2020年浙江省中考数学分类汇编专题08 四边形

2020年浙江省中考数学分类汇编专题08 四边形

一、单选题（共6题；共12分）

1.（2020·台州）下是关于某个四边形的三个结论:①它的对角线相等；②它是一个正方形;③它是一个矩形.下列推理过程正确的是（   ）           

A. 由②推出③，由③推出①                                    B. 由①推出②，由②推出③
C. 由③推出①，由①推出②                                    D. 由①推出③，由③推出②

2.（2020·衢州）如图，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF，若BC=1，则AB的长度为（   ）

A.                                  B.                                  C.                                  D. 

3.（2020·台州）把一张宽为1cm的长方形纸片ABCD折叠成如图所示的阴影图案，顶点A，D互相重合，中间空白部分是以E为直角顶点，腰长为2cm的等腰直角三角形，则纸片的长AD（单位:cm）为（   ）

A. 7+3                              B. 7+4                              C. 8+3                              D. 8+4

4.（2020·台州）如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于 AB同样长为半径画弧，两弧交于点C，D，连接AC，AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是（  ）

A. AB平分∠CAD                       B. CD平分∠ACB                       C. AB⊥CD                       D. AB=CD

5.（2020·温州）如图，在△ABC中，∠A=40°，AB=AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作 BCDE，则∠E的度数为(    )

A. 40°                                       B. 50°                                       C. 60°                                       D. 70°

6.（2020·湖州）四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变，如图，改变正方形ABCD的内角，正方形ABCD变为菱形ABC′D′，若∠D′AB＝30°，则菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是（   ） 

A. 1                                       B.                                        C.                                        D. 

二、填空题（共5题；共8分）

7.（2020·嘉兴·舟山）如图，有一张矩形纸条ABCD，AB=5cm，BC=2cm，点M，N分别在边AB，CD上，CN=1cm。现将四边形BCNM沿MN折叠，使点B，C分别落在点B'，C'上。当点B'恰好落在边CD上时，线段BM的长为________cm；在点Ｍ从点A运动到点B的过程中，若边MB'与边CD交于点E，则点E相应运动的路径长为________cm。

8.（2020·嘉兴·舟山）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件：________，使 ABCD是菱形。

9.（2020·金华·丽水）图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为AC，BD（点A与点B重合），点O是夹子转轴位置，OE⊥AC于点E，OF⊥BD于点F，OE=OF=1cm，AC=BD=6cm， CE=DF， CE:AE=2:3.按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点O转动.

（1）当E，F两点的距离最大值时，以点A，B，C，D为顶点的四边形的周长是________cm.   

（2）当夹子的开口最大（点C与点D重合）时，A，B两点的距离为________cm.   

10.（2020·金华·丽水）如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是________°.

11.（2020·衢州）图1是由七根连杆链接而成的机械装置，图2是其示意图.已知O，P两点固定，连杆PA=PC=140cm，AB=BC=CQ=QA=60cm，OQ=50cm，O，P两点间距与OQ长度相等。当OQ绕点O转动时，点A，B，C的位置随之改变，点B恰好在线段MN上来回运动。当点B运动至点M或N时，点A，C重合，点P，Q，A，B在同一直线上（如图3）。

（1）点P到MN的距离为________cm。   

（2）当点P，O，A在同一直线上时，点Q到MN的距离为________cm。   

三、综合题（共2题；共20分）

12.（2020·衢州）如图，在5×5的网格中，△ABC的一个顶点都在格点上。

（1）在图1中画出一个以AB为边的 ABDE，使顶点D，E在格点上。   

（2）在图2中画出一条恰好平分△ABC周长的直线l（至少经过两个格点）。   

13.（2020·绍兴）如图，点E是 ABCD的边CD的中点，连结AE并延长，交BC的延长线于点F。 

（1）若AD的长为2，求CF的长。   

（2）若∠BAF=90°，试添加一个条件，并写出∠F的度数。   

答案解析部分

一、单选题

1.【解析】【解答】解：对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形， 

故①→②，①→③错误，

故选项B，C，D错误，

故答案为：A．

【分析】根据对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形即可判断．

2.【解析】【解答】由折叠补全图形如图所示，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ADA'＝∠B＝∠C＝∠A＝90°，AD＝BC＝1，CD＝AB  ，

