2020年江苏省中考数学分类汇编专题13 锐角三角函数

2020年江苏省中考数学分类汇编专题13 锐角三角函数

一、单选题（共3题；共6分）

1.（2020·无锡）下列选项错误的是（   ）           

A.                   B.                   C.                   D. 

2.（2020·扬州）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则 的值为（   ） 

A.                                    B.                                    C.                                    D. 

3.（2020·苏州）如图，小明想要测量学校操场上旗杆 的高度，他作了如下操作：（1）在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角 ；（2）量得测角仪的高度 ；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离 .利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（   ） 

A.                          B.                          C.                          D. 

二、填空题（共6题；共6分）

4.（2020·徐州）如图， ，在 上截取 .过点 作 ，交 于点 ，以点 为圆心， 为半径画弧，交 于点 ；过点 作 ，交 于点 ，以点 为圆心， 为半径画弧，交 于点 ；按此规律，所得线段 的长等于________. 

5.（2020·南通）如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部5m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为50°.若测角仪的高度是1.5m，则建筑物AB的高度约为________m.（结果保留小数点后一位，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）

6.（2020·扬州）如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度 ，则螺帽边长 ________cm. 

7.（2020·常州）数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短.在菱形 中， .如图，建立平面直角坐标系 ，使得边 在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是________. 

8.（2020·常州）如图，点C在线段 上，且 ，分别以 、 为边在线段 的同侧作正方形 、 ，连接 、 ，则 ________. 

9.（2020·常州）如图，在 中， ，D、E分别是 、 的中点，连接 ，在直线 和直线 上分别取点F、G，连接 、 .若 ，且直线 与直线 互相垂直，则 的长为________. 

三、解答题（共13题；共122分）

10.（2020·镇江）      

（1）计算：4sin60°﹣ +( ﹣1)0；   

（2）化简(x+1)÷(1+ ).   

11.（2020·徐州）小红和爸爸绕着小区广场锻炼如图在矩形广场 边 的中点 处有一座雕塑.在某一时刻，小红到达点 处，爸爸到达点 处，此时雕塑在小红的南偏东 方向，爸爸在小红的北偏东 方向，若小红到雕塑的距离 ，求小红与爸爸的距离 .（结果精确到 ，参考数据： ， ， ） 

12.（2020·镇江）如图，点E与树AB的根部点A、建筑物CD的底部点C在一条直线上，AC＝10m.小明站在点E处观测树顶B的仰角为30°，他从点E出发沿EC方向前进6m到点G时，观测树顶B的仰角为45°，此时恰好看不到建筑物CD的顶部D（H、B、D三点在一条直线上）.已知小明的眼睛离地面1.6m，求建筑物CD的高度（结果精确到0.1m）.（参考数据： ≈1.41， ≈1.73.） 

13.（2020·泰州）我市在凤城河风景区举办了端午节赛龙舟活动，小亮在河畔的一幢楼上看到一艘龙舟迎面驶来，他在高出水面 的 处测得在 处的龙舟俯角为 ；他登高 到正上方的 处测得驶至 处的龙舟俯角为 ，问两次观测期间龙舟前进了多少？（结果精确到 ，参考数据： ， ， ， ） 

14.（2020·宿迁）如图，在一笔直的海岸线上有A，B两个观测站，A在B的正西方向，AB=2km，从观测站A测得船C在北偏东45°的方向，从观测站B测得船C在北偏西30°的方向.求船C离观测站A的距离.

15.（2020·盐城）如图，在 中， 的平分线 交 于点 .求 的长？ 

16.（2020·南京）如图，在港口A处的正东方向有两个相距 的观测点B、C，一艘轮船从A处出发， 北偏东 方向航行至D处， 在B、C处分别测得 ， 求轮船航行的距离AD (参考数据： ， ， ， ， ， ） 

17.（2020·盐城）木门常常需要雕刻美丽的图案.   

（1）图①为某矩形木门示意图，其中 长为200厘米， 长为100厘米，阴影部分是边长为30厘米的正方形雕刻模具，刻刀的位置在模具的中心点P处，在雕刻时始终保持模具的一边紧贴木门的一边，所刻图案如虚线所示，求图案的周长； 

（2）如图 ，对于(1)中的木门，当模具换成边长为 厘米的等边三角形时，刻刀的位置仍在模具的中心点P处，雕刻时也始终保持模具的一边紧贴本门的一边，使模具进行滑动雕刻.但当模具的一个顶点与木门的一个顶点重合时，需将模具绕着重合点进行旋转雕刻，直到模具的另一边与木门的另一边重合.再滑动模具进行雕刻，如此雕刻一周，请在图 中画出雕刻所得图案的草图，并求其周长. 

