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江苏省连云港市海州区2019-2020学年七年级下学期期末数学试卷 （解析版）
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这是一份江苏省连云港市海州区2019-2020学年七年级下学期期末数学试卷 （解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列运算结果正确的是（ ）
A．a2+a4＝a6B．a2•a3＝a6C．（﹣a2）3＝a6D．a8÷a2＝a6
2．若a＞b，则下列结论正确的是（ ）
A．a+2＜b+2B．5﹣a＜5﹣bC．＜D．﹣3a＞﹣3b
3．不等式2﹣x≥0的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知是二元一次方程2x+my＝1的一个解，则m的值为（ ）
A．3B．﹣5C．﹣3D．5
5．“对顶角相等”的逆命题是（ ）
A．如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
C．如果两个角不是对顶角，那么这两个角不相等
D．如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角
6．下面3个天平左盘中“△”“□”分别表示两种质量不同的物体，则第三个天平右盘中砝码的质量为（ ）
A．10B．9C．8D．7
7．小明去商店购买A、B两种玩具，共用了10元钱，A种玩具每件1元，B种玩具每件2元．若每种玩具至少买一件，且A种玩具的数量多于B种玩具的数量．则小明的购买方案有（ ）
A．5种B．4种C．3种D．2种
8．如图，D、E、F是△ABC内的三个点，且D在AF上，F在CE上，E在BD上，若CF＝EF，AD＝FD，BE＝DE，△DEF的面积是12，则△ABC的面积是（ ）
A．24.5B．26C．29.5D．30
二、填空题（每小题3分，共30分）
9．冠状病毒最先是1937年从鸡身上分离出来，病毒颗粒的平均直径为0.00000011m，用科学记数法表示这个数是 ．
10．一个n边形的内角和是它外角和的两倍，那么该多边形是 边形．
11．若实数x，y满足，则代数式2x+3y﹣2的值为 ．
12．已知：5xm+7﹣2y2n﹣1＝4是二元一次方程，mn＝ ．
13．命题“两个锐角的和是钝角”是 命题（填“真”或“假”）．
14．如图，l1∥l2，AB⊥l1，垂足为O，BC交l2于点E，若∠ABC＝125°，则∠1＝ °．
15．如图，在△ABC中，∠C＝50°，按图中虛线将∠C剪去后，∠1+∠2等于 ．
16．如图，AB∥CD，AD∥BC，∠B＝115°，延长AD到F，延长CD到E，连接EF，则∠E与∠F的和为 °．
17．已知三角形的三边分别为2，a﹣1，4，那么a的取值范围是 ．
18．如图，把一副三角板如图摆放，点E在边AC上，将图中的△ABC绕点A按每秒3°速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第 秒时，边BC恰好与边DE平行．
三、解答题（满分96分）
19．将下列各式因式分解：
（1）x3﹣x；
（2）x4﹣8x2y2+16y4．
20．计算下列各题：
（1）（）﹣3﹣20200+|﹣5|；
（2）先化简，再求值：（x+y）2﹣2x（x+3y）+（x+2y）（x﹣2y），其中x＝﹣1，y＝2．
21．解下列方程：
（1）；
（2）．
22．解下列不等式（组）：
（1）+1＞x﹣3；
（2）．
23．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十二两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了12两（袋
子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？（请用方程组解答）
24．如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，∠1＝63°，∠2＝63°，且∠C＝∠D．求证：∠A＝∠F．
25．若x满足（7﹣x）（x﹣4）＝2，求（x﹣7）2+（4﹣x）2的值：
解：设7﹣x＝a，x﹣4＝b，则（7﹣x）（x﹣4）＝ab＝2，a+b＝（7﹣x）+（x﹣4）＝3
所以（x﹣7）2+（4﹣x）2＝（7﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5
请仿照上面的方法求解下面的问题
（1）若x满足（8﹣x）（x﹣3）＝3，求（8﹣x）2+（x﹣3）2的值；
（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD，DC上的点，且AE＝2，CF＝5，长方形EMFD的面积是28，分别以MF、DF为边作正方形，求阴影部分的面积．
26．某工厂准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子．
