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2020年江苏省中考数学分类汇编专题08 二次函数
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这是一份2020年江苏省中考数学分类汇编专题08 二次函数，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020年江苏省中考数学分类汇编专题08 二次函数
一、单选题（共2题；共4分）
1.（2020·宿迁）将二次函数y=(x﹣1)2+2的图象向上平移3个单位长度，得到的拋物线相应的函数表达式为( )
A. y=(x+2)2﹣2 B. y=(x﹣4)2+2 C. y=(x﹣1)2﹣1 D. y=(x﹣1)2+5
2.（2020·镇江）点P(m，n)在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上.则m﹣n的最大值等于（ ）
A. B. 4 C. ﹣ D. ﹣
二、填空题（共4题；共4分）
3.（2020·无锡）请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为 轴：________.
4.（2020·无锡）二次函数 的图像过点 ，且与y轴交于点B，点M在该抛物线的对称轴上，若 是以 为直角边的直角三角形，则点M的坐标为________.
5.（2020·南京）下列关于二次函数 （ 为常数）的结论，①该函数的图象与函数 的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点 ；③当 时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数 的图像上，其中所有正确的结论序号是________.
6.（2020·连云港）加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率 与加工时间 （单位： ）满足函数表达式 ，则最佳加工时间为________ .
三、解答题（共15题；共186分）
7.（2020·徐州）如图在平面直角坐标系中，一次函数 的图像经过点 、 交反比例函数 的图像于点 ，点 在反比例函数的图像上，横坐标为 ， 轴交直线 于点 ， 是 轴上任意一点，连接 、 .
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求 面积的最大值.
8.（2020·宿迁）某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：
销售单价x（元/千克）
55
60
65
70
销售量y（千克）
70
60
50
40
（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；
（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？
（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
9.（2020·盐城）若二次函数 的图像与x轴有两个交点 ，且经过点 过点A的直线l与x轴交于点 与该函数的图像交于点B（异于点A）.满足 是等腰直角三角形，记 的面积为 的面积为 ，且 .
（1）抛物线的开口方向________（填“上”或“下”）；
（2）求直线 相应的函数表达式；
（3）求该二次函数的表达式.
10.（2020·无锡）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线 交二次函数 的图像于点A， ，点 在该二次函数的图像上，设过点 （其中 ）且平行于 轴的直线交直线 于点M，交直线 于点N，以线段 、 为邻边作矩形 .
（1）若点A的横坐标为8.
①用含m的代数式表示M的坐标；
②点 能否落在该二次函数的图像上？若能，求出m的值；若不能，请说明理由；
（2）当 时，若点 恰好落在该二次函数的图像上，请直接写出此时满足条件的所有直线 的函数表达式.
11.（2020·南京）小明和小丽先后从A地出发同一直道去B地， 设小丽出发第 时， 小丽、小明离地的距离分别为 、 ， 与x之间的数表达式 ， 与x之间的函数表达式是 .
（1）小丽出发时，小明离A地的距离为________ .
（2）小丽发至小明到达B地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？
12.（2020·徐州）如图，在平面直角坐标系中，函数 的图像交 轴于点 、 ，交 轴于点 ，它的对称轴交 轴于点 .过点 作 轴交抛物线于点 ，连接 并延长交 轴于点 ，交抛物线于点 .直线 交 于点 ，交抛物线于点 ，连接 、 .
备用图
（1）点 的坐标为：________；
（2）当 是直角三角形时，求 的值；
（3）与 有怎样的位置关系？请说明理由.
13.（2020·镇江）如图①，直线l经过点（4，0）且平行于y轴，二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a、c是常数，a＜0）的图象经过点M(﹣1，1)，交直线l于点N，图象的顶点为D，它的对称轴与x轴交于点C，直线DM、DN分别与x轴相交于A、B两点.
（1）当a＝﹣1时，求点N的坐标及 的值；
（2）随着a的变化， 的值是否发生变化？请说明理由；
（3）如图②，E是x轴上位于点B右侧的点，BC＝2BE，DE交抛物线于点F.若FB＝FE，求此时的二次函数表达式.
14.（2020·泰州）如图，二次函数 、 的图像分别为 、 ， 交 轴于点 ，点 在 上，且位于 轴右侧，直线 与 在 轴左侧的交点为 .
