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2019-2020学年江苏省南京市鼓楼区七年级（下）期末数学试卷 解析版
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2019-2020学年江苏省南京市鼓楼区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）下列各式，计算结果为a6的是（ ）
A．a2+a4 B．a7÷a C．a2•a3 D．（a2）4
2．（2分）氢原子的半径约为0.00000000005m，该数用科学记数法可以表示为（ ）
A．5×10﹣9 B．0.5×10﹣10 C．5×10﹣11 D．5×10﹣12
3．（2分）若a＞b，则下列不等式中，一定正确的是（ ）
A．＞ B．﹣2a＞﹣2b C．a2＞b2 D．|a|＞|b|
4．（2分）下列命题与它的逆命题均为真命题的是（ ）
A．内错角相等
B．对顶角相等
C．如果ab＝0，那么a＝0
D．互为相反数的两个数和为0
5．（2分）一辆汽车从A地驶往B地，前路段为普通公路，其余路段为高速公路．已知汽车在普通公路上行驶的速度为60km/h，在高速公路上行驶的速度为100km/h，汽车从A地到B地一共行驶了2.2h．设普通公路长、高速公路长分别为xkm、ykm，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2分）如图，在四边形ABCD中，连接BD，下列判断正确的是（ ）
A．若∠1＝∠2，则AB∥CD
B．若∠3＝∠4，则AD∥BC
C．若∠A+∠ABC＝180°，则AB∥CD
D．若∠A＝∠C，∠ABC＝∠ADC，则AB∥CD
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
7．（2分）计算：5﹣1＝ ，50＝ ．
8．（2分）如图，直线a，b被直线c所截，∠1＝40°．要使a∥b，则∠2的度数应为 °．
9．（2分）计算：（0.25）16×（﹣4）17＝ ．
10．（2分）已知三角形两边的长分别为1、5，第三边长为整数，则第三边的长为 ．
11．（2分）若（x+y）2＝5，xy＝2，则x2+y2＝ ．
12．（2分）如果实数x，y满足方程组，那么x2﹣y2＝ ．
13．（2分）如图，CD∥AB，若∠ECB＝92°，∠B＝57°，则∠1＝ °．
14．（2分）若关于x的不等式组有3个整数解，则a的取值范围是 ．
15．（2分）如图，直线a、b、c、d互不平行，以下结论正确的是 ．（只填序号）
①∠1+∠2＝∠5；
②∠1+∠3＝∠4；
③∠1+∠2+∠3＝∠6；
④∠3+∠4＝∠2+∠5．
16．（2分）如图1，作∠BPC平分线的反向延长线PA，以∠APB，∠APC，∠BPC为内角可以分别作三个边长相等的正多边形．
例如：若∠BPC＝90°，则∠APB＝∠APC＝135°，图②就是一个符合要求的图形．
在所有符合要求的图形中，∠BPC的度数是 ．（∠BPC＝90°除外）
三、解答题（本大题共11小题，共68分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）计算：
（1）（﹣a）5•a2+a•（﹣a6）；
（2）（y﹣2x）（x+2y）．
18．（5分）先化简，再求值：（x﹣1）2﹣2（x+3）（x﹣3）+x（x﹣4），其中x＝3．
19．（8分）分解因式：
（1）4x2﹣12x+9；
（2）x2（3y﹣6）+x（6﹣3y）．
20．（4分）已知4x+y＝1．
（1）y＝ ．（用含x的代数式表示）
（2）当y为非负数时，x的取值范围是 ．
（3）当﹣1＜y≤2时，求x的取值范围．
21．（5分）解方程组．
22．（5分）（1）分别画出图中△ABC的角平分线AF（点F在BC上）、中线BD（点D在AC上）和高CE（E为垂足）．
（2）根据（1）中的要求，回答下列问题：
①面积一定相等的三角形是 （不添加字母和辅助线）；
②若∠BAC＝120°，则∠AFC+∠FCE＝ °．
23．（5分）如图，点D、E分别在AB、BC上，AF∥BC，∠1＝∠2．试证明：DE∥AC（请写出每一步的证明依据）．
24．（6分）甲、乙两人各有图书若干，如果甲从乙那里拿来10本，那么甲拥有图书的本数是乙所剩本数的5倍；如果乙从甲那里拿来10本，那么乙拥有的图书的本数与甲所剩的本数相等．甲乙两人原来分别有多少本图书？
（1）设甲原来有x本图书，乙原来有y本图书，完成如表：
甲从乙那里拿来10本
乙从甲那里拿来10本
甲拥有的图书
x+10
乙拥有的图书
y+10
（2）根据以上信息列方程组解决上述问题．
25．（6分）用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”．如图，∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角．
求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD＝360°．
证法1：∵∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角．
∴ ．
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝2（∠1+∠2+∠3），
∵ ．
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝360°
请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．
26．（6分）2020年2月，为了应对武汉发生的新型冠状病毒疫情，国家卫健委及相关单位在武汉建立了方舱医院，某方舱医院的具体信息如下：
（1）方舱医院由四部分组成，分别是废弃物处理单元、病房单元、技术保障单元、医疗功能单元；
（2）整个方舱医院占地面积为80000平方米；
（3）废弃物处理单元面积为总占地面积的5%；
（4）病房单元占地面积是技术保障单元占地面积的4倍；
（5）病房单元与医疗功能单元面积的和不高于总占地面积的85%；
求医疗功能单元的最大面积．
27．（10分）提出问题：
在∠MAN的两边上各取点B、C，在平面上任取点P（不与点A、B、C重合），连接PB、PC，设∠BPC为∠1，∠ABP为∠2，∠ACP为∠3．请探索∠1、∠2、∠3和∠BAC这4个角之间的数量关系．
分析问题：由于点P是平面上的任意点，要考虑全面，需对点P的位置进行如下分类．
（1）若点P在∠MAN的两边上，易知点B、C将两边分成线段AB、AC，射线BM、CN四个部分，根据提示，完成表格；
条件
一级分类
二级分类
图形表示
数量关系
点P在∠MAN
的两边上
点P在射线AM上