（1）若该工厂准备用不超过10000元的资金去购买A，B两种型号板材，并全部制作竖式箱子，已知A型板材每张30元，B型板材每张90元，求最多可以制作竖式箱子多少个？
（2）①若该工厂仓库里现有A型板材30张、B型板材100张，用这批板材制作两种类型的箱子，问制作竖式和横式两种箱子各多少个，恰好将库存的板材用完？
②若该工厂新购得78张规格为（3×3）m的C型正方形板材，将其全部切割成A型或B型板材（不计损耗），用切割成的板材制作两种类型的箱子，要求横式箱子不少于30个，且材料恰好用完，则能制作两种箱子共 个．（不写过程，直接写出答案）
27．已知如图，∠COD＝90°，直线AB与OC交于点B，与OD交于点A，射线OE与射线AF交于点G．
（1）若OE平分∠BOA，AF平分∠BAD，∠OBA＝36°，则∠OGA＝ °．
（2）若∠GOA＝∠BOA，∠GAD＝∠BAD，∠OBA＝36°，则∠OGA＝ °．
（3）将（2）中的“∠OBA＝36°”改为“∠OBA＝α”，其它条件不变，求∠OGA的度数．（用含α的代数式表示）
（4）若OE将∠BOA分成1：4两部分，∠GAD═∠BAD，∠ABO＝α（18°＜α＜90°），求∠OGA的度数．（用含α的代数式表示）
参考答案
一、选择题（每小题3分，满分24分）
1．下列运算结果正确的是（ ）
A．a2+a4＝a6B．a2•a3＝a6C．（﹣a2）3＝a6D．a8÷a2＝a6
解：A、a2+a4，无法合并，故此选项错误；
B、a2•a3＝a5，故此选项错误；
C、（﹣a2）3＝﹣a6，故此选项错误；
D、a8÷a2＝a6，正确；
故选：D．
2．若a＞b，则下列结论正确的是（ ）
A．a+2＜b+2B．5﹣a＜5﹣bC．＜D．﹣3a＞﹣3b
解：A、∵a＞b，
∴a+2＞b+2，原变形错误，故本选项不符合题意；
B、∵a＞b，
∴﹣a＜﹣b，
∴5﹣a＜5﹣b，原变形正确，故本选项符合题意；
C、∵a＞b，
∴＞，原变形错误，故本选项不符合题意；
D、∵a＞b，
∴﹣3a＜﹣3b，原变形错误，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．不等式2﹣x≥0的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
解：2﹣x≥0，
﹣x≥﹣2，
x≤2，
故原不等式的解集是x≤2，在数轴上表示如下图所示，
故选：B．
4．已知是二元一次方程2x+my＝1的一个解，则m的值为（ ）
A．3B．﹣5C．﹣3D．5
解：将代入2x+my＝1，
得4﹣m＝1，
解得m＝3．
故选：A．
5．“对顶角相等”的逆命题是（ ）
A．如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
C．如果两个角不是对顶角，那么这两个角不相等
D．如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角
解：“对顶角相等”的逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，
故选：B．
6．下面3个天平左盘中“△”“□”分别表示两种质量不同的物体，则第三个天平右盘中砝码的质量为（ ）
A．10B．9C．8D．7
解：设每个“△”的重量为x，每个“□”的重量为y，
依题意，得：，
解得：，
∴2x+y＝10．
故选：A．
7．小明去商店购买A、B两种玩具，共用了10元钱，A种玩具每件1元，B种玩具每件2元．若每种玩具至少买一件，且A种玩具的数量多于B种玩具的数量．则小明的购买方案有（ ）
A．5种B．4种C．3种D．2种
解：设小明购买了A种玩具x件，则购买的B种玩具为件，根据题意得，
，
解得，3＜x≤8，
∵x为整数，也为整数，
∴x＝4或6或8，
∴有3种购买方案．
故选：C．
8．如图，D、E、F是△ABC内的三个点，且D在AF上，F在CE上，E在BD上，若CF＝EF，AD＝FD，BE＝DE，△DEF的面积是12，则△ABC的面积是（ ）
A．24.5B．26C．29.5D．30
解：分别连接AE、DC、FB，
∵CF＝EF，
∴S△DEF＝2S△DFC＝12，
∴S△DFC＝6①．
∵AD＝FD，
∴S△ADC＝S△DFC＝2②，
S△DEF＝3S△ADE＝12，
∴S△ADE＝4③，
∵BE＝DE，
∴S△ABE＝S△ADE＝1④．
S△BEF＝S△DEF＝3⑤
∴S△BFC＝S△BEF＝1.5⑥，
由①+②+③+④+⑤+⑥+12＝29.5．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共30分）
9．冠状病毒最先是1937年从鸡身上分离出来，病毒颗粒的平均直径为0.00000011m，用科学记数法表示这个数是 ．
解：0.00000011＝1.1×10﹣7，
故答案是：1.1×10﹣7．
10．一个n边形的内角和是它外角和的两倍，那么该多边形是 边形．
解：根据题意，得
（n﹣2）•180°＝720°，
解得：n＝6，
