2020年浙江省中考数学分类汇编专题09 圆

2020年浙江省中考数学分类汇编专题09 圆

一、单选题（共6题；共12分）

1.（2020·绍兴）如图，点A，B，C，D，E均在⊙O上，∠BAC=15°，∠CED=30°，则∠BOD的度数为（   ） 

A. 45°                                       B. 60°                                       C. 75°                                       D. 90°

2.（2020·湖州）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝70°，则∠ADC的度数是（   ） 

A. 70°                                     B. 110°                                     C. 130°                                     D. 140°

3.（2020·湖州）如图，已知OT是Rt△ABO斜边AB上的高线，AO＝BO，以O为圆心，OT为半径的圆交OA于点C，过点C作⊙O的切线CD，交AB于点D，则下列结论中错误的是（   ）

A. DC＝DT                         B. AD＝ DT                         C. BD＝BO                         D. 2OC＝5AC

4.（2020·嘉兴·舟山）如图，在等腰△ABC中， AB=AC=2 ，BC=8， 按下列步骤作图：

①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于 EF的长为半径作弧相交于点H，作射线AH；②分别以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径作弧相交于点M，N，作直线MN，交射线AH于点0；③以点为圆心，线段OA长为半径作圆。则⊙O的半径为(    )

A. 2                                          B. 10                                         C. 4                                         D. 5

5.（2020·杭州）如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上(不与点A，点C重合)，BD与OA交于点E，设∠AED=α，∠AOD=β，则(    )

A. 3α+β=180°                       B. 2α+β=180°                       C. 3α-β=90°                       D. 2α-β=90°

6.（2020·金华·丽水）如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是 上一点，则∠EPF的度数是（   ）

A. 65°                                       B. 60°                                       C. 58°                                       D. 50°

二、填空题（共6题；共7分）

7.（2020·台州）如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，以AD为直径的⊙O交AC于点E，连接DE. 若⊙O与BC相切，∠ADE=55°，则∠C的度数为________ .  

8.（2020·温州）若扇形的圆心角为45°，半径为3，则该扇形的弧长为________。   

9.（2020·湖州）如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8，AB＝10，则CD与AB之间的距离是________.   

10.（2020·嘉兴·舟山）如图，在半径为 的圆形纸片中，剪一个圆心角为90°的最大扇形(阴影部分)，则这个扇形的面积为________；若将此扇形围成一个无底的圆锥(不计接头)，则圆锥底面半径为________ 。

11.（2020·杭州）如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，连接AC，OC，若sin∠BAC= ，则tan∠BOC=________。

12.（2020·宁波）如图，⊙O的半径OA=2，B是⊙O上的动点(不与点A重合)，过点B作⊙O的切线BC，BC=OA，连结OC，AC.当△OAC是直角三角形时，其斜边长为________. 

三、综合题（共6题；共60分）

13.（2020·衢州）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB=10，AC=6。连结OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点。

（1）求证：∠CAD=∠CBA。   

（2）求OE的长。   

14.（2020·台州）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿直线AB翻折得到△ABD，连接CD交AB于点M. E是线段CM上的点，连接BE. F是△BDE的外接圆与AD的另一个交点，连接EF， BF

（1）求证:△BEF是直角三角形;   

（2）求证:△BEF∽△BCA;   

（3）当AB=6，BC=m时，在线段CM中存在点E，使得EF和AB互相平分，求m的值.   

15.（2020·湖州）如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，连结BD，BC平分∠ABD. 

（1）求证：∠CAD＝∠ABC；   

（2）若AD＝6，求 的长.   

16.（2020·嘉兴·舟山）已知：如图，在△OAB中，OA=OB，⊙O与AB相切于点C。求证：AC=BC。

小明同学的证明过程如下框：

小明的证法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请写出你的证明过程。

17.（2020·金华·丽水）如图， 的半径OA=2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°. 

（1）求弦AB的长.   

（2）求 的长.   

18.（2020·杭州）如图，已知AC，BD为⊙O的两条直径，连接AB，BC，OE⊥AB于点E，点F是半径OC的中点，连接EF.