由第一次折叠得：∠DAE＝∠A＝90°，∠ADE＝ ∠ADC＝45°，

∴∠AED＝∠ADE＝45°，

∴AE＝AD＝1，

在Rt△ADG中，根据勾股定理得，DE＝ AD＝ ，

故答案为： A ．

【分析】先判断出∠ADE＝45°，进而判断出AE＝AD  ， 利用勾股定理即可得出结论．

3.【解析】【解答】解：如图，过点M作MH⊥A′R于H，过点N作NJ⊥A′W于J．

由题意△EMN是等腰直角三角形，EM＝EN＝2，MN＝ ，

∵四边形EMHK是矩形，

∴EK＝A′K＝MH＝1，KH＝EM＝2，

∵△RMH是等腰直角三角形，

∴RH＝MH＝1，RM＝ ，同法可证NW＝ ，

由题意AR＝RA′＝A′W＝WD＝4，

∴AD＝AR+RM+MN+NW+DW＝4+ + + +4＝8+ ，

故答案为：D．

【分析】如图，过点M作MH⊥A′R于H，过点N作NJ⊥A′W于J．想办法求出AR，RM，MN，NW，WD即可解决问题．

4.【解析】【解答】解：由作图知AC＝AD＝BC＝BD， 

∴四边形ACBD是菱形，

∴AB平分∠CAD、CD平分∠ACB、AB⊥CD，

不能判断AB＝CD，

故答案为：D．

【分析】根据作图判断出四边形ACBD是菱形，再根据菱形的性质：菱形的对角线平分一组对角、菱形的对角线互相垂直平分可得出答案．

5.【解析】【解答】 在 中， ， ，

，

四边形 是平行四边形，

．

故答案为： ．

【分析】利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出∠C的度数，再利用平行四边形的对角相等，可求出∠E的度数。

6.【解析】【解答】解：根据题意可知菱形 的高等于 的一半，

菱形 的面积为 ，正方形 的面积为 .

菱形 的面积与正方形 的面积之比是 .

故答案为：B.

 【分析】利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，就可证得菱形 的高等于 的一半，由此可得到菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积，然后求出它们的面积之比。

二、填空题

7.【解析】【解答】解：如图1，

∵矩形ABCD，
∴AB∥CD，
∴∠1=∠3
∵折叠可知，∠1=∠2，BM=MB ' ，
∴∠2=∠3，
∴MB'=NB'
∵,
∴MB=NB ' =;
如图2，当点M与点A重合时，AE=EN，

设AE=EN=xcm，
在Rt△ADE中，
x2=22+（4-x）2  ，                     
解之：x=
∴,
如图3中，当点M运动到点MB ' ⊥AB时，DE' 的值最大，DE' =5-1-2=2cm,

当点M运动到点B ' 落在CD上时，DB ' （DE"）=;

∴点E的运动轨迹E→E' →E ",运动路径=EE' +E' B' =
故答案为：
【分析】利用矩形的性质，可知AB∥CD，利用平行线的性质和折叠的性质，可证得∠2=∠3，MB'=NB'，再利用勾股定理求出NB'的值，即可得到BM的长；当点M与点A重合时，AE=EN，设AE=EN=xcm，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到DE的长；如图3中，当点M运动到点MB ' ⊥AB时，DE' 的值最大，可得到DE' 的长；当点M运动到点B ' 落在CD上时，求出DB ' 长，然后求出点E的运动路径长即可。