故答案为：六．
11．若实数x，y满足，则代数式2x+3y﹣2的值为 ．
解：，
①+②，得：4x+6y＝12，
2x+3y＝6，
则原式＝6﹣2＝4，
故答案为：4．
12．已知：5xm+7﹣2y2n﹣1＝4是二元一次方程，mn＝ ．
解：由5xm+7﹣2y2n﹣1＝4是二元一次方程，得
m+7＝1，2n﹣1＝1．
解得m＝﹣6，n＝1．
mn＝﹣6×1＝﹣6，
故答案为：﹣6．
13．命题“两个锐角的和是钝角”是 命题（填“真”或“假”）．
解：因为20°+20°＝40°＜90°，
所以命题“两个锐角的和是钝角”是假命题．
故答案为：假．
14．如图，l1∥l2，AB⊥l1，垂足为O，BC交l2于点E，若∠ABC＝125°，则∠1＝ °．
解：过B作BF∥l2，
∵l1∥l2，
∴BF∥l1∥l2，
∴∠ABF＝∠2，∠1＝∠FBC，
∵AB⊥l1，
∴∠2＝90°，
∴∠ABF＝90°，
∵∠ABC＝125°，
∴∠FBC＝35°，
∴∠1＝35°，
故答案为：35．
15．如图，在△ABC中，∠C＝50°，按图中虛线将∠C剪去后，∠1+∠2等于 ．
解：∵△ABC中，∠C＝50°，
∴∠A+∠B＝180°﹣∠C＝130°，
∵∠A+∠B+∠1+∠2＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣130°＝230°，
故答案为：230°．
16．如图，AB∥CD，AD∥BC，∠B＝115°，延长AD到F，延长CD到E，连接EF，则∠E与∠F的和为 65 °．
解：∵AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠B＝115°，
∴∠C＝65°，
∵AD∥BC，
∴∠FDC＝65°，
∴∠E+∠F＝65°．
故答案为：65．
17．已知三角形的三边分别为2，a﹣1，4，那么a的取值范围是 ．
解：依题意得：4﹣2＜a﹣1＜4+2，
即：2＜a﹣1＜6，
∴3＜a＜7．
故答案为：3＜a＜7．
18．如图，把一副三角板如图摆放，点E在边AC上，将图中的△ABC绕点A按每秒3°速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第 秒时，边BC恰好与边DE平行．
解：如图1所示：当B′C′∥DE时，
由题意可得：∠B′＝∠DFA＝60°，∠D＝45°，
则∠FAD＝75°，
故∠CAF＝15°，则∠BAF＝105°，
故边BC恰好与边DE平行时，旋转的时间为：＝35（秒），
如图2，当B″C″∥DE时，
由（1）同理可得：∠BAB″＝75°，
则BA绕点A顺时针旋转了360°﹣75°＝285°，
则在旋转的过程中：第＝95（秒）时，边BC恰好与边DE平行．
综上所述：在第35或95秒时，边BC恰好与边DE平行．
故答案为：35或95．
三、解答题（满分96分）
19．将下列各式因式分解：
（1）x3﹣x；
（2）x4﹣8x2y2+16y4．
解：（1）原式＝x（x2﹣1）
＝x（x+1）（x﹣1）；
（2）原式＝（x2﹣4y2）2
＝（x+2y）2（x﹣2y）2．
20．计算下列各题：
（1）（）﹣3﹣20200+|﹣5|；
（2）先化简，再求值：（x+y）2﹣2x（x+3y）+（x+2y）（x﹣2y），其中x＝﹣1，y＝2．
解：（1）原式＝8﹣1+5
＝12．
（2）原式＝x2+2xy+y2﹣2x2﹣6xy+x2﹣4y2
＝﹣4xy﹣3y2，
当x＝﹣1，y＝2时，
原式＝8﹣12＝﹣4．
21．解下列方程：
（1）；
（2）．
解：（1），
①﹣②得：y＝﹣1，
把y＝﹣1代入①得：x＝1，
则方程组的解为；
（2），
①×2﹣②得：7x＝35，
解得：x＝5，
把x＝5代入①得：y＝0，
则方程组的解为．
22．解下列不等式（组）：
（1）+1＞x﹣3；
（2）．
解：（1）去分母，得：x﹣5+2＞2x﹣6，
移项，得：x﹣2x＞﹣6+5﹣2，
合并，得：﹣x＞﹣3，
系数化为1，得：x＜3；
（2）解不等式x+1＜0，得：x＜﹣1，
解不等式＞，得：x＜2，
则不等式组的解集为x＜﹣1．
23．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十二两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了12两（袋
子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？（请用方程组解答）
解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，
由题意得：，
解得．
答：每枚黄金重33两，每枚白银重27两．
24．如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，∠1＝63°，∠2＝63°，且∠C＝∠D．求证：∠A＝∠F．
【解答】证明：∵∠2＝63°，
∴∠ANC＝∠2＝63°，
∵∠1＝63°，
∴∠1＝∠ANC，
∴DB∥CE，
∴∠C＝∠ABD，