（1）若 点的坐标为 ， 的顶点坐标为 ，求 的值；
（2）设直线 与 轴所夹的角为 .
①当 ，且 为 的顶点时，求 的值；
②若 ，试说明：当 、 、 各自取不同的值时， 的值不变；
（3）若 ，试判断点 是否为 的顶点？请说明理由.
15.（2020·宿迁）二次函数 的图象与x轴交于A(2，0)，B(6，0)两点，与y轴交于点C，顶点为E.
（1）求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标；
（2）如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；
（3）如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当△CEQ的面积为12时，求点P的坐标.
16.（2020·南通）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），B（3n﹣4，y1），C（5n+6，y2）三点，对称轴是直线x＝1.关于x的方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若n＜﹣5，试比较y1与y2的大小；
（3）若B，C两点在直线x＝1的两侧，且y1＞y2 ， 求n的取值范围.
17.（2020·无锡）有一块矩形地块 ， 米， 米，为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形 分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为x米.现决定在等腰梯形 和 中种植甲种花卉；在等腰梯形 和 中种植乙种花卉；在矩形 中种植丙种花卉.甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/米 、60 元/米 、40元/米 ，设三种花卉的种植总成本为y元.
（1）当 时，求种植总成本y；
（2）求种植总成本y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（3）若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120米 ，求三种花卉的最低种植总成本.
18.（2020·苏州）如图，二次函数 的图像与 轴正半轴交于点A，平行于x轴的直线l与该抛物线交于B、C两点（点B位于点C左侧），与抛物线对称轴交于点 .
（1）求b的值；
（2）设P、Q是x轴上的点（点P位于点Q左侧），四边形 为平行四边形.过点P、Q分别作x轴的垂线，与抛物线交于点 、 .若 ，求 、 的值.
19.（2020·连云港）在平面直角坐标系 中，把与x轴交点相同的二次函数图像称为“共根抛物线”.如图，抛物线 的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C.抛物线 与 是“共根抛物线”，其顶点为P.
（1）若抛物线 经过点 ，求 对应的函数表达式；
（2）当 的值最大时，求点P的坐标；
（3）设点Q是抛物线 上的一个动点，且位于其对称轴的右侧.若 与 相似，求其“共根抛物线” 的顶点P的坐标.
20.（2020·淮安）如图①，二次函数 的图象与直线l交于 、 两点.点P是x轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线l于点M，交该二次函数的图象于点N，设点P的横坐标为m.
（1）________， ________；
（2）若点N在点M的上方，且 ，求m的值；
（3）将直线 向上平移4个单位长度，分别与x轴、y轴交于点C、D（如图②）.
①记 的面积为 ， 的面积为 ，是否存在m，使得点N在直线 的上方，且满足 ？若存在，求出m及相应的 、 的值；若不存在，请说明理由.
②当 时，将线段 绕点M顺时针旋转 得到线段 ，连接 、 、 ，若 ，直接写出直线 与该二次函数图象交点的横坐标.
21.（2020·常州）如图，二次函数 的图像与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，抛物线过点 ，且顶点为D，连接 、 、 、 .
（1）填空： ________；
（2）点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线 交直线 于点Q.若 ，求点P的坐标；
（3）点E在直线 上，点E关于直线 对称的点为F，点F关于直线 对称的点为G，连接 .当点F在x轴上时，直接写出 的长.
答案解析部分
一、单选题
1.【解析】【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将二次函数 的图象向上平移3个单位长度，
所得抛物线的解析式为： ，即 .
故答案为：D.
【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可.
2.【解析】【解答】解：∵点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上，
∴a＝0，
∴n＝m2+4，
∴m﹣n＝m﹣（m2+4）＝﹣m2+m﹣4＝﹣（m﹣ ）2﹣ ，
∴当m＝ 时，m﹣n取得最大值，此时m﹣n＝﹣ ，
故答案为：C.
【分析】根据题意，可以得到a的值以及m和n的关系，然后将m、n作差，利用二次函数的性质，即可求出m﹣n的最大值.
二、填空题
3.【解析】【解答】解：设函数的表达式为y=ax2+bx+c，
∵图象的对称轴为y轴，
∴对称轴为x= =0，
∴b=0，
∴满足条件的函数可以是： .（答案不唯一）
故答案是：y=x2（答案不唯一）
【分析】根据二次函数的图象和性质，对称轴为 轴，即b=0，写出满足条件的函数解析式即可.