（1）设⊙O的半径为1，若∠BAC=30°，求线段EF的长。   

（2）连接BF，DF 

①求证：PE=PF

②若DF=EF，求∠BAC的度数。

答案解析部分

一、单选题

1.【解析】【解答】解：连接 ，

， ，

，

．

故答案为：D．

【分析】连接BE，利用同弧所对的圆周角相等，可求出∠BEC的度数，从而可求出∠BED的度数，然后利用圆周角定理求出∠BOD的度数。

2.【解析】【解答】解： 四边形 内接于 ， ，

，

故答案为：B.

 【分析】利用圆内接四边形的对角互补，就可求出∠ADC的度数。

3.【解析】【解答】解：如图，连接 .

是半径， ，

是 的切线，

是 的切线，

， 正确，  

， ，

，

是切线，

，

，

，

，

， 正确，

， ， ，

，

，

， ， ，

，

，

，

， 正确，

故答案为：D.

 【分析】连接OD，利用切线的判定定理可证得DT是圆的切线，再利用切线长定理可对A作出判断；再证明△ADC是等腰直角三角形，利用解直角三角形可得到AD和CD的数量关系，可对B作出判断；再证明△DOC≌△DOT，利用全等三角形的性质，可证得∠DOC=∠DOT，然后求出∠BOD和∠CDB的度数，就可推出BD=BO，可对C作出判断；从而可得到错误的选项。

4.【解析】【解答】解：设AO与BC交于点L，连接OC

∵AO⊥BC
∴
在Rt△ALC中，   
,
设圆的半径为r，则OL=r-2
在Rt△OCL中，OC2=OL2+CL2,
∴r2=（r-2）2+42
解之：r=5.
故答案为：D
【分析】 设AO与BC交于点L，连接OC，利用垂径定理求出CL的长，再利用勾股定理求出AL的长，设圆的半径为r，则OL=r-2，利用勾股定理建立关于r的方程，解方程求出r的值。

5.【解析】【解答】解：如图，连接AB

则∠DBA= ∠DOA= ∠β    

且∠DEA=∠DBA+∠OAB=α

∵OA=OB，∠BOA=90°，即∠OAB=45°

∴α= β+45°

化简后得2α-β=90°

即D选项为正确选项

故答案为：D

【分析】利用一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得到∠DBA= ∠β，利用三角形的外角的性质，可证得∠DBA+∠OAB=α，再证明∠OAB=45°，继而可得到α和β之间的关系式。

6.【解析】【解答】解：连接OE，OF，

∵点EF分别是切点，∴∠OEB=∠OFB=90°，
∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，
∴∠EOF=360°-∠OEB-∠OFB-∠B=120°，
∴∠P=∠EOF=60°.
故答案为：B.
【分析】连接OE，OF，根据切线的性质可得∠OEB=∠OFB=90°，利用等边三角形的性质可得∠B=60°，根据四边形内角和等于360°，可求出∠EOF的度数，根据圆周角定理可得∠P=∠EOF，据此求出结论.

二、填空题

7.【解析】【解答】解：∵AD为⊙O的直径， 

∴∠AED＝90°，

∴∠ADE+∠DAE＝90°；

∵⊙O与BC相切，

∴∠ADC＝90°，

∴∠C+∠DAE＝90°，

∴∠C＝∠ADE，

∵∠ADE＝55°，

∴∠C＝55°．

故答案为：55°．

【分析】由直径所对的圆周角为直角得∠AED＝90°，由切线的性质可得∠ADC＝90°，然后由同角的余角相等可得∠C＝∠ADE＝55°．

8.【解析】【解答】解：根据弧长公式： ，

故答案为： ．

【分析】利用弧长公式：， 代入计算可求解。

9.【解析】【解答】解：过点 作 于 ，连接 ，如图，

则 ，

在 中， ，

所以 与 之间的距离是3.

故答案为3.