∵∠C＝∠D，
∴∠D＝∠ABD，
∴DF∥AC，
∴∠A＝∠F．
25．若x满足（7﹣x）（x﹣4）＝2，求（x﹣7）2+（4﹣x）2的值：
解：设7﹣x＝a，x﹣4＝b，则（7﹣x）（x﹣4）＝ab＝2，a+b＝（7﹣x）+（x﹣4）＝3
所以（x﹣7）2+（4﹣x）2＝（7﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5
请仿照上面的方法求解下面的问题
（1）若x满足（8﹣x）（x﹣3）＝3，求（8﹣x）2+（x﹣3）2的值；
（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD，DC上的点，且AE＝2，CF＝5，长方形EMFD的面积是28，分别以MF、DF为边作正方形，求阴影部分的面积．
解：（1）设8﹣x＝a，x﹣3＝b，则（8﹣x）（x﹣3）＝ab＝3，a+b＝（8﹣x）+（x﹣3）＝5，
∴（8﹣x）2+（x﹣3）2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×3＝19；
（2）∵正方形ABCD的边长为x，AE＝2，CF＝5，
∴MF＝DE＝x﹣2，DF＝x﹣5，
∴（x﹣2）•（x﹣5）＝28，
∴（x﹣2）﹣（x﹣5）＝3，
∴阴影部分的面积＝FM2﹣DF2＝（x﹣2）2﹣（x﹣5）2；
设x﹣2＝a，x﹣5＝b，则（x﹣2）（x﹣5）＝ab＝28，a﹣b＝（x﹣2）﹣（x﹣5）＝3，
∴a＝4，b＝7，a+b＝11，
∴（x﹣2）2﹣（x﹣5）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝11×3＝33．即阴影部分的面积是33．
26．某工厂准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子．
（1）若该工厂准备用不超过10000元的资金去购买A，B两种型号板材，并全部制作竖式箱子，已知A型板材每张30元，B型板材每张90元，求最多可以制作竖式箱子多少个？
（2）①若该工厂仓库里现有A型板材30张、B型板材100张，用这批板材制作两种类型的箱子，问制作竖式和横式两种箱子各多少个，恰好将库存的板材用完？
②若该工厂新购得78张规格为（3×3）m的C型正方形板材，将其全部切割成A型或B型板材（不计损耗），用切割成的板材制作两种类型的箱子，要求横式箱子不少于30个，且材料恰好用完，则能制作两种箱子共 个．（不写过程，直接写出答案）
解：（1）设最多可制作竖式箱子x只，则A型板材x张，B型板材4x张，根据题意得
30x+90×4x≤10000
解得x≤25．
答：最多可以做25只竖式箱子．
（2）①设制作竖式箱子a只，横式箱子b只，根据题意，
得：，
解得：．
答：能制作竖式、横式两种无盖箱子分别为22只和4只．
②设裁剪出B型板材m张，则可裁A型板材（65×9﹣3m）张，由题意得：
，
整理得，13a+11b＝78×9，
∴a＝＝54﹣，
∵a、b都为整数，且b≥30，
∴b是13的整数倍，
当b＝39时，a＝54﹣11×3＝21，符合题意，此时，a+b＝60，
当b＝52时，a＝54﹣11×4＝10，符合题意，此时，a+b＝62，
当b＝65时，a＝54﹣11×5＝﹣1＜0，不符合题意．
故答案为：60或62．
27．已知如图，∠COD＝90°，直线AB与OC交于点B，与OD交于点A，射线OE与射线AF交于点G．
（1）若OE平分∠BOA，AF平分∠BAD，∠OBA＝36°，则∠OGA＝ °．
（2）若∠GOA＝∠BOA，∠GAD＝∠BAD，∠OBA＝36°，则∠OGA＝ °．
（3）将（2）中的“∠OBA＝36°”改为“∠OBA＝α”，其它条件不变，求∠OGA的度数．（用含α的代数式表示）
（4）若OE将∠BOA分成1：4两部分，∠GAD═∠BAD，∠ABO＝α（18°＜α＜90°），求∠OGA的度数．（用含α的代数式表示）
解：（1）∵∠BOA＝90°，∠OBA＝36°，
∴∠BAD＝∠BOA+∠ABO＝126°，
∵AF平分∠BAD，OE平分∠BOA，∠BOA＝90°，
∴∠GAD＝∠BAD＝63°，∠EOA＝∠BOA＝45°，
∴∠OGA＝∠GAD﹣∠EOA＝63°﹣45°＝18°；
故答案为：18°；
（2）∵∠BOA＝90°，∠OBA＝36°，
∴∠BAD＝∠BOA+∠ABO＝126°，
∵∠BOA＝90°，∠GOA＝∠BOA，∠GAD＝∠BAD，
∴∠GAD＝42°，∠EOA＝30°，
∴∠OGA＝∠GAD﹣∠EOA＝42°﹣30°＝12°；
故答案为12°；
（3）∵∠BOA＝90°，∠OBA＝α，
∴∠BAD＝∠BOA+∠ABO＝90°+α，
∵∠BOA＝90°，∠GOA＝∠BOA，∠GAD＝∠BAD，
∴∠GAD＝30°+α，∠EOA＝30°，
∴∠OGA＝∠GAD﹣∠EOA＝α；
（4）当∠EOD：∠COE＝1：4时，∠EOD＝18°，
∵∠BAD＝∠ABO+∠BOA＝α+90°，
∵∠GAD＝∠BAD，
∴∠FAD＝∠BAD＝（α+90°），
∵∠FAD＝∠EOD+∠OGA，