18.（2020·苏州）问题1：如图①，在四边形 中， ， 是 上一点， ， . 

（1）求证： .   

（2）如图②，在四边形 中， ， 是 上一点， ， .求 的值.   

19.（2020·泰州）如图，正方形 的边长为6， 为 的中点， 为等边三角形，过点 作 的垂线分别与边 、 相交于点 、 ，点 、 分别在线段 、 上运动，且满足 ，连接 . 

（1）求证： .   

（2）当点 在线段 上时，试判断 的值是否变化？如果不变，求出这个值，如果变化，请说明理由.   

（3）设 ，点 关于 的对称点为 ，若点 落在 的内部，试写出 的范围，并说明理由.   

20.（2020·盐城）以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录，请阅读后完成虚线框下方的问题 . 

Ⅰ.在 中， ，在探究三边关系时，通过画图，度量和计算，收集到，组数据如下表：（单位：厘米）

Ⅱ.根据学习函数的经验，选取上表中 和 的数据进行分析；

设 ，以 为坐标，在图 所示的坐标系中描出对应的点；

连线；

Ⅲ.观察思考

结合表中的数据以及所面的图像，猜想.当 ▲ 时，y最大；

Ⅳ.进一步C猜想：若 中， ，斜边 为常数， ），则 ▲ 时， 最大.

推理证明

Ⅴ.对（4）中的猜想进行证明.

（1）问题1.在图 中完善（1）的描点过程，并依次连线；   

（2）问题2.补全观察思考中的两个猜想：Ⅲ________；Ⅳ________。   

（3）问题3.证明上述Ⅴ中的猜想：   

（4）问题4.图 中折线 是一个感光元件的截面设计草图，其中点 间的距离是4厘米， 厘米， 平行光线从 区域射入， 线段 为感光区城，当 的长度为多少时，感光区域长度之和最大，并求出最大值. 

21.（2020·扬州）如图1，已知点O在四边形ABCD的边AB上，且 ，OC平分 ，与BD交于点G，AC分别与BD、OD交于点E、F. 

（1）求证： ；   

（2）如图2，若 ，求 的值；   

（3）当四边形ABCD的周长取最大值时，求 的值.   

22.（2020·连云港）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水能利物，轮乃曲成”.如图，半径为 的筒车 按逆时针方向每分钟转 圈，筒车与水面分别交于点A、B，筒车的轴心 距离水面的高度 长为 ，简车上均匀分布着若干个盛水筒.若以某个盛水筒 刚浮出水面时开始计算时间. 

（1）经过多长时间，盛水筒 首次到达最高点？   

（2）浮出水面3.4秒后，盛水筒P距离水面多高？   

（3）若接水槽 所在直线是 的切线，且与直线 交于点M， .求盛水筒P从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线 上.（参考数据： ， ， ）   

答案解析部分

一、单选题

1.【解析】【解答】解：A. ，本选项不合题意；

B. ，本选项不合题意；

C. 1，本选项不合题意；

D.2（x−2y）＝2x−4y，故本选项符合题意；

故答案为：D.

【分析】分别根据特殊角的三角函数值，同底数幂的乘法法则，二次根式的除法法则以及去括号法则逐一判断即可.

2.【解析】【解答】∵ 和∠ABC所对的弧长都是 ，

∴根据圆周角定理知，∠ABC＝ ，

∴在Rt△ACB中，AB=

根据锐角三角函数的定义知，sin∠ABC＝ ，

∴ = ，

故答案为：A.

【分析】首先根据圆周角定理可知，∠ABC＝ ，在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义求出∠ABC的正弦值.

3.【解析】【解答】延长CE交AB于F，如图，

根据题意得，四边形CDBF为矩形，

∴CF=DB=b，FB=CD=a，

在Rt△ACF中，∠ACF=α，CF=b，

tan∠ACF=

∴AF= ,

AB=AF+BF= ，

故答案为：A.

【分析】延长CE交AB于F，得四边形CDBF为矩形，故CF=DB=b，FB=CD=a，在直角三角形ACF中，利用CF的长和已知的角的度数，利用正切函数可求得AF的长，从而可求出旗杆AB的长.

