江苏省常州市2019-2020学年七年级（下）期末数学试卷 （解析版）

这是一份江苏省常州市2019-2020学年七年级（下）期末数学试卷 （解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．数学课本一张纸的厚度大约是（ ）
A．0.1mmB．1cmC．1dmD．1m
2．下列计算中，正确的是（ ）
A．a3×a＝a4B．（a3）2＝a5C．a+a＝a2D．a6÷a2＝a3
3．用下列长度的三根木棒首尾相接，能做成三角形框架的是（ ）
A．2cm，2cm，4cmB．3cm，4cm，5cm
C．1cm，2cm，3cmD．2cm，3cm，6cm
4．如果a＜b，那么下列不等式中，成立的是（ ）
A．a+5＞b+5B．﹣2a＜﹣2bC．b﹣a＜0D．1﹣a＞1﹣b
5．若某个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数为（ ）
A．4B．6C．8D．10
6．在下列命题中，假命题的是（ ）
A．平行于同一直线的两条直线平行
B．过一点有无数条直线与已知直线垂直
C．两直线平行，同旁内角互补
D．有两个角互余的三角形是直角三角形
7．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（ ）
A．
B．
C．
D．
8．4张长为a，宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2，若S1＝S2，则a，b满足的关系式是（ ）
A．a＝1.5bB．a＝2bC．a＝2.5bD．a＝3b
二.填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
9．计算：2x（x﹣3y+1）＝ ．
10．因式分解：x2﹣4＝ ．
11．某球形病毒颗粒直径约为0.0000001，将0.0000001用科学记数法表示为 ．
12．请写出命题“互为相反数的两个数和为零”的逆命题： ．
13．如图，点D是∠AOB的平分线OC上的任意一点，DE∥OB，交OA于点E，若∠AED＝50°，则∠1＝ °．
14．已知关于x的不等式2x﹣a＞﹣3的解集是x＞1，则a的值为 ．
15．已知2x﹣6y+6＝0，则2x÷8y＝ ．
16．如图，AB∥CD，∠GAF：∠FAE：∠EAB＝∠GCF：∠FCE：∠ECD＝1：2：4，若∠AEC＝80°，则∠AGC＝ °．
三、解答题（本大题共9小题，共68分.第17、19、20、22.24题每题8分，第18、21、23题每题6分，第25题10分）
17．计算：
（1）（π﹣3.14）0﹣（）﹣3+（﹣3）2；
（2）（a﹣2b）2﹣（3a+2b）（2b﹣3a）．
18．因式分解：
（1）a2b﹣ab；
（2）12m3n﹣3mn．
19．解方程组或不等式组：
（1）；
（2）．
20．已知a﹣b＝5，ab＝1，求下列各式的值：
（1）（a+b）2；
（2）a3b+ab3．
21．如图，CF⊥AB于点F，ED⊥AB于点D，∠BED＝∠CFG，请问：FG与BC平行吗？说明理由．
22．2020年初，由于新冠病毒的蔓延，口罩市场出现热销，小明的爸爸用18000元购进甲、乙两种型号的口罩，在自家药店销售，销售完后共获利3900元，进价和售价如表所示：
（1）小明爸爸的药店购进甲、乙两种型号的口罩各多少袋？
（2）由于需求量大，口罩很快售完，小明的爸爸决定再一次购进甲、乙两种型号的口罩共800袋．如果要使这800袋口罩全部售完后所得利润不低于4500元，那么至少需购进多少袋乙种型号的口罩？
23．（1）比较x2+4与4x的大小：（用“＞”或“＝”或“＜”或“≥”或“≤”号填空）
①当x＝1时，x2+4 4x；
②当x＝2时，x2+4 4x；
③当x＝﹣1时，x2+4 4x；
④自己再任意取一些x的值，计算后猜想：x2+4 4x．
（2）无论x取什么值，x2+4与4x总有这样的大小关系吗？请说明理由．
24．如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程2x﹣6＝0的解为x＝3，不等式组的解集为1＜x＜4，因为1＜3＜4，所以称方程2x﹣6＝0为不等式组的关联方程．
（1）在方程①3x﹣3＝0；②x+1＝0；③x﹣（3x+1）＝﹣9中，不等式组的关联方程是 ．（填序号）
（2）若不等式组的一个关联方程的解是整数，则这个关联方程可以是 ．（写出一个即可）
（3）若方程2x﹣1＝x+2，x+5＝2（x+）都是关于x的不等式组的关联方程，求m的取值范围．