点P在线段AB上
∠2＝0°
且Ð1＝Ð3+ÐBAC
点P在射线BM上
∠2＝180°
且
Ð1+Ð3+ÐBAC＝180°
点P在射线AN上
点P在线段AC上
图略
点P在射线CN上
图略
（2）点P在∠MAN的内部，如图1，线段BC将内部分成线段BC，区域①，区域②三个部分．若点P在线段BC上，则所求数量关系：∠1＝180°且∠2+∠3+∠BAC＝180°；
若点P在区域①中，则所求数量关系为： ；若点P在区域②中，写出这4个角之间的数量关系，并利用图2加以证明．
类比解决：
（3）点P在∠MAN的外部时，直接写出当点P在该部分时这4个角之间的数量关系．
2019-2020学年江苏省南京市鼓楼区七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）下列各式，计算结果为a6的是（ ）
A．a2+a4 B．a7÷a C．a2•a3 D．（a2）4
【分析】直接利用合并同类项，同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则计算得出答案．
【解答】解：A、a2+a4，无法计算，故此选项错误；
B、a7÷a＝a6，故此选项正确；
C、a2•a3＝a5，故此选项错误；
D、（a2）4＝a8，故此选项错误．
故选：B．
2．（2分）氢原子的半径约为0.00000000005m，该数用科学记数法可以表示为（ ）
A．5×10﹣9 B．0.5×10﹣10 C．5×10﹣11 D．5×10﹣12
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000000005＝5×10﹣11．
故选：C．
3．（2分）若a＞b，则下列不等式中，一定正确的是（ ）
A．＞ B．﹣2a＞﹣2b C．a2＞b2 D．|a|＞|b|
【分析】利用不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变进行分析即可．
【解答】解：A、∵a＞b，∴＞，故本选项正确；
B、当乘以一个负数时，不等号的方向改变，故本选项错误；
C、∵a＞b，∴a2＞b2或a2＜b2，故本选项错误；
D、∵a＞b，∴|a|＞|b|或|a|＜|b|，故本选项错误；
故选：A．
4．（2分）下列命题与它的逆命题均为真命题的是（ ）
A．内错角相等
B．对顶角相等
C．如果ab＝0，那么a＝0
D．互为相反数的两个数和为0
【分析】首先判断原命题的真假，写出原命题是假命题的逆命题，再进行判断即可．
【解答】解：A、内错角相等，是假命题，故本选项不符合题意；
B、对顶角相等，是真命题，
它的逆命题是：相等的角是对顶角，是假命题，故本选项不符合题意；
C、如果ab＝0，那么a＝0，是假命题，故本选项不符合题意；
D、互为相反数的两个数和为0，是真命题，
它的逆命题是：和为0的两个数化为相反数，是真命题，故本选项符合题意．
故选：D．
5．（2分）一辆汽车从A地驶往B地，前路段为普通公路，其余路段为高速公路．已知汽车在普通公路上行驶的速度为60km/h，在高速公路上行驶的速度为100km/h，汽车从A地到B地一共行驶了2.2h．设普通公路长、高速公路长分别为xkm、ykm，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设普通公路长、高速公路长分别为xkm、ykm，由普通公路占总路程的结合汽车从A地到B地一共行驶了2.2h，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：设普通公路长、高速公路长分别为xkm、ykm，
依题意，得：．
故选：C．
6．（2分）如图，在四边形ABCD中，连接BD，下列判断正确的是（ ）
A．若∠1＝∠2，则AB∥CD
B．若∠3＝∠4，则AD∥BC
C．若∠A+∠ABC＝180°，则AB∥CD
D．若∠A＝∠C，∠ABC＝∠ADC，则AB∥CD
【分析】根据平行线的判定逐个判断即可．
【解答】解：A、根据∠1＝∠2不能推出AB∥CD，故本选项不符合题意；
B、根据∠3＝∠4不能推出AD∥BC，故本选项不符合题意；
C、根据∠A+∠ABC＝180°能不能推出AB∥CD，故本选项不符合题意；
D、根据∠A＝∠C，∠ABC＝∠ADC，可得∠A+∠ADC＝180°，能推出AB∥CD，故本选项符合题意．
故选：D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
7．（2分）计算：5﹣1＝ ，50＝ 1 ．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：5﹣1＝，50＝1．
故答案为：，1．
8．（2分）如图，直线a，b被直线c所截，∠1＝40°．要使a∥b，则∠2的度数应为 140 °．
【分析】根据∠3和∠1的是邻补角可求∠3，再根据两直线平行，同位角相等可得∠2．
【解答】解：∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣40°＝140°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝140°．
故答案为：140．
9．（2分）计算：（0.25）16×（﹣4）17＝ ﹣4 ．
【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方的计算方法进行计算即可．
【解答】解：：（0.25）16×（﹣4）17，
＝（）16×（﹣4）17，
＝（）16×416×（﹣4），
＝（×4）16×（﹣4），
＝﹣4．
10．（2分）已知三角形两边的长分别为1、5，第三边长为整数，则第三边的长为 5 ．
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边”，求得第三边的取值范围，再进一步根据第三边是整数求解．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得
第三边＞4，而＜6．
又第三条边长为整数，
则第三边是5．
11．（2分）若（x+y）2＝5，xy＝2，则x2+y2＝ 1 ．
【分析】利用完全平方公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．
【解答】解：∵（x+y）2＝5，xy＝2，
∴原式＝（x+y）2﹣2xy＝5﹣4＝1，
故答案为：1．
12．（2分）如果实数x，y满足方程组，那么x2﹣y2＝ 2 ．
【分析】把第一个方程乘以2，然后利用加减消元法求解得到x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：，
①×2得，2x+2y＝8③，
②+③得，4x＝9，
解得x＝，
