排列如下：
区域A
0
1
3
4
5
6
6
6
7
8
8
9
11
14
15
15
17
23
25
30
区域B
1
1
3
4
6
6
8
9
11
12
14
15
16
16
16
17
22
25
26
35
【整理、描述数据】
（1）按如下数段整理、描述这两组数据，请补充完整：
海豚数x
0≤x≤7
8≤x≤14
15≤x≤21
22≤x≤28
29≤x≤35
区域A
9
5
3
2
1
区域B
6
5
5
3
1
（2）两组数据的极差、平均数、中位数，众数如下表所示
观测点
极差
平均数
中位数
众数
区域A
a
10.65
b
c
区域B
34
13.15
13
16
请填空：上表中，极差a＝ 30 ，中位数b＝ 8 ，众数c＝ 6 ；
（3）规划者们选择了区域A为大桥的必经地，为减少施工对白海豚的影响，合理安排施工时间，估计在接下来的200天施工期内，区域A大约有多少天中华白海豚出现的数目在22≤x≤35的范围内？
【分析】（1）根据题目中的数据，可以将表格补充完整；
（2）根据题目中的数据可以分别求得a、b、c的值；
（3）根据表格中的数据可以求得区域A大约有多少天中华白海豚出现的数目在22≤x≤35的范围内．
【解答】解：（1）由收集数据中的数据可得，
22≤x≤28时，中华白海豚在区域A出现的数目为：2，
29≤x≤35时，中华白海豚在区域A出现的数目为：1，
故答案为：2，1；
（2）由收集数据中的数据可得，
a＝30﹣0＝30，b＝8，c＝6，
故答案为：30，8，6；
（3）200×＝30（天），
答：区域A大约有30天中华白海豚出现的数目在22≤x≤35的范围内．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）某校初三年级进行女子800米测试，甲、乙两名同学同时起跑，甲同学先以a米/秒的速度匀速跑，一段时间后提高速度，以米/秒的速度匀速跑，b秒到达终点，乙同学在第60秒和第140秒时分别减慢了速度，设甲、乙两名同学跑的路程为s（米），乙同学所用的时间为t（秒），s与t之间的函数图象如图所示．
（1）乙同学起跑的速度为 5 米/秒；
（2）求a、b的值；
（3）当乙同学领先甲同学60米时，直接写出t的值是 30或160 ．
【分析】（1）根据函数图象中的数据可以求得乙起跑的速度；
（2）根据题意和函数图象中的数据可以求得a、b的值；
（3）根据题意可以求得乙同学领先甲同学60米时对应的t的值．
【解答】解：（1）由图可得，
乙同学起跑的速度为：300÷6＝5米/秒，
故答案为：5；
（2）a＝300÷100＝3，
b＝100+（800﹣300）×（3×）＝200，
即a的值是3，b的值是200；
（3）当0＜t≤60时，
（5﹣3）t＝60，得t＝30，
当60＜t≤140时，乙的速度为：（620﹣300）÷（140﹣60）＝4米/秒，
∵在前100秒，甲的速度小于乙的速度，则30秒到100秒中他们的距离会越来越大，
当t＝100时，甲跑的路程为300米，乙跑的路程为：300+（100﹣60）×4＝460米，
当t＝140时，甲跑的路程为300+（140﹣100）×5＝500米，乙跑的路程为：300+（140﹣60）×4＝620，
∵620﹣500＞60，
∴在100≤t≤140中，甲乙之间的距离大于60米，
当140＜t＜230时，乙的速度为：（800﹣620）÷（230﹣140）＝2米/秒，
620+2（t﹣140）﹣[300+（t﹣100）×5]＝60，
解得，t＝160，
故答案为：30或160．
24．（8分）（1）如图①，点C是AB中点，CD⊥AB，P是CD上任意一点，则线段PA与PB的数量关系是 相等 ．
（2）如图②，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A和点B，点C是AB中点，CD⊥AB交OA于点D，连接BD，求BD的长．
（3）如图③，①将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AB′，请在图③网格中画出线段AB′；
②若存在一点P，使得PA＝PB′，且∠APB′≠90°，当点P的横、纵坐标均为整数时，则AP长度的最小值为 5 ．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质即可得到结论；
（2）根据的垂直平分线性质，利用勾股定理即可求得；
（3）①根据旋转的性质将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AB′，画出线段AB′即可；
②求得AB′垂直平分线的表达式为：y＝﹣x+，AP＝＝，即可求解．
【解答】解：（1）∵点C是AB中点，CD⊥AB，P是CD上任意一点，
∴PA＝PB，
故答案为：相等；
（2）方法一：
由题意得：当x＝0时，y＝1；当y＝0时，x＝3；
∴A（3，0），B（0，1），
∴AO＝3，BO＝1，
设BD的长为a．
∵点C是AB中点，CD⊥AB交OA于点D，
∴DA＝DB＝a，OD＝3﹣a，
在Rt△BOD中，∠BOD＝90°，
∴BD2＝BO2+DO2，12+（3﹣a）2＝a2，
∴，即．
∴BD的长为；
方法二：
由题意得：当x＝0时，y＝1；当y＝0时，x＝3，
∴A（3，0），B（0，1），
∴AO＝3，BO＝1，
在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，
∴，
∵点C是AB中点，CD⊥AB交OA于点D，
∴∠AOB＝∠ACD＝90°，，AD＝BD．
∵∠A＝∠A，
∴△AOB∽△ACD．
∴，
∴，
∴．
∴，
∴BD的长为；
（3）①如图，线段AB′即为所求．
；
②如图，点B′（4，3），
过AB′的中点作AB′的垂直平分线，点P是该平分线上一点，