25．【基本模型】：如图1，BO平分△ABC的内角∠ABC，CO平分△ABC的外角∠ACD，试证明：∠BOC＝∠A；
【变式应用】：
（1）如图2，直线PQ⊥MN，垂足为点O，作∠PON的角平分线OE，在OE上任取一点A，在ON上任取一点B，连接AB，作∠BAE的角平分线AC，AC的反向延长线与∠ABO的平分线相交于点F，请问：∠F的大小是否随着点A，B位置的变化而变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请求出其度数；
（2）在（1）的基础上，若FC∥MN，则AB与OE有何位置关系？请说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
1．数学课本一张纸的厚度大约是（ ）
A．0.1mmB．1cmC．1dmD．1m
解：∵0.1mm＜1cm＜1dm＜1m，且经测算数学课本的厚度约为10mm，
∴数学课本一张纸的厚度大约是0.1mm．
故选：A．
2．下列计算中，正确的是（ ）
A．a3×a＝a4B．（a3）2＝a5C．a+a＝a2D．a6÷a2＝a3
解：A．a3•a＝a4，故本选项符合题意；
B．（a3）2＝a6，故本选项不合题意；
C．a+a＝2a，故本选项不合题意；
D．a6÷a2＝a4，故本选项不合题意．
故选：A．
3．用下列长度的三根木棒首尾相接，能做成三角形框架的是（ ）
A．2cm，2cm，4cmB．3cm，4cm，5cm
C．1cm，2cm，3cmD．2cm，3cm，6cm
解：A、2+2＝4，不能组成三角形，故本选项不合题意；
B、3+4＞5，能组成三角形，故本选项符合题意；
C、1+2＝3，不能组成三角形，故本选项不合题意；
D、2+3＜6，不能组成三角形，故本选项不合题意．
故选：B．
4．如果a＜b，那么下列不等式中，成立的是（ ）
A．a+5＞b+5B．﹣2a＜﹣2bC．b﹣a＜0D．1﹣a＞1﹣b
解：A、不等式a＜b两边都加上5可得a+5＜b+5，故本选项不合题意；
B、不等式a＜b两边都乘以﹣2可得﹣2a＞﹣2b，故本选项不合题意；
C、不等式a＜b两边都减去b可得a﹣b＜0，不等式a﹣b＜0都乘以﹣1可得b﹣a＞0，故本选项不合题意；
D、不等式a＜b两边都都乘以﹣1可得﹣a＞﹣b，不等式﹣a＞﹣b两边都加上1可得1﹣a＞1﹣b，故本选项符合题意．
故选：D．
5．若某个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数为（ ）
A．4B．6C．8D．10
解：多边形的内角和是：3×360＝1080°．
设多边形的边数是n，则
（n﹣2）•180＝1080，
解得：n＝8．
即这个多边形的边数是8．
故选：C．
6．在下列命题中，假命题的是（ ）
A．平行于同一直线的两条直线平行
B．过一点有无数条直线与已知直线垂直
C．两直线平行，同旁内角互补
D．有两个角互余的三角形是直角三角形
解：A、平行于同一直线的两条直线平行，正确，是真命题，不符合题意；
B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原命题错误，是假命题，符合题意；
C、两直线平行，同旁内角互补，正确，是真命题，不符合题意；
D、有两个角互余的三角形是直角三角形，正确，是真命题，不符合题意；
故选：B．
7．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（ ）
A．
B．
C．
D．
解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，由题意得：
，
故选：D．
8．4张长为a，宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2，若S1＝S2，则a，b满足的关系式是（ ）
A．a＝1.5bB．a＝2bC．a＝2.5bD．a＝3b
解：由题意可得：
S2＝4×b（a+b）
＝2b（a+b）；
S1＝（a+b）2﹣S2
＝（a+b）2﹣（2ab+2b2）
＝a2+2ab+b2﹣2ab﹣2b2
＝a2﹣b2；
∵S1＝S2，
∴2b（a+b）＝a2﹣b2，
∴2b（a+b）＝（a﹣b）（a+b），
∵a+b＞0，
∴2b＝a﹣b，
∴a＝3b．
故选：D．
二.填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
9．计算：2x（x﹣3y+1）＝ ．