∴18°+∠OGA＝（α+90°），
解得∠OGA＝α+42°；
当∠EOD：∠COE＝4：1时，∠EOD＝72°，
同理可得∠OGA＝α﹣12°；
综上所述，∠OGA的度数为α+42°或α﹣12°．
1．下列运算结果正确的是（ ）
A．a2+a4＝a6B．a2•a3＝a6C．（﹣a2）3＝a6D．a8÷a2＝a6
2．若a＞b，则下列结论正确的是（ ）
A．a+2＜b+2B．5﹣a＜5﹣bC．＜D．﹣3a＞﹣3b
3．不等式2﹣x≥0的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知是二元一次方程2x+my＝1的一个解，则m的值为（ ）
A．3B．﹣5C．﹣3D．5
5．“对顶角相等”的逆命题是（ ）
A．如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
C．如果两个角不是对顶角，那么这两个角不相等
D．如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角
6．下面3个天平左盘中“△”“□”分别表示两种质量不同的物体，则第三个天平右盘中砝码的质量为（ ）
A．10B．9C．8D．7
7．小明去商店购买A、B两种玩具，共用了10元钱，A种玩具每件1元，B种玩具每件2元．若每种玩具至少买一件，且A种玩具的数量多于B种玩具的数量．则小明的购买方案有（ ）
A．5种B．4种C．3种D．2种
8．如图，D、E、F是△ABC内的三个点，且D在AF上，F在CE上，E在BD上，若CF＝EF，AD＝FD，BE＝DE，△DEF的面积是12，则△ABC的面积是（ ）
A．24.5B．26C．29.5D．30
二、填空题（每小题3分，共30分）
9．冠状病毒最先是1937年从鸡身上分离出来，病毒颗粒的平均直径为0.00000011m，用科学记数法表示这个数是 ．
10．一个n边形的内角和是它外角和的两倍，那么该多边形是 边形．
11．若实数x，y满足，则代数式2x+3y﹣2的值为 ．
12．已知：5xm+7﹣2y2n﹣1＝4是二元一次方程，mn＝ ．
13．命题“两个锐角的和是钝角”是 命题（填“真”或“假”）．
14．如图，l1∥l2，AB⊥l1，垂足为O，BC交l2于点E，若∠ABC＝125°，则∠1＝ °．
15．如图，在△ABC中，∠C＝50°，按图中虛线将∠C剪去后，∠1+∠2等于 ．
16．如图，AB∥CD，AD∥BC，∠B＝115°，延长AD到F，延长CD到E，连接EF，则∠E与∠F的和为 °．
17．已知三角形的三边分别为2，a﹣1，4，那么a的取值范围是 ．
18．如图，把一副三角板如图摆放，点E在边AC上，将图中的△ABC绕点A按每秒3°速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第 秒时，边BC恰好与边DE平行．
三、解答题（满分96分）
19．将下列各式因式分解：
（1）x3﹣x；
（2）x4﹣8x2y2+16y4．
20．计算下列各题：
（1）（）﹣3﹣20200+|﹣5|；
（2）先化简，再求值：（x+y）2﹣2x（x+3y）+（x+2y）（x﹣2y），其中x＝﹣1，y＝2．
21．解下列方程：
（1）；
（2）．
22．解下列不等式（组）：
（1）+1＞x﹣3；
（2）．
23．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十二两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了12两（袋
子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？（请用方程组解答）
24．如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，∠1＝63°，∠2＝63°，且∠C＝∠D．求证：∠A＝∠F．
25．若x满足（7﹣x）（x﹣4）＝2，求（x﹣7）2+（4﹣x）2的值：
解：设7﹣x＝a，x﹣4＝b，则（7﹣x）（x﹣4）＝ab＝2，a+b＝（7﹣x）+（x﹣4）＝3
所以（x﹣7）2+（4﹣x）2＝（7﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5
请仿照上面的方法求解下面的问题
（1）若x满足（8﹣x）（x﹣3）＝3，求（8﹣x）2+（x﹣3）2的值；
（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD，DC上的点，且AE＝2，CF＝5，长方形EMFD的面积是28，分别以MF、DF为边作正方形，求阴影部分的面积．
26．某工厂准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子．
（1）若该工厂准备用不超过10000元的资金去购买A，B两种型号板材，并全部制作竖式箱子，已知A型板材每张30元，B型板材每张90元，求最多可以制作竖式箱子多少个？