∴AB的中点的坐标为（，），
设AB′的垂直平分线的解析式为y＝﹣x+b，
∴＝﹣×+b，解得b＝，
∴AB′垂直平分线的表达式为：y＝﹣x+，
设点P（m，﹣m+），点A（3，0），
∴AP＝＝，
∵10＞0，故AP有最小值，当m＝﹣＝3.5时，AP有最小值，
当m＝4或3时，﹣m+不是整数，
当m＝5时，﹣m+＝1，是整数，
当m＝2时，﹣m+＝2，是整数，
当m＝7时，﹣m+不是整数，
当m＝8或﹣1时，﹣m+是整数，点P（8，0）或（﹣1，3），
当故点P（5，1）或（2，2）时，AP有最小值，但此时，∠APB′≠90°（舍去），
AP＝5，
即点P（8，0）或（﹣1，3），AP的最小值为5，
故答案为5．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，在等边△ABC中，AB＝6．点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿边AB向终点B运动，过点P作PD⊥AC于点D，过点P向上作PF∥AC，且，以PF、PD为边作矩形PDEF．设点P的运动时间为x（秒），矩形PDEF与△ABC的重叠部分图形的面积为y．
（1）用含x的式子表示线段PD的长；
（2）求出当点F落在边BC上时x的值；
（3）求在运动过程中y与x之间的函数关系式．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得∠A＝60°，根据∠A的正弦函数值即可求解；
（2）当点F落在边BC上时，可得△PBF为等边三角形，用含x的式子表示线段PB、PF，由PF＝PB即可求解；
（3）求出当点E和点C重合时，点P到终点B时x的值，分三种情况画出图形，列式化简即可得y与x之间的函数关系式．
【解答】解：（1）∵等边△ABC中，AB＝6．
∴∠A＝60°，
∵AP＝2x，
∴sin∠A＝，
∴PD＝x；
（2）当点F落在BC边上时，如图1，
∵△ABC为等边三角形，四边形PDEF是矩形，
∴PF∥AC，
∴∠FPB＝∠A＝∠B＝60°，
∴△PBF为等边三角形，
∴PF＝PB，
∵AP＝2x，PD＝x，PF＝PD，AB＝6．
∴PF＝3x，PB＝6﹣2x，
∴3x＝6﹣2x，
∴x＝；
（3）当点E和点C重合时，如图2，
∵由（2）知，△PGF为等边三角形，
∴PG＝PB＝6﹣2x，∠PGB＝∠CGF＝60°，
∵四边形PDEF是矩形，
∴PD＝CF，∠PDA＝∠F＝90°，
∵∠A＝60°，
∴∠CGF＝∠A，
∴△PDA≌△CFG，
∴GF＝AD＝x，
∴PG＝PF﹣GF＝3x﹣x＝2x，
∴6﹣2x＝2x，
∴x＝；
点P到终点B时，如图3，
∵△ABC为等边三角形，AB＝6．
∴AP＝2x＝6，
∴x＝3，
①当 时：（如图4）
y＝PD•PF＝x•3x＝3x2；
②当时：（如图5）
＝；
③当时：（如图6）
＝．
综上：．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c过A，B，C三点，点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，﹣3），动点P在抛物线上．
（1）求这个抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）设动点P的横坐标为m，△PAC的面积为S．请直接写出面积S随着m的增大而减小时m的取值范围．
【分析】（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式，即可得这个抛物线的解析式，将解析式化为顶点式即可得顶点D的坐标；
（2）分∠ACP是直角、∠P′AC为直角两种情况，分别求解即可；
（3）观察图象，根据点A的坐标和顶点D的坐标即可求解．
【解答】解：（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式得：
∴
∴此抛物线的解析式y＝x2﹣2x﹣3．
又y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点D的坐标为（1，﹣4）；
（2）存在．
①当∠PAC＝90°时：（如图1）
∵OA＝OC＝3，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°．
∠PAB＝45°，
∴yP＝xA﹣xP，即 x2﹣2x﹣3＝3﹣x．
∴x1＝﹣2，x2＝3（舍）．
∴P（﹣2，5）；
②当∠PCA＝90°时：（如图2）
∵∠OCA＝45°，
∴∠PCQ＝45°，
∴xP＝yC﹣yP，即﹣3﹣x2+2x+3＝x．
∴x1＝1，x2＝0（舍）．
∴P （1，﹣4）．
综上，符合条件的点P的坐标为（﹣2，5）或（1，﹣4）；
（3）由图象可得m＜0时，△PAC的面积为S随着m的增大而减小；
∵顶点D的坐标为（1，﹣4），点A的坐标是（3，0），
∴由图象可得 1＜m＜3时，过点P作PN⊥x轴交AC于点N，
设直线AC的解析式y＝kx+b，
∵点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，﹣3），
∴线AC的解析式y＝x﹣3，
设点P的坐标是（m，m2﹣2m﹣3），则点N（m，m﹣3），
∴，△PAC的面积为S＝[m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）]×3＝﹣（m﹣）2+，
m＝时，△PAC的面积有最大值，
∴＜m＜3时，S随着m的增大而减小．
∴面积S随着m的增大而减小时m的取值范围为m＜0或 ＜m＜3．
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