4.【解析】【解答】解：对 ，当x=0时，y=3，∴点B坐标为（0，3），
抛物线 的对称轴是直线： ，
当∠ABM=90°时，如图1，过点M作MF⊥y轴于点F，则 ，
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
又∠MFB=∠BOA=90°，
∴△BFM∽△AOB，
∴ ，即 ，解得：BF=3，
∴OF=6，
∴点M的坐标是（ ，6）；
当∠BAM=90°时，如图2，过点A作EH⊥x轴，过点M作MH⊥EH于点H，过点B作BE⊥EH于点E，
则 ，
同上面的方法可得△BAE∽△AMH，
∴ ，即 ，解得：AH=9，
∴点M的坐标是（ ，﹣9）；
综上，点M的坐标是 或 .
故答案为： 或 .
【分析】先求出点B的坐标和抛物线的对称轴，然后分两种情况讨论：当∠ABM=90°时，如图1，过点M作MF⊥y轴于点F，易证△BFM∽△AOB，然后根据相似三角形的性质可求得BF的长，进而可得点M坐标；当∠BAM=90°时，辅助线的作法如图2，同样根据△BAE∽△AMH求出AH的长，继而可得点M坐标.
5.【解析】【解答】 当 时，将二次函数 的图象先向右平移m个单位长度，再向上平移 个单位长度即可得到二次函数 的图象；当 时，将二次函数 的图象先向左平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度即可得到二次函数 的图象
该函数的图象与函数 的图象形状相同，结论①正确
对于
当 时，
即该函数的图象一定经过点 ，结论②正确
由二次函数的性质可知，当 时，y随x的增大而增大；当 时，y随x的增大而减小
则结论③错误
的顶点坐标为
对于二次函数
当 时，
即该函数的图象的顶点 在函数 的图象上，结论④正确
综上，所有正确的结论序号是①②④
故答案为：①②④.
【分析】①两个二次函数可以通过平移得到，由此即可得两个函数的图象形状相同；②求出当 时，y的值即可得；③根据二次函数的增减性即可得；④先求出二次函数 的顶点坐标，再代入函数 进行验证即可得.
6.【解析】【解答】解：∵ 的对称轴为 （min），
故：最佳加工时间为3.75min，
故答案为：3.75.
【分析】根据二次函数的对称轴公式 直接计算即可.
三、解答题
7.【解析】【分析】（1）利用点 、 求解一次函数的解析式，再求 的坐标，再求反比例函数解析式；（2）设 则 再表示 的长度，列出三角形面积与 的函数关系式，利用函数的性质可得答案.
8.【解析】【分析】（1）利用待定系数法来求一次函数的解析式即可；
（2）根据单件的利润乘以销售的数量=总利润可列出关于销售单价x的方程，然后解一元二次方程即可；
（3）利用每件的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可.
9.【解析】【解答】解：(1)∵抛物线经过点M、N、A，且M、N点在x轴正半轴上，A点在y轴正半轴上，
∴抛物线开口向上，
故答案为：上.
【分析】(1)由抛物线经过点M、N、A点即可确定开口向上；(2)根据 是等腰直角三角形分三种情况讨论，只能是 ，此时 ，由此算出C点坐标，进而求解；(3)过B点作BH⊥x轴，由 得到 ，由OA的长求出BH的长，再将B点纵坐标代入直线l中求出B点坐标，最后将A、B、N三点坐标代入二次函数解析式中求解即可.
10.【解析】【分析】（1）①求出点A的坐标，直线直线 的解析式即可解决问题.②求出直线 的解析式，求出点N的坐标，利用矩形的性质求出点P的坐标，再利用待定系数法求出 的值即可.（2）分两种情形：①当点A在y轴的右侧时，设 ，求出点P的坐标利用待定系数法构建方程求出a即可.②当点A在y轴的左侧时，即为①中点B的位置，利用①中结论即可解决问题.
11.【解析】【解答】解：（1）当x=0时， =2250， =2000
∴ - =2250-2000=250（m）
故答案为：250
【分析】（1）由x=0时，根据 - 求得结果即可；（2）求出两人相距的函数表达式，求出最小值即可.