（2）①若该工厂仓库里现有A型板材30张、B型板材100张，用这批板材制作两种类型的箱子，问制作竖式和横式两种箱子各多少个，恰好将库存的板材用完？
②若该工厂新购得78张规格为（3×3）m的C型正方形板材，将其全部切割成A型或B型板材（不计损耗），用切割成的板材制作两种类型的箱子，要求横式箱子不少于30个，且材料恰好用完，则能制作两种箱子共 个．（不写过程，直接写出答案）
27．已知如图，∠COD＝90°，直线AB与OC交于点B，与OD交于点A，射线OE与射线AF交于点G．
（1）若OE平分∠BOA，AF平分∠BAD，∠OBA＝36°，则∠OGA＝ °．
（2）若∠GOA＝∠BOA，∠GAD＝∠BAD，∠OBA＝36°，则∠OGA＝ °．
（3）将（2）中的“∠OBA＝36°”改为“∠OBA＝α”，其它条件不变，求∠OGA的度数．（用含α的代数式表示）
（4）若OE将∠BOA分成1：4两部分，∠GAD═∠BAD，∠ABO＝α（18°＜α＜90°），求∠OGA的度数．（用含α的代数式表示）
参考答案
一、选择题（每小题3分，满分24分）
1．下列运算结果正确的是（ ）
A．a2+a4＝a6B．a2•a3＝a6C．（﹣a2）3＝a6D．a8÷a2＝a6
解：A、a2+a4，无法合并，故此选项错误；
B、a2•a3＝a5，故此选项错误；
C、（﹣a2）3＝﹣a6，故此选项错误；
D、a8÷a2＝a6，正确；
故选：D．
2．若a＞b，则下列结论正确的是（ ）
A．a+2＜b+2B．5﹣a＜5﹣bC．＜D．﹣3a＞﹣3b
解：A、∵a＞b，
∴a+2＞b+2，原变形错误，故本选项不符合题意；
B、∵a＞b，
∴﹣a＜﹣b，
∴5﹣a＜5﹣b，原变形正确，故本选项符合题意；
C、∵a＞b，
∴＞，原变形错误，故本选项不符合题意；
D、∵a＞b，
∴﹣3a＜﹣3b，原变形错误，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．不等式2﹣x≥0的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
解：2﹣x≥0，
﹣x≥﹣2，
x≤2，
故原不等式的解集是x≤2，在数轴上表示如下图所示，
故选：B．
4．已知是二元一次方程2x+my＝1的一个解，则m的值为（ ）
A．3B．﹣5C．﹣3D．5
解：将代入2x+my＝1，
得4﹣m＝1，
解得m＝3．
故选：A．
5．“对顶角相等”的逆命题是（ ）
A．如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
C．如果两个角不是对顶角，那么这两个角不相等
D．如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角
解：“对顶角相等”的逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，
故选：B．
6．下面3个天平左盘中“△”“□”分别表示两种质量不同的物体，则第三个天平右盘中砝码的质量为（ ）
A．10B．9C．8D．7
解：设每个“△”的重量为x，每个“□”的重量为y，
依题意，得：，
解得：，
∴2x+y＝10．
故选：A．
7．小明去商店购买A、B两种玩具，共用了10元钱，A种玩具每件1元，B种玩具每件2元．若每种玩具至少买一件，且A种玩具的数量多于B种玩具的数量．则小明的购买方案有（ ）
A．5种B．4种C．3种D．2种
解：设小明购买了A种玩具x件，则购买的B种玩具为件，根据题意得，
，
解得，3＜x≤8，
∵x为整数，也为整数，
∴x＝4或6或8，
∴有3种购买方案．
故选：C．
8．如图，D、E、F是△ABC内的三个点，且D在AF上，F在CE上，E在BD上，若CF＝EF，AD＝FD，BE＝DE，△DEF的面积是12，则△ABC的面积是（ ）
A．24.5B．26C．29.5D．30
解：分别连接AE、DC、FB，
∵CF＝EF，
∴S△DEF＝2S△DFC＝12，
∴S△DFC＝6①．
∵AD＝FD，
∴S△ADC＝S△DFC＝2②，
S△DEF＝3S△ADE＝12，
∴S△ADE＝4③，
∵BE＝DE，
∴S△ABE＝S△ADE＝1④．
S△BEF＝S△DEF＝3⑤
∴S△BFC＝S△BEF＝1.5⑥，
由①+②+③+④+⑤+⑥+12＝29.5．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共30分）
9．冠状病毒最先是1937年从鸡身上分离出来，病毒颗粒的平均直径为0.00000011m，用科学记数法表示这个数是 ．
解：0.00000011＝1.1×10﹣7，
故答案是：1.1×10﹣7．
10．一个n边形的内角和是它外角和的两倍，那么该多边形是 边形．
解：根据题意，得
（n﹣2）•180°＝720°，
解得：n＝6，
故答案为：六．
11．若实数x，y满足，则代数式2x+3y﹣2的值为 ．
解：，
①+②，得：4x+6y＝12，
2x+3y＝6，
则原式＝6﹣2＝4，
故答案为：4．
12．已知：5xm+7﹣2y2n﹣1＝4是二元一次方程，mn＝ ．
解：由5xm+7﹣2y2n﹣1＝4是二元一次方程，得