把x＝代入①得，+y＝4，
解得y＝，
∴方程组的解是，
∴x2﹣y2＝（）2﹣（）2＝＝2．
故答案为：2．
13．（2分）如图，CD∥AB，若∠ECB＝92°，∠B＝57°，则∠1＝ 35 °．
【分析】根据平行线的性质得出∠DCB＝∠B＝57°，再代入∠1＝∠ECB﹣∠DCB求出即可．
【解答】解：∵CD∥AB，
∴∠B＝∠DCB，
∵∠B＝57°，
∴∠DCB＝57°，
∵∠ECB＝92°，
∴∠1＝∠ECB﹣∠DCB＝92°﹣57°＝35°，
故答案为：35．
14．（2分）若关于x的不等式组有3个整数解，则a的取值范围是 7≤a＜8 ．
【分析】先求出不等式组的解集，根据已知得出关于a的不等式组，求出即可．
【解答】解：解不等式组得：4＜x≤a，
∵关于x的不等式组有3个整数解，
∴7≤a＜8．
故答案为：7≤a＜8．
15．（2分）如图，直线a、b、c、d互不平行，以下结论正确的是 ①②③ ．（只填序号）
①∠1+∠2＝∠5；
②∠1+∠3＝∠4；
③∠1+∠2+∠3＝∠6；
④∠3+∠4＝∠2+∠5．
【分析】利用三角形的外角的性质求解即可．
【解答】解：由三角形外角的性质可知：∠5＝∠1+∠2，∠4＝∠1+∠3，∠6＝∠4+∠2＝∠3+∠5，
∴∠6＝∠1+∠2+∠3，
故①②③正确，
故答案为①②③．
16．（2分）如图1，作∠BPC平分线的反向延长线PA，以∠APB，∠APC，∠BPC为内角可以分别作三个边长相等的正多边形．
例如：若∠BPC＝90°，则∠APB＝∠APC＝135°，图②就是一个符合要求的图形．
在所有符合要求的图形中，∠BPC的度数是 60°、120°、144° ．（∠BPC＝90°除外）
【分析】设∠BPC＝2x，以∠BPC为内角的正多边形的边数为：，推出符合条件的x的值为30°，45°，60°，72°，
【解答】解：设∠BPC＝2x，
∴以∠BPC为内角的正多边形的边数为：，
∴符合条件的x的值为30°，45°，60°，72°，
∴∠BPC的值只能为60°，120°，144°，
故答案为60°、120°、144°
三、解答题（本大题共11小题，共68分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）计算：
（1）（﹣a）5•a2+a•（﹣a6）；
（2）（y﹣2x）（x+2y）．
【分析】（1）先算乘方，再算乘法，最后合并同类项即可；
（2）先根据多项式乘以多项式法则进行计算，再合并同类项即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣a5•a2﹣a⋅a6
＝﹣a7﹣a7
＝﹣2a7；
（2）原式＝xy+2 y2﹣2x2﹣4xy
＝2y2﹣2x2﹣3xy．
18．（5分）先化简，再求值：（x﹣1）2﹣2（x+3）（x﹣3）+x（x﹣4），其中x＝3．
【分析】先利用完全平方公式、平方差公式及单项式乘以多项式法则化简整式，再代入求值即可．
【解答】解：原式＝x2﹣2x+1﹣2（x2﹣9）+x2﹣4x
＝x2﹣2x+1﹣2x2+18+x2﹣4x
＝﹣6x+19．
当 x＝3 时，
原式＝﹣18+19
＝1．
19．（8分）分解因式：
（1）4x2﹣12x+9；
（2）x2（3y﹣6）+x（6﹣3y）．
【分析】（1）根据完全平方公式的结构特征，进行因式分解即可；
（2）找出公因式，利用提公因式法进行因式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝（2x）2﹣2⋅2x⋅3+32＝（2x﹣3）2；
（2）原式＝3x2 （ y﹣2）﹣3x （ y﹣2）＝3x （ y﹣2）（ x﹣1）．
20．（4分）已知4x+y＝1．
（1）y＝ 1﹣4x ．（用含x的代数式表示）
（2）当y为非负数时，x的取值范围是 x ．
（3）当﹣1＜y≤2时，求x的取值范围．
【分析】（1）根据等式的性质移项即可；
（2）根据题意得出不等式，求出不等式的解集即可；
（3）根据题意得出不等式组，求出不等式组的解集即可．
【解答】解：（1）4x+y＝1，
移项得：y＝1﹣4x，
故答案为：1﹣4x；
（2）∵y为非负数，
∴y＝1﹣4x≥0，
解得：x≤，
故答案为：x≤；
（3）∵﹣1＜y≤2，
∴﹣1＜﹣4x+1≤2，
∴﹣2＜﹣4x≤1，
∴x≥﹣，
即x的取值范围是：﹣≤x＜．
21．（5分）解方程组．
【分析】根据二元一次方程组的解法即可求出答案．
【解答】解：由①+②×3，得10x＝20．即x＝2
把x＝2代入①，得2﹣3y＝﹣1．即y＝1
∴原方程组的解为
22．（5分）（1）分别画出图中△ABC的角平分线AF（点F在BC上）、中线BD（点D在AC上）和高CE（E为垂足）．
（2）根据（1）中的要求，回答下列问题：
①面积一定相等的三角形是 △ABD与△BDC （不添加字母和辅助线）；
②若∠BAC＝120°，则∠AFC+∠FCE＝ 150 °．
【分析】（1）根据角平分线，中线，高的定义作出图形即可．
（2）①根据三角形中线的性质解决问题即可．
②利用三角形的情景的性质以及三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：（1）如图，线段AF，线段BD，线段CE即为所求．
（2）①面积相等的三角形：△ABD与△BDC．
故答案为：△ABD与△BDC．
②∵∠BAC＝120°，AF平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠BAC＝60°，
∵CE⊥BE，
∴∠BEC＝90°，
∴∠EBC+∠BCE＝90°，
∴∠AFC+∠FCE＝∠BAF+∠ABC+∠FCE＝60°+90°＝150°，
故答案为150．
23．（5分）如图，点D、E分别在AB、BC上，AF∥BC，∠1＝∠2．试证明：DE∥AC（请写出每一步的证明依据）．
【分析】根据平行线的性质得出∠2＝∠C，求出∠1＝∠C，根据平行线的判定得出即可
【解答】证明：∵AF∥BC（已知），
∴∠2＝∠C（两直线平行，内错角相等），
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝∠C（等量代换），
∴DE∥AC（同位角相等，两直线平行）．
24．（6分）甲、乙两人各有图书若干，如果甲从乙那里拿来10本，那么甲拥有图书的本数是乙所剩本数的5倍；如果乙从甲那里拿来10本，那么乙拥有的图书的本数与甲所剩的本数相等．甲乙两人原来分别有多少本图书？
（1）设甲原来有x本图书，乙原来有y本图书，完成如表：
甲从乙那里拿来10本
乙从甲那里拿来10本
甲拥有的图书
x+10
x﹣10
乙拥有的图书
y﹣10
y+10
（2）根据以上信息列方程组解决上述问题．
【分析】（1）根据等量关系即可求解；