12.【解析】【解答】解：(1)由题意可知，抛物线的对称轴为 ，
∴E点的坐标为(1,0)，
故答案为(1,0)
【分析】(1)根据二次函数的对称轴为 ，代入即可求出E点坐标；(2)将ED、AF的解析式用 的代数式表示，然后由DE解析式令y=0求出F点坐标，由AF解析式令y= 求出H点坐标，再根据△HEF是直角三角形分哪个顶点为直角顶点进行讨论，由勾股定理求解即可；(3)直线DE和抛物线联立方程组求出G点坐标，直线AF和抛物线联立方程组求出K点坐标，最后计算直线GK的 和直线HE的 相等即可求解.
13.【解析】【分析】（1）证明△DME∽△DAC，△DCB∽△DFN，则 ， ，求出AC＝ ，BC＝ ，即可求解；（2）点D(1，1﹣4a)，N(4，1+5a)，则ME＝2，DE＝﹣4a，由（1）的结论得：AC＝ ，BC＝ ，即可求解；（3）利用△FHE∽△DCE，求出F( ﹣ ， ﹣ )，即可求解.
14.【解析】【分析】（1）将 的顶点坐标为 和点P的坐标代入 中即可解答；（2）①如图所示，过点A作AM⊥y轴于点M，得到△MAP为等腰直角三角形，从而确定P（0，n-m），代入 化简即可；②将x=0代入 ，得到 ，再求出A，B的坐标，表达出PA，PB即可解答；（3）如图所示，过点P作CD∥x轴，过点B作BD⊥CD于点D，过点A作AC⊥CD于点C，得到△BDP∽△ACP，设 ，根据PA=2PB，得到CP=2PD=-2x，AC=2BD= ，确定点A的坐标，代入 ，解出x，进而得到 即可.
15.【解析】【分析】(1)由于二次函数的图象与x轴交于A、B两点,把A，B两点坐标代入 ，计算出a的值即可求出抛物线解析式，由配方法求出E点坐标；
(2)由线段垂直平分线的性质可得出CB=CD，设D(4，m)，由勾股定理可得 = ，解方程可得出答案；
(3)设CQ交抛物线的对称轴于点M，设P( ， )，则Q( ， )，设直线CQ的解析式为 ，则 ，解得 ，求出M( ， )，ME= ，由面积公式可求出n的值，则可得出答案.
16.【解析】【分析】（1）由题意可得0=4a+2b+c①， ②，△=（b-1）2-4ac=0③，联立方程组可求a，b，c，可求解析式；
（2）由n＜-5，可得点B，点C在对称轴直线x=1的左侧，由二次函数的性质可求解；
（3）分两种情况讨论，列出不等式组可求解.
17.【解析】【分析】（1）根据 ，即可求解；（2）参考（1），由题意得： ；（3） ， ，则 ，即可求解.
18.【解析】【分析】（1）根据直线 与抛物线对称轴交于点 可得对称轴为直线 ，由此即可求得b 的值；（2）先求得点B、C的坐标，可得 ，再根据四边形 为平行四边形可得 ，即 ，最后根据 ， ， 可得 或 ，由此分别与 联立方程组求解即可.
19.【解析】【分析】（1）由“共根抛物线”定义可知抛物线 经过抛物线 与x轴交点，故根据抛物线 可求AB两点坐标进而由交点式设 为 ，将点 代入，即可求出解；（2）由抛物线对称性可知PA=PB，∴ ，根据三角形两边之差小于第三边可知当当 、 、 三点共线时， 的值最大，而P点在对称轴为 上，由此求出点P坐标；（3）根据点ABC坐标可证明△ABC为直角三角形， 与 相似，分两种情况讨论：当 、 时，分别利用对应边成比例求解即可.