二、填空题

4.【解析】【解答】解：∵ ， ，

∴

∵

∴

∴

∵

∴

∴△ 是等边三角形

∴

∴ 是等边三角形

∴

同理可得 是等边三角形

∴

【分析】根据已知条件先求出 的长，再根据外角，直角算出△ 是等边三角形，同理可得出其他等边三角形，即可求出答案.

5.【解析】【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，

则DE＝BC＝5，DC＝BE＝1.5，

在Rt△ADE中，

∵tan∠ADE＝ ，

∴AE＝tan∠ADE•DE＝tan50°×5≈1.19×5＝5.95（米），

∴AB＝AE+BE＝5.95+1.5≈7.5（米），

故答案为：7.5.

【分析】过点D作DE⊥AB，垂足为点E，根据正切进行求解即可.

6.【解析】【解答】解：如图：作BD⊥AC于D

由正六边形，得

∠ABC=120°，AB=BC=a，

∠BCD=∠BAC=30°.

由AC=3，得CD= .

cos∠BCD= = ，即 ，

解得a= ，

故答案为： .

【分析】根据正六边形的性质，可得∠ABC=120°，AB=BC=a，根据等腰三角形的性质，可得CD的长，根据锐角三角函数的余弦，可得答案.

7.【解析】【解答】解：∵四边形 为菱形，

∴AD=AB=CD=2，

∵

∴

在Rt△DOA中，

∴OD=

∴点C的坐标是(2， ).

故答案为：(2， ).

【分析】根据菱形的性质可知AD=AB=CD=2，∠OAD=60°，由三角函数即可求出线段OD的长度，即可得到答案.

8.【解析】【解答】解：如图，

设BC=a，则AC=2a

∵正方形

∴EC= ，∠ECD=

同理：CG= ,∠GCD=    

∴ .

故答案为： .

【分析】设BC=a，则AC=2a，然后利用正方形的性质求得CE、CG的长、∠GCD=ECD=45°，进而说明△ECG为直角三角形，最后运用正切的定义即可解答.

9.【解析】【解答】解：如图，当点F在点D右侧时，

过点F作FM∥DG，交直线BC于点M，过点B作BN⊥DE，交直线DE于点N，

∵D，E分别是AB和AC中点，AB= ，

∴DE∥BC，BD=AD= ，∠FBM=∠BFD，

∴四边形DGMF为平行四边形，

则DG=FM，

∵DG⊥BF，BF=3DG，

∴∠BFM=90°，

∴tan∠FBM= =tan∠BFD，

∴ ，

∵∠ABC=45°=∠BDN，

∴△BDN为等腰直角三角形，

∴BN=DN= ，

∴FN=3BN=9，DF=GM=6，

∵BF= = ，

∴FM= = ，

∴BM= ，

∴BG=10-6=4；

当点F在点D左侧时，过点B作BN⊥DE，交直线DE于N，过点B作BM∥DG，交直线DE于M，延长FB和DG，交点为H，

可知：∠H=∠FBM=90°，四边形BMDG为平行四边形，

∴BG=MD，BM=DG，

∵BF=3DG，

∴tan∠BFD= ，

同理可得：△BDN为等腰直角三角形，BN=DN=3，

∴FN=3BN=9，

∴BF= ，

设MN=x，则MD=3-x，FM=9+x，

在Rt△BFM和Rt△BMN中，

有 ，

即 ，

解得：x=1，即MN=1，

∴BG=MD=ND-MN=2.

综上：BG的值为4或2.

故答案为：4或2.

【分析】分当点F在点D右侧时，当点F在点D左侧时，两种情况，分别画出图形，结合三角函数，勾股定理以及平行四边形的性质求解即可.

三、解答题

10.【解析】【分析】（1）先求三角函数值、化简二次根式、计算零指数幂，再计算乘法，最后计算加减即可；（2）先计算括号内分式的加法，再将除法转化为乘法，最后约分即可.

11.【解析】【分析】过点P作PE⊥BC，则四边形ABEP是矩形，由解直角三角形求出 ，则 ，然后求出PQ即可.

12.【解析】【分析】延长FH，交CD于点M，交AB于点N，求CD，只需求出DM即可，即只要求出HN就可以，在Rt△BNF中，设BN＝NH＝x，则根据tan∠BFN＝ 就可以求出x的值，再根据等腰直角三角形的性质和线段的和可求得CD的长.

