2022-2023学年江苏省常州市七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省常州市七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  若多项式可分解成，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知，，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，如果，那么，其依据是(    )

A. 两直线平行，同位角相等
B. 同位角相等，两直线平行
C. 两直线平行，内错角相等
D. 内错角相等，两直线平行

7.  如图，已知，点在线段上不与点，点重合，连接若，，则(    )

A.
B.
C.
D.

8.  计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

9.  计算：          ．

10.  分解因式：          ．

11.  用科学记数法表示： ______ ．

12.  已知，，则 ______ ．

13.  已知，，则 ______ ．

14.  如图，已知，，若，则 ______

15.  一副三角板如图放置，，，，则          
 

16.  已知，，则 ______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：
；
；
．

18.  本小题分
先化简，再求值：
，其中；
，其中．

19.  本小题分
把下列各式分解因式：
；
；
；
．

20.  本小题分
如图，在中，分别交，于点，，且，，，求的度数．

21.  本小题分
如图，已知．
在图中先画的中线，再画的中线不需要写画法；
在的条件下，若的面积是，则的面积是______ ．

22.  本小题分
如图，已知，平分．
与相等吗？为什么？
若，，判断与是否平行，并说明理由．

23.  本小题分
观察下列等式：
；
；
；

根据上述规律解答下列问题：
任意写出一个有相同规律的等式；
直接写出用含有字母，且是正整数表示上述规律的等式，并说明等式成立．

24.  本小题分
将一张长方形大铁皮切割成九块，切痕如图虚线所示，其中有两块是边长都为的大正方形，两块是边长都为的小正方形，五块是长、宽分别是，的相同的小长方形，且．
用不同的代数式表示图中大长方形的面积，直接写出你能得到的等式；
已知，，求的值．

25.  本小题分
如图，已知四边形纸片的边，是边上任意一点，沿折叠，点落在点的位置．
如图，点落在四边形的内部，探索，，之间的数量关系，并说明理由；
如图，点落在边的上方，设与交于点，直接写出，，之间的数量关系，不需要说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：

，
故选：．
利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

2.【答案】 

【解析】解：因为，
所以．
故选：．
根据幂的乘方法则计算即可．
本题主要考查了幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．
 

3.【答案】 

【解析】解：、和不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意．
故选：．
根据合并同类项法则，积的乘方的运算法则，完全平方公式以及平方差公式即可作出判断．
本题考查了平方差公式和完全平方公式的运用以及合并同类项法则，积的乘方的运算法则，理解公式结构是关键，需要熟练掌握并灵活运用．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意得，．
．
．
，，．
，．
．
故选：．
根据多项式乘多项式的乘法法则解决此题．
本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的乘法法则是解决本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，
，
则．
故选：．
利用完全平方公式将变形，把的值代入计算，即可求出所求式子的值．
此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
内错角相等，两直线平行，
故选：．
根据“内错角相等，两直线平行”即可得解．
此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：为的外角，且，，
，即，
，
，
．
故选：．
由为的外角，利用外角性质求出的度数，再利用两直线平行内错角相等即可求出的度数．
此题考查了平行线的性质，以及外角性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：




，
故选：．
利用幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法法则进行计算，即可解答．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查同底数幂的除法，解答的关键是熟记同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
利用同底数幂的除法法则进行运算即可．
【解答】
解：

．
故答案为：．  

10.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
直接提取公因式，进而分解因式得出答案．
【解答】
解：．
故答案为：．  

11.【答案】 

【解析】解：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．在本题中应为，的指数为．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数．
 

12.【答案】 

【解析】解：当，时，



．
故答案为：．
利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，
．
故答案为：．
直接利用平方差公式分解因式进而将已知代入求出即可．
此题主要考查了运用公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
．
故答案为：．
先根据得出，再由得出的度数，根据平角的定义即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查平行线的性质、三角形内角和定理以及三角形外角性质，熟练运用平行线的性质是关键．
利用平行线的性质求出，根据三角形内角和求出，根据三角形的外角性质求出．
【解答】
解：如图，设交于点，

，
，
，
．
故答案为：．  

16.【答案】 

【解析】解：，，


，
，
故答案为：．
根据求解即可．
本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
 

17.【答案】解：

；


；


． 

【解析】根据负整数指数幂，零指数幂求解即可；
根据幂的乘方，同底数幂的乘法求解即可；
根据多项式乘多项式运算法则求解即可．
本题考查了负整数指数幂，零指数幂，幂的乘方，同底数幂的乘法，多项式乘多项式，熟练掌握这些知识是解题的关键．
 

18.【答案】解：

，
当时，原式；



，
当时，原式


． 

【解析】先去括号，再合并同类项，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答；
先去括号，再合并同类项，然后把，的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

19.【答案】解：；


；


；


． 

【解析】运用公式法因式分解即可；
先提取公因式，再用公式法因式分解即可；
先提取公因式，再用公式法因式分解即可；
运用公式法因式分解即可．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
 

20.【答案】解：，
，
，
． 

【解析】由平行线的性质得到，由三角形内角和定理即可求出的度数．
本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，关键是掌握平行线的性质，三角形内角和定理．
 

21.【答案】 

【解析】解：，即为所求；

由中线的性质得：，
故答案为：．
先最线段的垂直平分线找到中点，再作中线；
根据中线的性质求解．
本题考查了基本作图，掌握三角形的中线的性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：，理由如下：
，
，
平分，
，
；
，理由如下：
，，
，
，，
，
． 

【解析】根据平行线的性质及角平分线定义即可得解；
根据平行线的性质及三角形内角和定理推出，根据平行线的判定定理即可得解．
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
 

23.【答案】解：答案不唯一；
，整理得：；
，整理得：；
，整理得：；
，
其规律为：；
证明：等式左边



右边，
故规律成立． 

【解析】根据所给的等式的形式进行求解即可；
分析所给的等式的形式，再进行总结，再把等式左边进行整理即可求解．
本题主要考查数字的变化规律，有理数的混合运算，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律．
 

24.【答案】解：；
由结论可知，，
，
，
，
，
． 

【解析】通过两种不同的方法表示整个长方形的面积，一种是把所有小长方形和正方形的面积加在一起，一种是把大长方形的边长用、表示出来，得到一个等式；
通过的结论，可以得到，就可以得到．
本题考查了因式分解的几何表示方法，通过小长方形和正方形拼接成大长方形来得到一个因式分解的等式，通过因式分解的等式得到对应的解．
 

25.【答案】解：，，之间的数量关系：．
理由如下：如图，过点作，交于点，交于点
则，
，
，
，
，
由折叠的性质得，≌，
，
，
，，之间的数量关系是：．
如图，过点作
则，
，
，
，
由折叠的性质得，≌，
，
，即，
，，之间的数量关系是：． 

【解析】数量关系：理由：过点作，交于点，交于点，由平行线的性质可得，根据平行公理的推论可得，继而得到，再结合折叠的性质可得数量关系．
 过点作，由平行线的性质可得，根据平行公理的推论可得，继而得到得，再结合折叠的性质可得数量关系．
本题考查折叠的性质，平行线的性质，平行公理的推论．掌握折叠的性质和平行线的性质是解题的关键．