（2）根据题意可得等量关系：①甲从乙那里拿来10本后甲书的数量＝5×甲从乙那里拿来10本后乙书的数量，②乙从甲那里拿来10本后甲书的数量＝乙从甲那里拿来10本后乙书的数量，根据等量关系列出方程组，解方程组即可求解．
【解答】解：（1）设甲原来有x本图书，乙原来有y本图书，完成如表：
甲从乙那里拿来10本
乙从甲那里拿来10本
甲拥有的图书
x+10
x﹣10
乙拥有的图书
y﹣10
y+10
故答案为：x﹣10；y﹣10；
î
（2）根据题意得：，
解得．
答：甲原来有40本图书，乙原来有20本图书．
25．（6分）用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”．如图，∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角．
求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD＝360°．
证法1：∵∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角．
∴ ∠BAE＝∠2+∠3，∠CBF＝∠1+∠3，∠ACD＝∠1+∠2 ．
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝2（∠1+∠2+∠3），
∵ ∠1+∠2+∠3＝180° ．
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝360°
请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．
【分析】证法1：要求证∠BAE+∠CBF+∠ACD＝360°，根据三角形外角性质得到∠BAE＝∠2+∠3，∠CBF＝∠1+∠3，∠ACD＝∠1+∠2，则∠BAE+∠CBF+∠ACD＝2（∠1+∠2+∠3），然后根据三角形内角和定理即可得到结论；
证法2：根据平角的定义得到∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3＝540°，再根据三角形内角和定理和角的和差关系即可得到结论．
【解答】证明：证法1：∵∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角．
∴∠BAE＝∠2+∠3，∠CBF＝∠1+∠3，∠ACD＝∠1+∠2．
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝2（∠1+∠2+∠3），
∵∠1+∠2+∠3＝180°．
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝360°；
证法2：∵平角等于180°，
∴∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3＝180°×3＝540°，
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝540°﹣（∠1+∠2+∠3）．
∵∠1+∠2+∠3＝180°，
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝540°﹣180°＝360°．
故答案为：∠BAE＝∠2+∠3，∠CBF＝∠1+∠3，∠ACD＝∠1+∠2；∠1+∠2+∠3＝180°．
26．（6分）2020年2月，为了应对武汉发生的新型冠状病毒疫情，国家卫健委及相关单位在武汉建立了方舱医院，某方舱医院的具体信息如下：
（1）方舱医院由四部分组成，分别是废弃物处理单元、病房单元、技术保障单元、医疗功能单元；
（2）整个方舱医院占地面积为80000平方米；
（3）废弃物处理单元面积为总占地面积的5%；
（4）病房单元占地面积是技术保障单元占地面积的4倍；
（5）病房单元与医疗功能单元面积的和不高于总占地面积的85%；
求医疗功能单元的最大面积．
【分析】设技术保障单元面积为 x 平方米，根据题意得出不等式解答即可．
【解答】解：设技术保障单元面积为x平方米，则病房单元面积为4x平方米，由题意知废弃物处理单元面积为：80000×5%＝4000（平方米），
则医疗功能单位面积为：80000﹣（4x+4000+x）＝76000﹣5x（平方米），
则4x+76000﹣5x≤80000×85%，
解得：x≥8000，
则76000﹣5x≤36000，
答：医疗功能单位的最大面积为36000平方米．
27．（10分）提出问题：
在∠MAN的两边上各取点B、C，在平面上任取点P（不与点A、B、C重合），连接PB、PC，设∠BPC为∠1，∠ABP为∠2，∠ACP为∠3．请探索∠1、∠2、∠3和∠BAC这4个角之间的数量关系．
分析问题：由于点P是平面上的任意点，要考虑全面，需对点P的位置进行如下分类．
（1）若点P在∠MAN的两边上，易知点B、C将两边分成线段AB、AC，射线BM、CN四个部分，根据提示，完成表格；
条件
一级分类
二级分类
图形表示
数量关系
点P在∠MAN
的两边上
点P在射线AM上
点P在线段AB上
∠2＝0°
且Ð1＝Ð3+ÐBAC
点P在射线BM上
∠2＝180°
且
Ð1+Ð3+ÐBAC＝180°
点P在射线AN上
点P在线段AC上
图略
∠3＝0°且∠1＝∠2+∠BAC
点P在射线CN上
图略
∠3＝180°且∠1+∠2+∠BAC＝180°
（2）点P在∠MAN的内部，如图1，线段BC将内部分成线段BC，区域①，区域②三个部分．若点P在线段BC上，则所求数量关系：∠1＝180°且∠2+∠3+∠BAC＝180°；
若点P在区域①中，则所求数量关系为： 1+∠2+∠3+∠BAC＝360° ；若点P在区域②中，写出这4个角之间的数量关系，并利用图2加以证明．
类比解决：
（3）点P在∠MAN的外部时，直接写出当点P在该部分时这4个角之间的数量关系．
【分析】（1）根据题意可知确定∠3的度数，再根据三角形外交的性质可求解；
（2）区域①根据四边形内角和为360°可求解； 区域②延长 BP，交射线 AN 于点 D，根据三角形的外角和可计算求解；
（3）根据不同区域，分别计算求解即可．
【解答】解：（1）∠3＝0°且∠1＝∠2+∠BAC；∠3＝180°且∠1+∠2+∠BAC＝180°；
（2）若点 P 在区域①中，∠1+∠2+∠3+∠BAC＝360°；
若点 P 在区域②中，∠1＝∠3+∠2+∠BAC．
延长 BP，交射线 AN 于点 D，
∵∠PDC 是△ABD 的外角，
∴∠PDC＝∠2+∠BAC，
∵∠1 是△PCD 的外角，
∴∠1＝∠3+∠2+∠BAC；
（3）①∠2＝∠1+∠BAC+∠3；
②∠1＝0°且∠2＝∠3+∠BAC；
③∠1+∠2＝∠3+∠BAC；
④∠3＝0°且∠BAC＝∠1+∠2；
⑤∠BAC＝∠1+∠2+∠3；
⑥∠BAC＝∠1+∠3 且∠2＝0；
⑦∠1+∠3＝∠2+∠BAC；