m+7＝1，2n﹣1＝1．
解得m＝﹣6，n＝1．
mn＝﹣6×1＝﹣6，
故答案为：﹣6．
13．命题“两个锐角的和是钝角”是 命题（填“真”或“假”）．
解：因为20°+20°＝40°＜90°，
所以命题“两个锐角的和是钝角”是假命题．
故答案为：假．
14．如图，l1∥l2，AB⊥l1，垂足为O，BC交l2于点E，若∠ABC＝125°，则∠1＝ °．
解：过B作BF∥l2，
∵l1∥l2，
∴BF∥l1∥l2，
∴∠ABF＝∠2，∠1＝∠FBC，
∵AB⊥l1，
∴∠2＝90°，
∴∠ABF＝90°，
∵∠ABC＝125°，
∴∠FBC＝35°，
∴∠1＝35°，
故答案为：35．
15．如图，在△ABC中，∠C＝50°，按图中虛线将∠C剪去后，∠1+∠2等于 ．
解：∵△ABC中，∠C＝50°，
∴∠A+∠B＝180°﹣∠C＝130°，
∵∠A+∠B+∠1+∠2＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣130°＝230°，
故答案为：230°．
16．如图，AB∥CD，AD∥BC，∠B＝115°，延长AD到F，延长CD到E，连接EF，则∠E与∠F的和为 65 °．
解：∵AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠B＝115°，
∴∠C＝65°，
∵AD∥BC，
∴∠FDC＝65°，
∴∠E+∠F＝65°．
故答案为：65．
17．已知三角形的三边分别为2，a﹣1，4，那么a的取值范围是 ．
解：依题意得：4﹣2＜a﹣1＜4+2，
即：2＜a﹣1＜6，
∴3＜a＜7．
故答案为：3＜a＜7．
18．如图，把一副三角板如图摆放，点E在边AC上，将图中的△ABC绕点A按每秒3°速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第 秒时，边BC恰好与边DE平行．
解：如图1所示：当B′C′∥DE时，
由题意可得：∠B′＝∠DFA＝60°，∠D＝45°，
则∠FAD＝75°，
故∠CAF＝15°，则∠BAF＝105°，
故边BC恰好与边DE平行时，旋转的时间为：＝35（秒），
如图2，当B″C″∥DE时，
由（1）同理可得：∠BAB″＝75°，
则BA绕点A顺时针旋转了360°﹣75°＝285°，
则在旋转的过程中：第＝95（秒）时，边BC恰好与边DE平行．
综上所述：在第35或95秒时，边BC恰好与边DE平行．
故答案为：35或95．
三、解答题（满分96分）
19．将下列各式因式分解：
（1）x3﹣x；
（2）x4﹣8x2y2+16y4．
解：（1）原式＝x（x2﹣1）
＝x（x+1）（x﹣1）；
（2）原式＝（x2﹣4y2）2
＝（x+2y）2（x﹣2y）2．
20．计算下列各题：
（1）（）﹣3﹣20200+|﹣5|；
（2）先化简，再求值：（x+y）2﹣2x（x+3y）+（x+2y）（x﹣2y），其中x＝﹣1，y＝2．
解：（1）原式＝8﹣1+5
＝12．
（2）原式＝x2+2xy+y2﹣2x2﹣6xy+x2﹣4y2
＝﹣4xy﹣3y2，
当x＝﹣1，y＝2时，
原式＝8﹣12＝﹣4．
21．解下列方程：
（1）；
（2）．
解：（1），
①﹣②得：y＝﹣1，
把y＝﹣1代入①得：x＝1，
则方程组的解为；
（2），
①×2﹣②得：7x＝35，
解得：x＝5，
把x＝5代入①得：y＝0，
则方程组的解为．
22．解下列不等式（组）：
（1）+1＞x﹣3；
（2）．
解：（1）去分母，得：x﹣5+2＞2x﹣6，
移项，得：x﹣2x＞﹣6+5﹣2，
合并，得：﹣x＞﹣3，
系数化为1，得：x＜3；
（2）解不等式x+1＜0，得：x＜﹣1，
解不等式＞，得：x＜2，
则不等式组的解集为x＜﹣1．
23．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十二两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了12两（袋
子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？（请用方程组解答）
解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，
由题意得：，
解得．
答：每枚黄金重33两，每枚白银重27两．
24．如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，∠1＝63°，∠2＝63°，且∠C＝∠D．求证：∠A＝∠F．
【解答】证明：∵∠2＝63°，
∴∠ANC＝∠2＝63°，
∵∠1＝63°，
∴∠1＝∠ANC，
∴DB∥CE，
∴∠C＝∠ABD，
∵∠C＝∠D，
∴∠D＝∠ABD，
∴DF∥AC，
∴∠A＝∠F．
25．若x满足（7﹣x）（x﹣4）＝2，求（x﹣7）2+（4﹣x）2的值：
解：设7﹣x＝a，x﹣4＝b，则（7﹣x）（x﹣4）＝ab＝2，a+b＝（7﹣x）+（x﹣4）＝3