20.【解析】【解答】解：（1）把 代入抛物线 ，得 ，解得：b=1，
∴抛物线的解析式是： ，
∵点 在抛物线上，
∴ ，
故答案为：1，﹣2；
【分析】（1）把点A的坐标代入抛物线解析式即可求出b，于是可得抛物线的解析式，再把点B的坐标代入抛物线的解析式即可求出n；
（2）先利用待定系数法求出直线AB的解析式，由点P（m，0），则点M、N的坐标可得，于是MN的长可用含m的代数式表示，由MN=3可得关于m的方程，解方程即可求出m的值；
（3）①易求出平移后直线CD的解析式，进而可得点C坐标，然后利用待定系数法分别求出直线AC和直线NC的解析式，设直线MN交AC于点F，过点B作BE⊥x轴交直线NC于点E，如图2，然后即可用含m的代数式表示出 S1和 S2 ， 由S1-S2=6 可得关于m的方程，解方程即可求出m，进一步即可求出结果；②当旋转后点F在点C左侧时，过点B作BQ⊥x轴于点Q，过点M作GH∥x轴，作AG⊥GH于点G，作FH⊥GH于点H，交x轴于点K，如图3，根据直线AB的特点和旋转的性质可得△AMG和△FMH是全等的两个等腰直角三角形，进一步即可根据等腰直角三角形的性质和直线上点的坐标特点求得FK=2，由条件∠FBA=∠AOD-∠BFC=45° 根据角的和差和平行线的性质可得∠AOD=∠CFK，然后根据两个角的正切相等即可求出CK的长，于是可得点F的坐标，进而可求出直线OF的解析式，进一步即可求出直线OF与抛物线交点的横坐标；当旋转后点F在点C右侧时，易得满足 的点F不存在，从而可得答案.
21.【解析】【解答】解：（1）∵抛物线过点C（1，0），
∴将C（1，0）代入 得0=1+b+3，
解得b=-4，
故答案为：-4；
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）分点Q在CD上方和点Q在CD下方时，两种情况，结合三角函数，勾股定理等知识求解；
（3）设点C关于BD的对称点为C′，BD中点为点R，直线AC与直线BD交于N′，设C′（p，q），利用点R到点C和点C′的距离相等以及点N′到点C和点C′的距离相等，求出点C′的坐标，从而得到C′N′直线的解析式，从而求出点F坐标，再利用点F和点G关于直线BC对称，结合BC的表达式可求出点G坐标，最后得到AG的长.
2020年江苏省中考数学分类汇编专题08 二次函数
一、单选题（共2题；共4分）
1.（2020·宿迁）将二次函数y=(x﹣1)2+2的图象向上平移3个单位长度，得到的拋物线相应的函数表达式为( )
A. y=(x+2)2﹣2 B. y=(x﹣4)2+2 C. y=(x﹣1)2﹣1 D. y=(x﹣1)2+5
2.（2020·镇江）点P(m，n)在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上.则m﹣n的最大值等于（ ）
A. B. 4 C. ﹣ D. ﹣
二、填空题（共4题；共4分）
3.（2020·无锡）请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为 轴：________.
4.（2020·无锡）二次函数 的图像过点 ，且与y轴交于点B，点M在该抛物线的对称轴上，若 是以 为直角边的直角三角形，则点M的坐标为________.
5.（2020·南京）下列关于二次函数 （ 为常数）的结论，①该函数的图象与函数 的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点 ；③当 时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数 的图像上，其中所有正确的结论序号是________.
6.（2020·连云港）加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率 与加工时间 （单位： ）满足函数表达式 ，则最佳加工时间为________ .
三、解答题（共15题；共186分）
7.（2020·徐州）如图在平面直角坐标系中，一次函数 的图像经过点 、 交反比例函数 的图像于点 ，点 在反比例函数的图像上，横坐标为 ， 轴交直线 于点 ， 是 轴上任意一点，连接 、 .
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求 面积的最大值.
8.（2020·宿迁）某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：
销售单价x（元/千克）
55
60
65
70
销售量y（千克）
70
60
50
40
（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；
（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？
（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
9.（2020·盐城）若二次函数 的图像与x轴有两个交点 ，且经过点 过点A的直线l与x轴交于点 与该函数的图像交于点B（异于点A）.满足 是等腰直角三角形，记 的面积为 的面积为 ，且 .
（1）抛物线的开口方向________（填“上”或“下”）；
（2）求直线 相应的函数表达式；
（3）求该二次函数的表达式.
10.（2020·无锡）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线 交二次函数 的图像于点A， ，点 在该二次函数的图像上，设过点 （其中 ）且平行于 轴的直线交直线 于点M，交直线 于点N，以线段 、 为邻边作矩形 .
（1）若点A的横坐标为8.
①用含m的代数式表示M的坐标；
②点 能否落在该二次函数的图像上？若能，求出m的值；若不能，请说明理由；
（2）当 时，若点 恰好落在该二次函数的图像上，请直接写出此时满足条件的所有直线 的函数表达式.