解：2x（x﹣3y+1）
＝2x2﹣6xy+2x．
故答案为：2x2﹣6xy+2x．
10．因式分解：x2﹣4＝ ．
解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．
故答案为：（x+2）（x﹣2）．
11．某球形病毒颗粒直径约为0.0000001，将0.0000001用科学记数法表示为 ．
解：0.0000001＝1×10﹣7，
故答案为：1×10﹣7．
12．请写出命题“互为相反数的两个数和为零”的逆命题： ．
解：“互为相反数的两个数和为零”的逆命题：和为零的两数互为相反数，
故答案为：和为零的两数互为相反数．
13．如图，点D是∠AOB的平分线OC上的任意一点，DE∥OB，交OA于点E，若∠AED＝50°，则∠1＝ 25 °．
解：∵DE∥OB，
∴∠AED＝∠AOB＝50°，
∵点D是∠AOB的平分线OC上的任意一点，
∴∠1＝∠AOC＝×50°＝25°．
故答案为：25．
14．已知关于x的不等式2x﹣a＞﹣3的解集是x＞1，则a的值为 ．
解：由2x﹣a＞﹣3，得x＞，
∵不等式2x﹣a＞﹣3的解集是x＞1，
∴＝1，
解得，a＝5，
故答案为：5．
15．已知2x﹣6y+6＝0，则2x÷8y＝ ．
解：2x﹣6y+6＝0，
2（x﹣3y）＝﹣6，
x﹣3y＝﹣2，
∴2x÷8y＝2x÷23y＝2x﹣3y＝2﹣3＝．
故答案为：．
16．如图，AB∥CD，∠GAF：∠FAE：∠EAB＝∠GCF：∠FCE：∠ECD＝1：2：4，若∠AEC＝80°，则∠AGC＝ °．
解：过G作GM∥AB，过E作EN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥GM，EN∥AB∥CD，
∴∠BAG＝∠AGM，∠MGC＝∠DCG，∠BAE＝∠AEN，∠DCE＝∠NEC，
∵∠GAF：∠FAE：∠EAB＝∠GCF：∠FCE：∠ECD＝1：2：4，
∴设∠GAF＝x°，∠FAE＝2x°，∠EAB＝4x°，∠GCF＝x°，∠FCE＝2x°，∠ECD＝4x°，
∴∠BAG＝7x°，∠GCD＝7x°，∠AEN＝4x°，∠NEC＝4x°，
∴∠AGM＝7x°，∠MGC＝7x°，∠AEC＝8x°，
∵∠AEC＝80°，
∴8x＝80，
∴x＝10，
∴∠AGC＝14x°＝140°，
故答案为：140．
三、解答题（本大题共9小题，共68分.第17、19、20、22.24题每题8分，第18、21、23题每题6分，第25题10分）
17．计算：
（1）（π﹣3.14）0﹣（）﹣3+（﹣3）2；
（2）（a﹣2b）2﹣（3a+2b）（2b﹣3a）．
解：（1）（π﹣3.14）0﹣（）﹣3+（﹣3）2
＝1﹣8+9
＝2；
（2）（a﹣2b）2﹣（3a+2b）（2b﹣3a）
＝a2﹣4ab+4b2﹣（4b2﹣9a2）
＝a2﹣4ab+4b2﹣4b2+9a2
＝10a2﹣4ab．
18．因式分解：
（1）a2b﹣ab；
（2）12m3n﹣3mn．
解：（1）原式＝ab（a﹣1）；
（2）原式＝3mn（4m2﹣1）
＝3mn（2m+1）（2m﹣1）．
19．解方程组或不等式组：
（1）；
（2）．
解：（1），
①×2得：2x+4y＝0③，
③﹣②得：7y＝﹣7，
解得：y＝﹣1，
把y＝﹣1代入①得：x﹣2＝0，
解得：x＝2，
方程组的解为；
（2），
解不等式①得：x＜2，
解不等式②得：x＞1，
不等式组的解集为：1＜x＜2．
20．已知a﹣b＝5，ab＝1，求下列各式的值：
（1）（a+b）2；
（2）a3b+ab3．
解：（1）原式＝（a﹣b）2+4ab
＝52+4
＝29；
（2）原式＝ab（a2+b2）
＝ab[（a﹣b）2+2ab]
＝1×（25+2）
＝27．
21．如图，CF⊥AB于点F，ED⊥AB于点D，∠BED＝∠CFG，请问：FG与BC平行吗？说明理由．
解：FG∥BC，
理由是：∵CF⊥AB，ED⊥AB，
∴DE∥CF，
∴∠BED＝∠BCF，
∵∠BED＝∠CFG，
∴∠CFG＝∠BCF，
∴FG∥BC．
22．2020年初，由于新冠病毒的蔓延，口罩市场出现热销，小明的爸爸用18000元购进甲、乙两种型号的口罩，在自家药店销售，销售完后共获利3900元，进价和售价如表所示：
（1）小明爸爸的药店购进甲、乙两种型号的口罩各多少袋？
（2）由于需求量大，口罩很快售完，小明的爸爸决定再一次购进甲、乙两种型号的口罩共800袋．如果要使这800袋口罩全部售完后所得利润不低于4500元，那么至少需购进多少袋乙种型号的口罩？