⑧∠1＝0且∠3＝∠2+∠BAC；
⑨∠3＝∠1+∠BAC+∠2；
9 种情况依次对应下图的 9 个区域：
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）下列各式，计算结果为a6的是（ ）
A．a2+a4 B．a7÷a C．a2•a3 D．（a2）4
2．（2分）氢原子的半径约为0.00000000005m，该数用科学记数法可以表示为（ ）
A．5×10﹣9 B．0.5×10﹣10 C．5×10﹣11 D．5×10﹣12
3．（2分）若a＞b，则下列不等式中，一定正确的是（ ）
A．＞ B．﹣2a＞﹣2b C．a2＞b2 D．|a|＞|b|
4．（2分）下列命题与它的逆命题均为真命题的是（ ）
A．内错角相等
B．对顶角相等
C．如果ab＝0，那么a＝0
D．互为相反数的两个数和为0
5．（2分）一辆汽车从A地驶往B地，前路段为普通公路，其余路段为高速公路．已知汽车在普通公路上行驶的速度为60km/h，在高速公路上行驶的速度为100km/h，汽车从A地到B地一共行驶了2.2h．设普通公路长、高速公路长分别为xkm、ykm，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2分）如图，在四边形ABCD中，连接BD，下列判断正确的是（ ）
A．若∠1＝∠2，则AB∥CD
B．若∠3＝∠4，则AD∥BC
C．若∠A+∠ABC＝180°，则AB∥CD
D．若∠A＝∠C，∠ABC＝∠ADC，则AB∥CD
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
7．（2分）计算：5﹣1＝ ，50＝ ．
8．（2分）如图，直线a，b被直线c所截，∠1＝40°．要使a∥b，则∠2的度数应为 °．
9．（2分）计算：（0.25）16×（﹣4）17＝ ．
10．（2分）已知三角形两边的长分别为1、5，第三边长为整数，则第三边的长为 ．
11．（2分）若（x+y）2＝5，xy＝2，则x2+y2＝ ．
12．（2分）如果实数x，y满足方程组，那么x2﹣y2＝ ．
13．（2分）如图，CD∥AB，若∠ECB＝92°，∠B＝57°，则∠1＝ °．
14．（2分）若关于x的不等式组有3个整数解，则a的取值范围是 ．
15．（2分）如图，直线a、b、c、d互不平行，以下结论正确的是 ．（只填序号）
①∠1+∠2＝∠5；
②∠1+∠3＝∠4；
③∠1+∠2+∠3＝∠6；
④∠3+∠4＝∠2+∠5．
16．（2分）如图1，作∠BPC平分线的反向延长线PA，以∠APB，∠APC，∠BPC为内角可以分别作三个边长相等的正多边形．
例如：若∠BPC＝90°，则∠APB＝∠APC＝135°，图②就是一个符合要求的图形．
在所有符合要求的图形中，∠BPC的度数是 ．（∠BPC＝90°除外）
三、解答题（本大题共11小题，共68分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）计算：
（1）（﹣a）5•a2+a•（﹣a6）；
（2）（y﹣2x）（x+2y）．
18．（5分）先化简，再求值：（x﹣1）2﹣2（x+3）（x﹣3）+x（x﹣4），其中x＝3．
19．（8分）分解因式：
（1）4x2﹣12x+9；
（2）x2（3y﹣6）+x（6﹣3y）．
20．（4分）已知4x+y＝1．
（1）y＝ ．（用含x的代数式表示）
（2）当y为非负数时，x的取值范围是 ．
（3）当﹣1＜y≤2时，求x的取值范围．
21．（5分）解方程组．
22．（5分）（1）分别画出图中△ABC的角平分线AF（点F在BC上）、中线BD（点D在AC上）和高CE（E为垂足）．
（2）根据（1）中的要求，回答下列问题：
①面积一定相等的三角形是 （不添加字母和辅助线）；
②若∠BAC＝120°，则∠AFC+∠FCE＝ °．
23．（5分）如图，点D、E分别在AB、BC上，AF∥BC，∠1＝∠2．试证明：DE∥AC（请写出每一步的证明依据）．
24．（6分）甲、乙两人各有图书若干，如果甲从乙那里拿来10本，那么甲拥有图书的本数是乙所剩本数的5倍；如果乙从甲那里拿来10本，那么乙拥有的图书的本数与甲所剩的本数相等．甲乙两人原来分别有多少本图书？
（1）设甲原来有x本图书，乙原来有y本图书，完成如表：
甲从乙那里拿来10本
乙从甲那里拿来10本
甲拥有的图书
x+10
乙拥有的图书
y+10
（2）根据以上信息列方程组解决上述问题．
25．（6分）用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”．如图，∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角．
求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD＝360°．
证法1：∵∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角．
∴ ．
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝2（∠1+∠2+∠3），
∵ ．
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝360°
请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．
26．（6分）2020年2月，为了应对武汉发生的新型冠状病毒疫情，国家卫健委及相关单位在武汉建立了方舱医院，某方舱医院的具体信息如下：
（1）方舱医院由四部分组成，分别是废弃物处理单元、病房单元、技术保障单元、医疗功能单元；
（2）整个方舱医院占地面积为80000平方米；
（3）废弃物处理单元面积为总占地面积的5%；
（4）病房单元占地面积是技术保障单元占地面积的4倍；
（5）病房单元与医疗功能单元面积的和不高于总占地面积的85%；
求医疗功能单元的最大面积．
27．（10分）提出问题：
在∠MAN的两边上各取点B、C，在平面上任取点P（不与点A、B、C重合），连接PB、PC，设∠BPC为∠1，∠ABP为∠2，∠ACP为∠3．请探索∠1、∠2、∠3和∠BAC这4个角之间的数量关系．
分析问题：由于点P是平面上的任意点，要考虑全面，需对点P的位置进行如下分类．
（1）若点P在∠MAN的两边上，易知点B、C将两边分成线段AB、AC，射线BM、CN四个部分，根据提示，完成表格；
条件
一级分类
二级分类
图形表示
数量关系
点P在∠MAN
的两边上
点P在射线AM上
点P在线段AB上
∠2＝0°
且Ð1＝Ð3+ÐBAC
点P在射线BM上
∠2＝180°
且
Ð1+Ð3+ÐBAC＝180°
点P在射线AN上
点P在线段AC上
图略
点P在射线CN上
图略