11.（2020·南京）小明和小丽先后从A地出发同一直道去B地， 设小丽出发第 时， 小丽、小明离地的距离分别为 、 ， 与x之间的数表达式 ， 与x之间的函数表达式是 .
（1）小丽出发时，小明离A地的距离为________ .
（2）小丽发至小明到达B地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？
12.（2020·徐州）如图，在平面直角坐标系中，函数 的图像交 轴于点 、 ，交 轴于点 ，它的对称轴交 轴于点 .过点 作 轴交抛物线于点 ，连接 并延长交 轴于点 ，交抛物线于点 .直线 交 于点 ，交抛物线于点 ，连接 、 .
备用图
（1）点 的坐标为：________；
（2）当 是直角三角形时，求 的值；
（3）与 有怎样的位置关系？请说明理由.
13.（2020·镇江）如图①，直线l经过点（4，0）且平行于y轴，二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a、c是常数，a＜0）的图象经过点M(﹣1，1)，交直线l于点N，图象的顶点为D，它的对称轴与x轴交于点C，直线DM、DN分别与x轴相交于A、B两点.
（1）当a＝﹣1时，求点N的坐标及 的值；
（2）随着a的变化， 的值是否发生变化？请说明理由；
（3）如图②，E是x轴上位于点B右侧的点，BC＝2BE，DE交抛物线于点F.若FB＝FE，求此时的二次函数表达式.
14.（2020·泰州）如图，二次函数 、 的图像分别为 、 ， 交 轴于点 ，点 在 上，且位于 轴右侧，直线 与 在 轴左侧的交点为 .
（1）若 点的坐标为 ， 的顶点坐标为 ，求 的值；
（2）设直线 与 轴所夹的角为 .
①当 ，且 为 的顶点时，求 的值；
②若 ，试说明：当 、 、 各自取不同的值时， 的值不变；
（3）若 ，试判断点 是否为 的顶点？请说明理由.
15.（2020·宿迁）二次函数 的图象与x轴交于A(2，0)，B(6，0)两点，与y轴交于点C，顶点为E.
（1）求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标；
（2）如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；
（3）如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当△CEQ的面积为12时，求点P的坐标.
16.（2020·南通）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），B（3n﹣4，y1），C（5n+6，y2）三点，对称轴是直线x＝1.关于x的方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若n＜﹣5，试比较y1与y2的大小；
（3）若B，C两点在直线x＝1的两侧，且y1＞y2 ， 求n的取值范围.
17.（2020·无锡）有一块矩形地块 ， 米， 米，为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形 分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为x米.现决定在等腰梯形 和 中种植甲种花卉；在等腰梯形 和 中种植乙种花卉；在矩形 中种植丙种花卉.甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/米 、60 元/米 、40元/米 ，设三种花卉的种植总成本为y元.
（1）当 时，求种植总成本y；
（2）求种植总成本y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（3）若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120米 ，求三种花卉的最低种植总成本.
18.（2020·苏州）如图，二次函数 的图像与 轴正半轴交于点A，平行于x轴的直线l与该抛物线交于B、C两点（点B位于点C左侧），与抛物线对称轴交于点 .
（1）求b的值；
（2）设P、Q是x轴上的点（点P位于点Q左侧），四边形 为平行四边形.过点P、Q分别作x轴的垂线，与抛物线交于点 、 .若 ，求 、 的值.
19.（2020·连云港）在平面直角坐标系 中，把与x轴交点相同的二次函数图像称为“共根抛物线”.如图，抛物线 的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C.抛物线 与 是“共根抛物线”，其顶点为P.
（1）若抛物线 经过点 ，求 对应的函数表达式；
（2）当 的值最大时，求点P的坐标；
（3）设点Q是抛物线 上的一个动点，且位于其对称轴的右侧.若 与 相似，求其“共根抛物线” 的顶点P的坐标.
20.（2020·淮安）如图①，二次函数 的图象与直线l交于 、 两点.点P是x轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线l于点M，交该二次函数的图象于点N，设点P的横坐标为m.
（1）________， ________；
（2）若点N在点M的上方，且 ，求m的值；
（3）将直线 向上平移4个单位长度，分别与x轴、y轴交于点C、D（如图②）.
①记 的面积为 ， 的面积为 ，是否存在m，使得点N在直线 的上方，且满足 ？若存在，求出m及相应的 、 的值；若不存在，请说明理由.
