2020年浙江省中考数学分类汇编专题12 锐角三角函数

2020年浙江省中考数学分类汇编专题12 锐角三角函数

一、单选题（共4题；共8分）

1.（2020·温州）如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D。若⊙O的半径为1，则BD的长为(    )

A. 1                                         B. 2                                         C.                                          D. 

2.（2020·温州）如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为α，测倾仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为(    ) 

A. (1.5+150tanα) 米           B. (1.5+  )米           C. (1.5+150sinα)米           D. (1.5+  )米

3.（2020·嘉兴·舟山）已知二次函数y=x²，当a≤x≤b时m≤y≤n，则下列说法正确的是(    )           

A. 当n-m=1时，b-a有最小值                                 B. 当n-m=1时，b-a有最大值
C. 当b-a=1时，n-m无最小值                                 D. 当b-a=1时，n-m有最大值

4.（2020·杭州）如图，在△ABC中，∠C=90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则(    )。

A. c=bsinB                           B. b=csinB                           C. a=btanB                           D. b=ctanB

二、填空题（共2题；共2分）

5.（2020·绍兴）如图，已知边长为2的等边三角形ABC中，分别以点A，C为圆心，m为半径作弧，两弧交于点D，连结BD。若BD的长为2 ，则m的值为________。 

6.（2020·金华·丽水）如图是小明画的卡通图形，每个正六边形的边长都相等，相邻两正六边形的边重合，点A，B，C均为正六边形的顶点，AB与地面BC所成的锐角为β，则tanβ的值是________.

三、综合题（共6题；共55分）

7.（2020·台州）人字折叠梯完全打开后如图1所示，B，C是折叠梯的两个着地点，D是折叠梯最高级踏板的固定点. 图2是它的示意图，AB=AC，BD=140cm，∠BAC=40°，求点D离地面的高度DE.

（结果精确到0. 1cm；参考数据sin70°≈0. 94，cos70°≈0. 34，sin20°≈0. 34，cos20°≈0. 94）

8.（2020·温州）如图，C，D为⊙O上两点，且在直径AB两侧，连结CD交AB于点E，G是 上一点，∠ADC=∠G。 

（1）求证：∠1=∠2。   

（2）点C关于DG的对称点为F，连结CF.当点F落在直径AB上时，CF=10，tan∠1= ，求⊙O的半径。   

9.（2020·绍兴）如图1为搭建在地面上的遮阳棚，图2、图3是遮阳棚支架的示意图。遮阳棚支架由相同的菱形和相同的等腰三角形构成，滑块E，H可分别沿等长的立柱AB，DC上下移动，AF=EF=FG=1m。 

(结果精确到0.1m，参考数据： ≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)

（1）若移动滑块使AE=EF，求∠AFE的度数和棚宽BC的长。   

（2）当∠AFE由60°变为74°时，问棚宽BC是增加还是减少？增加或减少了多少？   

10.（2020·湖州）有一种升降熨烫台如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整熨烫台的高度.图2是这种升降熨烫台的平面示意图，AB和CD是两根相同长度的活动支撑杆，点O是它们的连接点，OA＝OC，h(cm)表示熨烫台的高度. 

（1）如图2—1，若AB＝CD＝110cm，∠AOC＝120°，求h的值；   

（2）爱动脑筋的小明发现，当家里这种升降熨烫台的高度为120cm时，两根支撑杆的夹角∠AOC是74°（如图2—2），求该熨烫台支撑杆AB的长度（结果精确到1cm）.（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0. 6）   

11.（2020·嘉兴·舟山）为了测量一条两岸平行的河流宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点A处测得河北岸的树H恰好在A的正北方向。测量方案与数据如下表：

(参考数据：sin70°≈0.94，sin35°≈0.57，tan70°≈2.75，tan35°≈0.70)

（1）哪个小组的数据无法计算出河宽？   

（2）请选择其中一个方案及其数据求出河宽(精确到0.1m)。   

12.（2020·宁波）图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成.当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中(底盒固定在地面下)，此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位.图2是其示意图，经测量，钢条AB=AC=50cm， .

（1）求车位锁的底盒长BC.   

（2）若一辆汽车的底盘高度为30cm，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位?

(参考数据： ， ， )

答案解析部分

一、单选题

1.【解析】【解答】解：连接 ，

四边形 是菱形，

，

，

，

，

是 的切线，

，

，

，

故答案为： ．

【分析】连接OB，利用菱形的性质可证得∠AOB=60°，利用切线的性质，可证得∠DBO=90°，再利用解直角三角形求出BD的长。

2.【解析】【解答】解：过点 作 ， 为垂足，如图所示：

则四边形 为矩形， ，

，

在 中， ，

，

，

故答案为： ．

【分析】过点A作AE⊥BC于点E，易证四边形CEAD是矩形，就可求出CE的长，再利用解直角三角形求出BE的长，然后根据BC=CE+BE，代入计算可求解。

3.【解析】【解答】解：①当b−a＝1时，如图1，

过点B作BC⊥AD于C，
∴∠BCD＝90°，
∵∠ADE＝∠BED＝90°，
∴∠ADD＝∠BCD＝∠BED＝90°，
∴四边形BCDE是矩形，
∴BC＝DE＝b−a＝1，CD＝BE＝m，
∴AC＝AD−CD＝n−m，
在Rt△ACB中，tan∠ABC＝＝n−m，
∵点A，B在抛物线y＝x2上，
∴0°≤∠ABC＜90°，
∴tan∠ABC≥0，
∴n−m≥0，
即n−m无最大值，有最小值，最小值为0，故选项C，D都错误；