13.【解析】【分析】设BA与CD的延长线交于点O，由题意得出∠BDO=50°，∠ACO=23°，OA=15m，AB=6m，在Rt△BOD中，解直角三角形求得OD的长度，在Rt△AOC中，解直角三角形求出DC的长度即可.

14.【解析】【分析】如图，过点C作CD⊥AB于点D，从而把斜三角形转化为两个直角三角形，然后在两个直角三角形中利用直角三角形的边角关系列出方程求解即可.

15.【解析】【分析】由 求出∠A=30°，进而得出∠ABC=60°，由BD是∠ABC的平分线得出∠CBD=30°，进而求出BC的长，最后用sin∠A即可求出AB的长.

16.【解析】【分析】过点D作 ，垂足为H，通过解 和 得 和 ，根据 求得DH，再解 求得AD即可.

17.【解析】【分析】（1）过点P作 求出PE，进而求得该图案的长和宽，利用长方形的周长公式即可解答；（2）如图，过P作PQ⊥CD于Q，连接PG,先利用等边三角形的性质求出PQ、PG及∠PGE，当移动到点 时，求得旋转角和点P旋转的路径长，用同样的方法继续移动，即可画出图案的草图，再结合图形可求得所得图案的周长.

18.【解析】【分析】问题1：先根据AAS证明 ，可得 ， ，由此即可证得结论；问题2：分别过点A、D作 的垂线，垂足为E、F，由（1）可知 ，利用45°的三角函数值可得 ， ，由此即可计算得到答案.

19.【解析】【分析】（1）由“ ”可证 ；（2）连接 ，过点 作 于 ，由“ ”可证 ，可得 ， ， ，由直角三角形的性质可求 ，由锐角三角函数可求 ，由全等三角形的性质可求 ，即可求 ；（3）当点 落在 上时，，当点 落在 上时，分别求出点 落在 上和 上时 的值，即可求解.

20.【解析】【分析】（1）问题1：根据Ⅰ中的表格数据，描点连线，作出图形即可；（2）问题2：根据Ⅰ中的表格数据，可以得知当 2时， 最大；设 ，则 ，可得 ，有 ，可得出 ；（3）问题3：可用两种方法证明，方法一：（判别式法）设 ，则 ，可得 ，有 ，可得出 ；方法二：（基本不等式），设 ，得 ，可得 ，根据当 时，等式成立有 ，可得出 ；（4）问题4：方法一：延长 交 于点A，过点A作 于点H，垂足为H，过点B作 交于点K，垂足为K， 交 于点Q，由题可知：在 中， ，得 ，根据 ，有 ，得 ，易证四边形 为矩形，四边形 为矩形，根据 可得 ，由问题3可知，当 时， 最大，则有 时， 最大为 ；方法二：延长 相交于点H同法一求得： ，根据四边形 为矩形，有 ， ，得到 ，由问题3可知，当 时， 最大则可得 时 最大为 .

21.【解析】【分析】（1）先由三角形外角得出∠BOD=∠DAO+∠ODA，然后根据OA=OD，OC平分∠BOD得出∠DAO=∠ODA，∠COD=∠COB，可得∠COD=∠ODA，即可证明；（2）先证明△BOG≌△DOG，得出∠ADB=∠OGB=90°，然后证明△AFO∽△AED，得出∠AOD=∠ADB=90°， ，根据勾股定理得出AD=2 ，即可求出答案；（3）先设AD=2x，OG=x，则CG=2-x，BG= = ，BC= = =CD，然后得出四边形ABCD的周长=4+2x+4 ，令 =t≥0，即x=2-t2  ， 可得四边形ABCD的周长=-2（t-1）2+10，得出x=2-t2=1，即AD=2，然后证明△ADF≌△COF，得出DF=OF= OD=1，根据△ADO是等边三角形，得出∠DAE=30°，可得 ，求出DE= ，即可得出答案.

22.【解析】【分析】（1）先根据筒车筒车每分钟旋转的速度计算出筒车每秒旋转的速度，再利用三角函数确定 ，最后再计算出所求时间即可；（2）先根据时间和速度计算出 ，进而得出 ，最后利用三角函数计算出 ，从而得到盛水筒 距离水面的高度；（3）先确定当 在直线 上时，此时 是切点，再利用三角函数得到 ， ，从而计算出 ，最后再计算出时间即可.