 【分析】过点O作OH⊥CD于点H，连接OC，利用垂径定理求出CH的长，再利用勾股定理求出OH的长。

10.【解析】【解答】解：如图，连接AB

∵∠C=90°，AC=BC   
∴AB是直径
∴AB=，
在Rt△ACB中，
AC=ABsin45°=2
∴S扇形ACB=；
设扇形ACB的弧长为l
∴
解之：l=，
设底面圆的半径为r
∴
解之：
故答案为：.
【分析】连接AB，利用圆周角定理可证得AB的直径，同时可求出AB的长，再利用直角三角形求出AC的长，利用扇形的面积公式求出扇形ACB的面积；设扇形ACB的弧长为l，利用扇形的面积公式求出弧长l，然后根据圆锥展开图的扇形的弧长等于底面圆的周长，即可求出圆锥的底面圆的半径。

11.【解析】【解答】解：∵BC与⊙O相切于点B

∴∠CBA=90°

∵sin∠BAC=

设BC=X，AC=3x

∴AB=

∴AO=OB= AB= x

∴tan∠BOC=

故答案为：

【分析】利用切线的性质，可知∠CBA=90°，再利用锐角三角函数的定义设BC=X，AC=3x，利用勾股定理用含x的代数式表示出AB，OB的长，然后就可求出tan∠BOC的值。

12.【解析】【解答】解：如图，连接OB，

∵OA=OB，OA=BC，
∴BC=OC=2，
∵BC为切线，
∴OB⊥BC，
∴OC=，
当AC为斜边，
∠AOC=90°，
∴AC=，
当OC为斜边，
OC=2.
故答案为： 2  或2 .

【分析】连接OB，利用切线的性质，结合同圆的半径相等，利用勾股定理求出OC的长，然后在△AOC中，分别设OC和AC为斜边求值即可.

三、综合题

13.【解析】【分析】（1）利用垂径定理以及圆周角定理解决问题即可．（2）证明△AEC∽△BCA  ， 推出 ，求出EC即可解决问题．

14.【解析】【分析】（1）想办法证明∠BEF＝90°即可解决问题（也可以利用圆内接四边形的性质直接证明）．（2）根据两角对应相等两三角形相似证明．（3）证明四边形AFBE是平行四边形，推出FJ＝ BD＝ ，EF＝m，由△ABC∽△CBM，可得BM＝ ，由△BEJ∽△BME，可得BE＝ ，由△BEF∽△BCA，推出 ，由此构建方程求解即可．

15.【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可得到∠DBC=∠ABC，再利用同弧所对的圆周角相等，可得到∠CAD=∠DBC，据此可证得结论。
（2）利用∠CAD=∠ABC，可证得弧CD和半圆的关系，根据圆的直径可得到圆的半径长，然后就可求出弧CD的长。

16.【解析】【分析】分析小明同学的证明过程可知有两边对应相等的两三角形不一定全等，由此可作出判断；利用切线的性质，可证得OC⊥AB，再利用等腰三角形的三线合一的性质，可证得结论。

17.【解析】【分析】（1）在Rt△AOC中， 由AC＝AO·sin∠AOC，可求出AC=， 根据垂径定理可得 AB＝2AC＝2 ；
（2） 根据等腰三角形的性质可得∠AOB＝2∠AOC＝120°，直接利用弧长公式即可求出结论.

18.【解析】【分析】（1）利用垂径定理及直角三角形的性质，就看求出AE的长，即可求出AB的长，利用圆周角定理可证得∠ABC=90°，利用直角三角形的性质及等边三角形的判定，可证得△OBC为等边三角形，利用等边三角形的性质，然后求出EF的长。
（2）①易证MF是△OBC的中位线，利用已知易证MF和BC的数量关系和位置关系，再证明OE和BC的数量关系和位置关系，由此可证得MF平行且等于OE，由此可以推出OEMF是平行四边形，利用平行四边形的性质，可证得结论；②延长FM交AB于点N，利用已知易证OE∥FN∥BC，利用平行线分线段成比例定理可证得EN=NB，利用线段垂直平分线的判定和性质，可证得BF=EF，然后证明△AOB是等腰直角三角形，由此可求出∠BAC的度数。