（2）点P在∠MAN的内部，如图1，线段BC将内部分成线段BC，区域①，区域②三个部分．若点P在线段BC上，则所求数量关系：∠1＝180°且∠2+∠3+∠BAC＝180°；
若点P在区域①中，则所求数量关系为： ；若点P在区域②中，写出这4个角之间的数量关系，并利用图2加以证明．
类比解决：
（3）点P在∠MAN的外部时，直接写出当点P在该部分时这4个角之间的数量关系．
2019-2020学年江苏省南京市鼓楼区七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）下列各式，计算结果为a6的是（ ）
A．a2+a4 B．a7÷a C．a2•a3 D．（a2）4
【分析】直接利用合并同类项，同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则计算得出答案．
【解答】解：A、a2+a4，无法计算，故此选项错误；
B、a7÷a＝a6，故此选项正确；
C、a2•a3＝a5，故此选项错误；
D、（a2）4＝a8，故此选项错误．
故选：B．
2．（2分）氢原子的半径约为0.00000000005m，该数用科学记数法可以表示为（ ）
A．5×10﹣9 B．0.5×10﹣10 C．5×10﹣11 D．5×10﹣12
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000000005＝5×10﹣11．
故选：C．
3．（2分）若a＞b，则下列不等式中，一定正确的是（ ）
A．＞ B．﹣2a＞﹣2b C．a2＞b2 D．|a|＞|b|
【分析】利用不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变进行分析即可．
【解答】解：A、∵a＞b，∴＞，故本选项正确；
B、当乘以一个负数时，不等号的方向改变，故本选项错误；
C、∵a＞b，∴a2＞b2或a2＜b2，故本选项错误；
D、∵a＞b，∴|a|＞|b|或|a|＜|b|，故本选项错误；
故选：A．
4．（2分）下列命题与它的逆命题均为真命题的是（ ）
A．内错角相等
B．对顶角相等
C．如果ab＝0，那么a＝0
D．互为相反数的两个数和为0
【分析】首先判断原命题的真假，写出原命题是假命题的逆命题，再进行判断即可．
【解答】解：A、内错角相等，是假命题，故本选项不符合题意；
B、对顶角相等，是真命题，
它的逆命题是：相等的角是对顶角，是假命题，故本选项不符合题意；
C、如果ab＝0，那么a＝0，是假命题，故本选项不符合题意；
D、互为相反数的两个数和为0，是真命题，
它的逆命题是：和为0的两个数化为相反数，是真命题，故本选项符合题意．
故选：D．
5．（2分）一辆汽车从A地驶往B地，前路段为普通公路，其余路段为高速公路．已知汽车在普通公路上行驶的速度为60km/h，在高速公路上行驶的速度为100km/h，汽车从A地到B地一共行驶了2.2h．设普通公路长、高速公路长分别为xkm、ykm，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设普通公路长、高速公路长分别为xkm、ykm，由普通公路占总路程的结合汽车从A地到B地一共行驶了2.2h，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：设普通公路长、高速公路长分别为xkm、ykm，
依题意，得：．
故选：C．
6．（2分）如图，在四边形ABCD中，连接BD，下列判断正确的是（ ）
A．若∠1＝∠2，则AB∥CD
B．若∠3＝∠4，则AD∥BC
C．若∠A+∠ABC＝180°，则AB∥CD
D．若∠A＝∠C，∠ABC＝∠ADC，则AB∥CD
【分析】根据平行线的判定逐个判断即可．
【解答】解：A、根据∠1＝∠2不能推出AB∥CD，故本选项不符合题意；
B、根据∠3＝∠4不能推出AD∥BC，故本选项不符合题意；
C、根据∠A+∠ABC＝180°能不能推出AB∥CD，故本选项不符合题意；
D、根据∠A＝∠C，∠ABC＝∠ADC，可得∠A+∠ADC＝180°，能推出AB∥CD，故本选项符合题意．
故选：D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
7．（2分）计算：5﹣1＝ ，50＝ 1 ．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：5﹣1＝，50＝1．
故答案为：，1．
8．（2分）如图，直线a，b被直线c所截，∠1＝40°．要使a∥b，则∠2的度数应为 140 °．
【分析】根据∠3和∠1的是邻补角可求∠3，再根据两直线平行，同位角相等可得∠2．
【解答】解：∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣40°＝140°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝140°．
故答案为：140．
9．（2分）计算：（0.25）16×（﹣4）17＝ ﹣4 ．
【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方的计算方法进行计算即可．
【解答】解：：（0.25）16×（﹣4）17，
＝（）16×（﹣4）17，
＝（）16×416×（﹣4），
＝（×4）16×（﹣4），
＝﹣4．
10．（2分）已知三角形两边的长分别为1、5，第三边长为整数，则第三边的长为 5 ．
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边”，求得第三边的取值范围，再进一步根据第三边是整数求解．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得
第三边＞4，而＜6．
又第三条边长为整数，
则第三边是5．
11．（2分）若（x+y）2＝5，xy＝2，则x2+y2＝ 1 ．
【分析】利用完全平方公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．
【解答】解：∵（x+y）2＝5，xy＝2，
∴原式＝（x+y）2﹣2xy＝5﹣4＝1，
故答案为：1．
12．（2分）如果实数x，y满足方程组，那么x2﹣y2＝ 2 ．
【分析】把第一个方程乘以2，然后利用加减消元法求解得到x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：，
①×2得，2x+2y＝8③，
②+③得，4x＝9，
解得x＝，
把x＝代入①得，+y＝4，
解得y＝，
∴方程组的解是，
∴x2﹣y2＝（）2﹣（）2＝＝2．
故答案为：2．
13．（2分）如图，CD∥AB，若∠ECB＝92°，∠B＝57°，则∠1＝ 35 °．