②当n−m＝1时，如图2，

过点N作NH⊥MQ于H，
同①的方法得，NH＝PQ＝b−a，HQ＝PN＝m，
∴MH＝MQ−HQ＝n−m＝1，
在Rt△MHQ中，tan∠MNH＝＝，
∵点M，N在抛物线y＝x2上，
∴m≥0，
当m＝0时，n＝1，
∴点N（0，0），M（1，1），
∴NH＝1，
此时，∠MNH＝45°，
∴45°≤∠MNH＜90°，
∴tan∠MNH≥1，
∴1b−a≥1，
∴b−a无最小值，有最大值，最大值为1，故选项A错误；
故答案为：B．
【分析】①当b−a＝1时，先判断出四边形BCDE是矩形，得出BC＝DE＝b−a＝1，CD＝BE＝m，进而得出AC＝n−m，即tan＝n−m，再判断出0°≤∠ABC＜90°，即可得出n−m的范围；②当n−m＝1时，同①的方法得出NH＝PQ＝b−a，HQ＝PN＝m，进而得出MH＝n−m＝1，而tan∠MHN的值，再判断出45°≤∠MNH＜90°，即可得出结论。

4.【解析】【解答】解：∵∠C=90°

∵sinB= ，tanB=

∵b=csinB，b=atanB

故答案为：B

【分析】利用锐角三角函数的定义，分别对各选项进行计算，可得结果。

二、填空题

5.【解析】【解答】解：由作图知，点 在 的垂直平分线上，

是等边三角形，

点 在 的垂直平分线上，

垂直平分 ，

设垂足为 ，

，

，

当点 、 在 的两侧时，如图，

，

，

，

；

当点 、 在 的同侧时，如图，

，

，

，

，

综上所述， 的值为2或 ，

故答案为：2或 ．

【分析】根据作图可知点D和点B在AC的垂直平分线上，利用垂直平分线的性质及等边三角形的性质，利用解直角三角形求出BE的长，再分情况讨论：当点D，B在AC的两侧时；当点B，D在AB的同侧时，分别求出m的值即可。

6.【解析】【解答】如图，过作AD∥BC，过点B作BH⊥AD垂足为H，∴∠A=β，

设正六边形的边长为a，∴BH=6×2a=12a，∠AED=120°，AE=AD=a，
在等腰三角形ADE中，∠ADE=∠EAD=30°，
∴AD=a，∴AH=a+a+a=a,
tanβ=tanA==.
故答案为：.
【分析】如图，过作AD∥BC，过点B作BH⊥AD垂足为H，可得∠A=β，设正六边形的边长为a，根据正六边形的性质及卡通图形，可得BH=12a，∠ADE=∠EAD=30°，AE=AD=a，从而求出AD=a，从而可得AH=a，由tanβ=tanA=即可求出结论.

三、综合题

7.【解析】【分析】过点A作AF⊥BC于点F，根据等腰三角形的三线合一性质得∠BAF的度数，进而得∠BDE的度数，再解直角三角形得结果．

8.【解析】【分析】（1）利用圆周角定理可证得弧AC=弧AD，再利用AB是圆的直径，去证明弧CB=弧BD，然后根据等弧所对的圆周角相等可证得结论。
（2）连接DF，利用垂径定理可证得CE=DE，AB⊥CD，就可求出DF，DE的长，再利用解直角三角形求出EB，AE的长，然后根据AB=AE+EB，就可求出AB的长，即可得到圆的半径。

9.【解析】【分析】（1）由题意可知△AEF是等边三角形，利用等边三角形的性质，可证得∠AFE的度数，连接MF并延长交AE于点K，可得FM=2FK，可得到AK的长，再利用勾股定理求出FK的长，从而可求出FM的长，然后求出BC的长。
（2）利用已知求出∠AFK的度数，利用解直角三角形求出KF，FM的长，再求出BC的长，然后求差即可。

10.【解析】【分析】（1）过点B作BE⊥AC于点E，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠OAC和∠OCA的度数，再利用解直角三角形求出BE的长。
（2）过点B作BE⊥AC于点E，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠OAC和∠OCA的度数，然后利用解直角三角形求出AB的长。

11.【解析】【分析】（1）根据表中的数据和图形可得答案。
（2）利用三角形内角和定理求出∠BHC，∠BCH的度数，再利用解直角三角形求出AH的长。

12.【解析】【分析】（1） 过点A作AH⊥BC于点H， 根据等腰三角形的性质可知BH=HC，再利用三角函数知识求出BH，则BC长可求；
（2）利用三角形函数知识求出AH，由于汽车底盘低于车位锁底边BC上的高AH，可知上锁时，这辆汽车不能进入该车位.