解：（1）设小明爸爸的商店购进甲种型号口罩x袋，乙种型号口罩y袋，
则，
解得：，
答：小明爸爸的药店购进甲种型号口罩300袋，乙种型号口罩400袋；
（2）设需购进a袋乙种型号的口罩，
根据题意得，（25﹣20）（800﹣a）+（36﹣30）a≥4500．
解这个不等式，得a≥500．
答：至少需购进500袋乙种型号的口罩．
23．（1）比较x2+4与4x的大小：（用“＞”或“＝”或“＜”或“≥”或“≤”号填空）
①当x＝1时，x2+4 4x；
②当x＝2时，x2+4 4x；
③当x＝﹣1时，x2+4 4x；
④自己再任意取一些x的值，计算后猜想：x2+4 4x．
（2）无论x取什么值，x2+4与4x总有这样的大小关系吗？请说明理由．
解：（1）①当x＝1时，x2+4＝1+4＝5，4x＝4，
∴x2+4＞4x；
②当x＝2时，x2+4＝4+4＝8，4x＝8，
∴x2+4＝4x；
③当x＝﹣1时，x2+4＝1+4＝5，4x＝﹣4，
∴x2+4＞4x；
④再任意取一些x的值，计算后可以得到：x2+4≥4x，
故答案为：①＞；②＝；③＞；④≥；
（2）x2+4﹣4x＝（x﹣2）2，
∵（x﹣2）2≥0，
∴x2+4≥4x．
24．如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程2x﹣6＝0的解为x＝3，不等式组的解集为1＜x＜4，因为1＜3＜4，所以称方程2x﹣6＝0为不等式组的关联方程．
（1）在方程①3x﹣3＝0；②x+1＝0；③x﹣（3x+1）＝﹣9中，不等式组的关联方程是 ．（填序号）
（2）若不等式组的一个关联方程的解是整数，则这个关联方程可以是 ．（写出一个即可）
（3）若方程2x﹣1＝x+2，x+5＝2（x+）都是关于x的不等式组的关联方程，求m的取值范围．
解：（1）解不等式组得﹣1＜x＜4，
解①得：x＝1，﹣1＜1＜4，故①是不等式组的关联方程；
解②得：x＝﹣，不在﹣1＜x＜4内，故②不是不等式组的关联方程；
解③得：x＝4，不在﹣1＜x＜4内，故③是不不等式组的关联方程；
故答案为：①；
（2）解不等式组得：＜x＜
因此不等式组的整数解可以为x＝3，
则该不等式的关联方程为x﹣3＝0．
故答案为：x﹣3＝0．
（3）解方程2x﹣1＝x+2得，x＝3，解方程x+5＝2（x+）得，x＝4，
不等式组，得：，
由题意，x＝3和x＝4是不等式组的解，
∴，
解得m＜﹣10，
∴m的取值范围为m＜﹣10．
25．【基本模型】：如图1，BO平分△ABC的内角∠ABC，CO平分△ABC的外角∠ACD，试证明：∠BOC＝∠A；
【变式应用】：
（1）如图2，直线PQ⊥MN，垂足为点O，作∠PON的角平分线OE，在OE上任取一点A，在ON上任取一点B，连接AB，作∠BAE的角平分线AC，AC的反向延长线与∠ABO的平分线相交于点F，请问：∠F的大小是否随着点A，B位置的变化而变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请求出其度数；
（2）在（1）的基础上，若FC∥MN，则AB与OE有何位置关系？请说明理由．
【解答】【基本模型】
证明：∵∠OCD＝∠OBC+∠BOC，∠ACD＝∠ABC+∠A，
∴∠BOC＝∠OCD﹣∠OBC，∠A＝∠ACD﹣∠ABC，
又∵CO平分∠ACD，BO平分∠ABC，
∴∠OCD＝∠ACD，∠OBC＝∠ABC，
∴∠OCD﹣∠OBC＝（∠ACD﹣∠ABC），
∴∠BOC＝∠A；
【变式应用】
解：（1）∠F的大小不变；理由如下：
∵PQ⊥MN，
∴∠PON＝90°，
∵OE是∠PON的平分线，
∴∠AOB＝∠PON＝45°，
∵∠BAC＝∠ABF+∠F，∠BAE＝∠ABO+∠AOB，
∴∠F＝∠BAC﹣∠ABF，∠AOB＝∠BAE﹣∠ABO，
∵AC、BF分别平分∠BAE、∠ABO，
∴∠BAC＝∠BAE，∠ABF＝∠ABO，
∴∠BAC﹣∠ABF＝（∠BAE﹣∠ABO），
∴∠F＝∠AOB＝22.5°；
（2）AB⊥OE，理由如下：
∵FC∥MN，
∴∠FBO＝∠F＝22.5°，
∵BF平分∠ABO，
∴∠ABO＝2∠FBO＝45°，
∴∠OAB＝180°﹣∠AOB﹣∠ABO＝90°，
∴AB⊥OE．
价格
型号
甲种型号口罩
乙种型号口罩
进价（元/袋）
20
30
售价（元/袋）
25
36
价格
型号
甲种型号口罩
乙种型号口罩
进价（元/袋）
20
30
售价（元/袋）
25
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