所以（x﹣7）2+（4﹣x）2＝（7﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5
请仿照上面的方法求解下面的问题
（1）若x满足（8﹣x）（x﹣3）＝3，求（8﹣x）2+（x﹣3）2的值；
（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD，DC上的点，且AE＝2，CF＝5，长方形EMFD的面积是28，分别以MF、DF为边作正方形，求阴影部分的面积．
解：（1）设8﹣x＝a，x﹣3＝b，则（8﹣x）（x﹣3）＝ab＝3，a+b＝（8﹣x）+（x﹣3）＝5，
∴（8﹣x）2+（x﹣3）2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×3＝19；
（2）∵正方形ABCD的边长为x，AE＝2，CF＝5，
∴MF＝DE＝x﹣2，DF＝x﹣5，
∴（x﹣2）•（x﹣5）＝28，
∴（x﹣2）﹣（x﹣5）＝3，
∴阴影部分的面积＝FM2﹣DF2＝（x﹣2）2﹣（x﹣5）2；
设x﹣2＝a，x﹣5＝b，则（x﹣2）（x﹣5）＝ab＝28，a﹣b＝（x﹣2）﹣（x﹣5）＝3，
∴a＝4，b＝7，a+b＝11，
∴（x﹣2）2﹣（x﹣5）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝11×3＝33．即阴影部分的面积是33．
26．某工厂准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子．
（1）若该工厂准备用不超过10000元的资金去购买A，B两种型号板材，并全部制作竖式箱子，已知A型板材每张30元，B型板材每张90元，求最多可以制作竖式箱子多少个？
（2）①若该工厂仓库里现有A型板材30张、B型板材100张，用这批板材制作两种类型的箱子，问制作竖式和横式两种箱子各多少个，恰好将库存的板材用完？
②若该工厂新购得78张规格为（3×3）m的C型正方形板材，将其全部切割成A型或B型板材（不计损耗），用切割成的板材制作两种类型的箱子，要求横式箱子不少于30个，且材料恰好用完，则能制作两种箱子共 个．（不写过程，直接写出答案）
解：（1）设最多可制作竖式箱子x只，则A型板材x张，B型板材4x张，根据题意得
30x+90×4x≤10000
解得x≤25．
答：最多可以做25只竖式箱子．
（2）①设制作竖式箱子a只，横式箱子b只，根据题意，
得：，
解得：．
答：能制作竖式、横式两种无盖箱子分别为22只和4只．
②设裁剪出B型板材m张，则可裁A型板材（65×9﹣3m）张，由题意得：
，
整理得，13a+11b＝78×9，
∴a＝＝54﹣，
∵a、b都为整数，且b≥30，
∴b是13的整数倍，
当b＝39时，a＝54﹣11×3＝21，符合题意，此时，a+b＝60，
当b＝52时，a＝54﹣11×4＝10，符合题意，此时，a+b＝62，
当b＝65时，a＝54﹣11×5＝﹣1＜0，不符合题意．
故答案为：60或62．
27．已知如图，∠COD＝90°，直线AB与OC交于点B，与OD交于点A，射线OE与射线AF交于点G．
（1）若OE平分∠BOA，AF平分∠BAD，∠OBA＝36°，则∠OGA＝ °．
（2）若∠GOA＝∠BOA，∠GAD＝∠BAD，∠OBA＝36°，则∠OGA＝ °．
（3）将（2）中的“∠OBA＝36°”改为“∠OBA＝α”，其它条件不变，求∠OGA的度数．（用含α的代数式表示）
（4）若OE将∠BOA分成1：4两部分，∠GAD═∠BAD，∠ABO＝α（18°＜α＜90°），求∠OGA的度数．（用含α的代数式表示）
解：（1）∵∠BOA＝90°，∠OBA＝36°，
∴∠BAD＝∠BOA+∠ABO＝126°，
∵AF平分∠BAD，OE平分∠BOA，∠BOA＝90°，
∴∠GAD＝∠BAD＝63°，∠EOA＝∠BOA＝45°，
∴∠OGA＝∠GAD﹣∠EOA＝63°﹣45°＝18°；
故答案为：18°；
（2）∵∠BOA＝90°，∠OBA＝36°，
∴∠BAD＝∠BOA+∠ABO＝126°，
∵∠BOA＝90°，∠GOA＝∠BOA，∠GAD＝∠BAD，
∴∠GAD＝42°，∠EOA＝30°，
∴∠OGA＝∠GAD﹣∠EOA＝42°﹣30°＝12°；
故答案为12°；
（3）∵∠BOA＝90°，∠OBA＝α，
∴∠BAD＝∠BOA+∠ABO＝90°+α，
∵∠BOA＝90°，∠GOA＝∠BOA，∠GAD＝∠BAD，
∴∠GAD＝30°+α，∠EOA＝30°，
∴∠OGA＝∠GAD﹣∠EOA＝α；
（4）当∠EOD：∠COE＝1：4时，∠EOD＝18°，
∵∠BAD＝∠ABO+∠BOA＝α+90°，
∵∠GAD＝∠BAD，
∴∠FAD＝∠BAD＝（α+90°），
∵∠FAD＝∠EOD+∠OGA，
∴18°+∠OGA＝（α+90°），
解得∠OGA＝α+42°；
当∠EOD：∠COE＝4：1时，∠EOD＝72°，
同理可得∠OGA＝α﹣12°；
综上所述，∠OGA的度数为α+42°或α﹣12°．
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