【分析】根据平行线的性质得出∠DCB＝∠B＝57°，再代入∠1＝∠ECB﹣∠DCB求出即可．
【解答】解：∵CD∥AB，
∴∠B＝∠DCB，
∵∠B＝57°，
∴∠DCB＝57°，
∵∠ECB＝92°，
∴∠1＝∠ECB﹣∠DCB＝92°﹣57°＝35°，
故答案为：35．
14．（2分）若关于x的不等式组有3个整数解，则a的取值范围是 7≤a＜8 ．
【分析】先求出不等式组的解集，根据已知得出关于a的不等式组，求出即可．
【解答】解：解不等式组得：4＜x≤a，
∵关于x的不等式组有3个整数解，
∴7≤a＜8．
故答案为：7≤a＜8．
15．（2分）如图，直线a、b、c、d互不平行，以下结论正确的是 ①②③ ．（只填序号）
①∠1+∠2＝∠5；
②∠1+∠3＝∠4；
③∠1+∠2+∠3＝∠6；
④∠3+∠4＝∠2+∠5．
【分析】利用三角形的外角的性质求解即可．
【解答】解：由三角形外角的性质可知：∠5＝∠1+∠2，∠4＝∠1+∠3，∠6＝∠4+∠2＝∠3+∠5，
∴∠6＝∠1+∠2+∠3，
故①②③正确，
故答案为①②③．
16．（2分）如图1，作∠BPC平分线的反向延长线PA，以∠APB，∠APC，∠BPC为内角可以分别作三个边长相等的正多边形．
例如：若∠BPC＝90°，则∠APB＝∠APC＝135°，图②就是一个符合要求的图形．
在所有符合要求的图形中，∠BPC的度数是 60°、120°、144° ．（∠BPC＝90°除外）
【分析】设∠BPC＝2x，以∠BPC为内角的正多边形的边数为：，推出符合条件的x的值为30°，45°，60°，72°，
【解答】解：设∠BPC＝2x，
∴以∠BPC为内角的正多边形的边数为：，
∴符合条件的x的值为30°，45°，60°，72°，
∴∠BPC的值只能为60°，120°，144°，
故答案为60°、120°、144°
三、解答题（本大题共11小题，共68分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）计算：
（1）（﹣a）5•a2+a•（﹣a6）；
（2）（y﹣2x）（x+2y）．
【分析】（1）先算乘方，再算乘法，最后合并同类项即可；
（2）先根据多项式乘以多项式法则进行计算，再合并同类项即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣a5•a2﹣a⋅a6
＝﹣a7﹣a7
＝﹣2a7；
（2）原式＝xy+2 y2﹣2x2﹣4xy
＝2y2﹣2x2﹣3xy．
18．（5分）先化简，再求值：（x﹣1）2﹣2（x+3）（x﹣3）+x（x﹣4），其中x＝3．
【分析】先利用完全平方公式、平方差公式及单项式乘以多项式法则化简整式，再代入求值即可．
【解答】解：原式＝x2﹣2x+1﹣2（x2﹣9）+x2﹣4x
＝x2﹣2x+1﹣2x2+18+x2﹣4x
＝﹣6x+19．
当 x＝3 时，
原式＝﹣18+19
＝1．
19．（8分）分解因式：
（1）4x2﹣12x+9；
（2）x2（3y﹣6）+x（6﹣3y）．
【分析】（1）根据完全平方公式的结构特征，进行因式分解即可；
（2）找出公因式，利用提公因式法进行因式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝（2x）2﹣2⋅2x⋅3+32＝（2x﹣3）2；
（2）原式＝3x2 （ y﹣2）﹣3x （ y﹣2）＝3x （ y﹣2）（ x﹣1）．
20．（4分）已知4x+y＝1．
（1）y＝ 1﹣4x ．（用含x的代数式表示）
（2）当y为非负数时，x的取值范围是 x ．
（3）当﹣1＜y≤2时，求x的取值范围．
【分析】（1）根据等式的性质移项即可；
（2）根据题意得出不等式，求出不等式的解集即可；
（3）根据题意得出不等式组，求出不等式组的解集即可．
【解答】解：（1）4x+y＝1，
移项得：y＝1﹣4x，
故答案为：1﹣4x；
（2）∵y为非负数，
∴y＝1﹣4x≥0，
解得：x≤，
故答案为：x≤；
（3）∵﹣1＜y≤2，
∴﹣1＜﹣4x+1≤2，
∴﹣2＜﹣4x≤1，
∴x≥﹣，
即x的取值范围是：﹣≤x＜．
21．（5分）解方程组．
【分析】根据二元一次方程组的解法即可求出答案．
【解答】解：由①+②×3，得10x＝20．即x＝2
把x＝2代入①，得2﹣3y＝﹣1．即y＝1
∴原方程组的解为
22．（5分）（1）分别画出图中△ABC的角平分线AF（点F在BC上）、中线BD（点D在AC上）和高CE（E为垂足）．
（2）根据（1）中的要求，回答下列问题：
①面积一定相等的三角形是 △ABD与△BDC （不添加字母和辅助线）；
②若∠BAC＝120°，则∠AFC+∠FCE＝ 150 °．
【分析】（1）根据角平分线，中线，高的定义作出图形即可．
（2）①根据三角形中线的性质解决问题即可．
②利用三角形的情景的性质以及三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：（1）如图，线段AF，线段BD，线段CE即为所求．
（2）①面积相等的三角形：△ABD与△BDC．
故答案为：△ABD与△BDC．
②∵∠BAC＝120°，AF平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠BAC＝60°，
∵CE⊥BE，
∴∠BEC＝90°，
∴∠EBC+∠BCE＝90°，
∴∠AFC+∠FCE＝∠BAF+∠ABC+∠FCE＝60°+90°＝150°，
故答案为150．
23．（5分）如图，点D、E分别在AB、BC上，AF∥BC，∠1＝∠2．试证明：DE∥AC（请写出每一步的证明依据）．
【分析】根据平行线的性质得出∠2＝∠C，求出∠1＝∠C，根据平行线的判定得出即可
【解答】证明：∵AF∥BC（已知），
∴∠2＝∠C（两直线平行，内错角相等），
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝∠C（等量代换），
∴DE∥AC（同位角相等，两直线平行）．
24．（6分）甲、乙两人各有图书若干，如果甲从乙那里拿来10本，那么甲拥有图书的本数是乙所剩本数的5倍；如果乙从甲那里拿来10本，那么乙拥有的图书的本数与甲所剩的本数相等．甲乙两人原来分别有多少本图书？
（1）设甲原来有x本图书，乙原来有y本图书，完成如表：
甲从乙那里拿来10本
乙从甲那里拿来10本
甲拥有的图书
x+10
x﹣10
乙拥有的图书
y﹣10
y+10
（2）根据以上信息列方程组解决上述问题．
【分析】（1）根据等量关系即可求解；
（2）根据题意可得等量关系：①甲从乙那里拿来10本后甲书的数量＝5×甲从乙那里拿来10本后乙书的数量，②乙从甲那里拿来10本后甲书的数量＝乙从甲那里拿来10本后乙书的数量，根据等量关系列出方程组，解方程组即可求解．
【解答】解：（1）设甲原来有x本图书，乙原来有y本图书，完成如表：
甲从乙那里拿来10本