8.【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，AB=BC
∴四边形ABCD是菱形；
∵平行四边形ABCD，AC⊥BD
∴四边形ABCD是菱形；
故答案为：AB=BC或AC⊥BD（答案不唯一）.
【分析】根据有一组领边相等的平行四边形是菱形或对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得答案。

9.【解析】【解答】解：（1）当点E、O、F三点共线时，E、F两点的距离最大，此时四边形ABDC是矩形，
∴AB=CD=EF=2cm，
∴ 以点A，B，C，D为顶点的四边形的周长为：2+6+2=6=16cm;
（2）当夹子的开口最大（点C与点D重合）时 ，如图，连接CO并延长交AB于点H，

∴CH⊥AB，AH=BH，
∵ AC=BD=6cm，CE:AE=2:3，∴CE=cm，
在Rt△OEF中，CO==，
∵sin∠ECO==， ∴AH=，
∴AB=2AH=.
【分析】（1）当点E、O、F三点共线时，E、F两点的距离最大，此时四边形ABDC是矩形，可得AB=CD=EF=2cm，根据矩形的性质求出周长即可；
（2）当夹子的开口最大（点C与点D重合）时 ，如图，连接CO并延长交AB于点H，可得CH⊥AB，AH=BH，利用已知先求出CE=cm，在Rt△OEF中利用勾股定理求出CO的长，由sin∠ECO==， 求出AH，从而求出AB=2AH的长.

10.【解析】【解答】解：如图，

∵∠1+∠2+70°+140°+120°=（5-2）×180°，
∴∠1+∠2=210°，
∵平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形 ，
∴∠2+120°=180°，∠1+a=180°，
∴∠2+120°+∠1+a=360°，
∴a=30°.
故答案为：30.
【分析】根据五边形的内角和可求出∠1+∠2=210°，根据平行四边形的性质及平角的定义可得∠2+120°=180°，∠1+a=180°，从而求出a的度数.

11.【解析】【解答】(1)如图3中，延长PO交MN于T  ， 过点O作OH⊥PQ于H ． 

由题意：OP＝OQ＝50cm  ， PQ＝PA﹣AQ＝14﹣＝60＝80（cm），PM＝PA+BC＝140+60＝200（cm），PT⊥MN  ，

∵OH⊥PQ  ，

∴PH＝HQ＝40（cm），

∵cos∠P＝ ，

∵ ，

∴PT＝160（cm），

∴点P到MN的距离为160cm  ，

故答案为160．

( 2 )如图4中，当O  ， P  ， A共线时，过Q作QH⊥PT于H ． 设HA＝xcm ．

由题意AT＝PT﹣PA＝160﹣140＝20（cm），OA＝PA﹣OP＝140﹣50＝90（cm），OQ＝50cm  ， AQ＝60cm  ，

∵QH⊥OA  ，

∴QH2＝AQ2﹣AH2＝OQ2﹣OH2  ，

∴602﹣x2＝502﹣（90﹣x）2  ，

解得x＝ ，

∴HT＝AH+AT＝ （cm），

∴点Q到MN的距离为 cm ．

故答案为: ．

【分析】（1）如图3中，延长PO交MN于T  ， 过点O作OH⊥PQ于H ． 解直角三角形求出PT即可．（2）如图4中，当O  ， P  ， A共线时，过Q作QH⊥PT于H ． 设HA＝xcm ． 解直角三角形求出HT即可．

三、综合题

12.【解析】【分析】（1）根据平行四边形的定义画出图形即可（答案不唯一）．（2）利用数形结合的思想解决问题即可．

13.【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质，可证得AD∥CF，利用平行线的性质，去证明∠ADE=∠FCE，∠DAE=∠CFE，利用线段的中点的定义可证得DE=CE，利用AAS证明△ADE≌△FCE，利用全等三角形的性质，可求出CF的长。
（2）要求∠F的度数，利用三角形的内角和定理，可知添加∠B的度数即可。