乙从甲那里拿来10本
甲拥有的图书
x+10
x﹣10
乙拥有的图书
y﹣10
y+10
故答案为：x﹣10；y﹣10；
î
（2）根据题意得：，
解得．
答：甲原来有40本图书，乙原来有20本图书．
25．（6分）用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”．如图，∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角．
求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD＝360°．
证法1：∵∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角．
∴ ∠BAE＝∠2+∠3，∠CBF＝∠1+∠3，∠ACD＝∠1+∠2 ．
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝2（∠1+∠2+∠3），
∵ ∠1+∠2+∠3＝180° ．
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝360°
请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．
【分析】证法1：要求证∠BAE+∠CBF+∠ACD＝360°，根据三角形外角性质得到∠BAE＝∠2+∠3，∠CBF＝∠1+∠3，∠ACD＝∠1+∠2，则∠BAE+∠CBF+∠ACD＝2（∠1+∠2+∠3），然后根据三角形内角和定理即可得到结论；
证法2：根据平角的定义得到∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3＝540°，再根据三角形内角和定理和角的和差关系即可得到结论．
【解答】证明：证法1：∵∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角．
∴∠BAE＝∠2+∠3，∠CBF＝∠1+∠3，∠ACD＝∠1+∠2．
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝2（∠1+∠2+∠3），
∵∠1+∠2+∠3＝180°．
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝360°；
证法2：∵平角等于180°，
∴∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3＝180°×3＝540°，
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝540°﹣（∠1+∠2+∠3）．
∵∠1+∠2+∠3＝180°，
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝540°﹣180°＝360°．
故答案为：∠BAE＝∠2+∠3，∠CBF＝∠1+∠3，∠ACD＝∠1+∠2；∠1+∠2+∠3＝180°．
26．（6分）2020年2月，为了应对武汉发生的新型冠状病毒疫情，国家卫健委及相关单位在武汉建立了方舱医院，某方舱医院的具体信息如下：
（1）方舱医院由四部分组成，分别是废弃物处理单元、病房单元、技术保障单元、医疗功能单元；
（2）整个方舱医院占地面积为80000平方米；
（3）废弃物处理单元面积为总占地面积的5%；
（4）病房单元占地面积是技术保障单元占地面积的4倍；
（5）病房单元与医疗功能单元面积的和不高于总占地面积的85%；
求医疗功能单元的最大面积．
【分析】设技术保障单元面积为 x 平方米，根据题意得出不等式解答即可．
【解答】解：设技术保障单元面积为x平方米，则病房单元面积为4x平方米，由题意知废弃物处理单元面积为：80000×5%＝4000（平方米），
则医疗功能单位面积为：80000﹣（4x+4000+x）＝76000﹣5x（平方米），
则4x+76000﹣5x≤80000×85%，
解得：x≥8000，
则76000﹣5x≤36000，
答：医疗功能单位的最大面积为36000平方米．
27．（10分）提出问题：
在∠MAN的两边上各取点B、C，在平面上任取点P（不与点A、B、C重合），连接PB、PC，设∠BPC为∠1，∠ABP为∠2，∠ACP为∠3．请探索∠1、∠2、∠3和∠BAC这4个角之间的数量关系．
分析问题：由于点P是平面上的任意点，要考虑全面，需对点P的位置进行如下分类．
（1）若点P在∠MAN的两边上，易知点B、C将两边分成线段AB、AC，射线BM、CN四个部分，根据提示，完成表格；
条件
一级分类
二级分类
图形表示
数量关系
点P在∠MAN
的两边上
点P在射线AM上
点P在线段AB上
∠2＝0°
且Ð1＝Ð3+ÐBAC
点P在射线BM上
∠2＝180°
且
Ð1+Ð3+ÐBAC＝180°
点P在射线AN上
点P在线段AC上
图略
∠3＝0°且∠1＝∠2+∠BAC
点P在射线CN上
图略
∠3＝180°且∠1+∠2+∠BAC＝180°
（2）点P在∠MAN的内部，如图1，线段BC将内部分成线段BC，区域①，区域②三个部分．若点P在线段BC上，则所求数量关系：∠1＝180°且∠2+∠3+∠BAC＝180°；
若点P在区域①中，则所求数量关系为： 1+∠2+∠3+∠BAC＝360° ；若点P在区域②中，写出这4个角之间的数量关系，并利用图2加以证明．
类比解决：
（3）点P在∠MAN的外部时，直接写出当点P在该部分时这4个角之间的数量关系．
【分析】（1）根据题意可知确定∠3的度数，再根据三角形外交的性质可求解；
（2）区域①根据四边形内角和为360°可求解； 区域②延长 BP，交射线 AN 于点 D，根据三角形的外角和可计算求解；
（3）根据不同区域，分别计算求解即可．
【解答】解：（1）∠3＝0°且∠1＝∠2+∠BAC；∠3＝180°且∠1+∠2+∠BAC＝180°；
（2）若点 P 在区域①中，∠1+∠2+∠3+∠BAC＝360°；
若点 P 在区域②中，∠1＝∠3+∠2+∠BAC．
延长 BP，交射线 AN 于点 D，
∵∠PDC 是△ABD 的外角，
∴∠PDC＝∠2+∠BAC，
∵∠1 是△PCD 的外角，
∴∠1＝∠3+∠2+∠BAC；
（3）①∠2＝∠1+∠BAC+∠3；
②∠1＝0°且∠2＝∠3+∠BAC；
③∠1+∠2＝∠3+∠BAC；
④∠3＝0°且∠BAC＝∠1+∠2；
⑤∠BAC＝∠1+∠2+∠3；
⑥∠BAC＝∠1+∠3 且∠2＝0；
⑦∠1+∠3＝∠2+∠BAC；
⑧∠1＝0且∠3＝∠2+∠BAC；
⑨∠3＝∠1+∠BAC+∠2；
9 种情况依次对应下图的 9 个区域：
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