②当 时，将线段 绕点M顺时针旋转 得到线段 ，连接 、 、 ，若 ，直接写出直线 与该二次函数图象交点的横坐标.
21.（2020·常州）如图，二次函数 的图像与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，抛物线过点 ，且顶点为D，连接 、 、 、 .
（1）填空： ________；
（2）点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线 交直线 于点Q.若 ，求点P的坐标；
（3）点E在直线 上，点E关于直线 对称的点为F，点F关于直线 对称的点为G，连接 .当点F在x轴上时，直接写出 的长.
答案解析部分
一、单选题
1.【解析】【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将二次函数 的图象向上平移3个单位长度，
所得抛物线的解析式为： ，即 .
故答案为：D.
【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可.
2.【解析】【解答】解：∵点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上，
∴a＝0，
∴n＝m2+4，
∴m﹣n＝m﹣（m2+4）＝﹣m2+m﹣4＝﹣（m﹣ ）2﹣ ，
∴当m＝ 时，m﹣n取得最大值，此时m﹣n＝﹣ ，
故答案为：C.
【分析】根据题意，可以得到a的值以及m和n的关系，然后将m、n作差，利用二次函数的性质，即可求出m﹣n的最大值.
二、填空题
3.【解析】【解答】解：设函数的表达式为y=ax2+bx+c，
∵图象的对称轴为y轴，
∴对称轴为x= =0，
∴b=0，
∴满足条件的函数可以是： .（答案不唯一）
故答案是：y=x2（答案不唯一）
【分析】根据二次函数的图象和性质，对称轴为 轴，即b=0，写出满足条件的函数解析式即可.
4.【解析】【解答】解：对 ，当x=0时，y=3，∴点B坐标为（0，3），
抛物线 的对称轴是直线： ，
当∠ABM=90°时，如图1，过点M作MF⊥y轴于点F，则 ，
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
又∠MFB=∠BOA=90°，
∴△BFM∽△AOB，
∴ ，即 ，解得：BF=3，
∴OF=6，
∴点M的坐标是（ ，6）；
当∠BAM=90°时，如图2，过点A作EH⊥x轴，过点M作MH⊥EH于点H，过点B作BE⊥EH于点E，
则 ，
同上面的方法可得△BAE∽△AMH，
∴ ，即 ，解得：AH=9，
∴点M的坐标是（ ，﹣9）；
综上，点M的坐标是 或 .
故答案为： 或 .
【分析】先求出点B的坐标和抛物线的对称轴，然后分两种情况讨论：当∠ABM=90°时，如图1，过点M作MF⊥y轴于点F，易证△BFM∽△AOB，然后根据相似三角形的性质可求得BF的长，进而可得点M坐标；当∠BAM=90°时，辅助线的作法如图2，同样根据△BAE∽△AMH求出AH的长，继而可得点M坐标.
5.【解析】【解答】 当 时，将二次函数 的图象先向右平移m个单位长度，再向上平移 个单位长度即可得到二次函数 的图象；当 时，将二次函数 的图象先向左平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度即可得到二次函数 的图象
该函数的图象与函数 的图象形状相同，结论①正确
对于
当 时，
即该函数的图象一定经过点 ，结论②正确
由二次函数的性质可知，当 时，y随x的增大而增大；当 时，y随x的增大而减小
则结论③错误
的顶点坐标为
对于二次函数
当 时，
即该函数的图象的顶点 在函数 的图象上，结论④正确
综上，所有正确的结论序号是①②④
故答案为：①②④.
【分析】①两个二次函数可以通过平移得到，由此即可得两个函数的图象形状相同；②求出当 时，y的值即可得；③根据二次函数的增减性即可得；④先求出二次函数 的顶点坐标，再代入函数 进行验证即可得.
6.【解析】【解答】解：∵ 的对称轴为 （min），
故：最佳加工时间为3.75min，
故答案为：3.75.
【分析】根据二次函数的对称轴公式 直接计算即可.
三、解答题
7.【解析】【分析】（1）利用点 、 求解一次函数的解析式，再求 的坐标，再求反比例函数解析式；（2）设 则 再表示 的长度，列出三角形面积与 的函数关系式，利用函数的性质可得答案.
8.【解析】【分析】（1）利用待定系数法来求一次函数的解析式即可；
（2）根据单件的利润乘以销售的数量=总利润可列出关于销售单价x的方程，然后解一元二次方程即可；
（3）利用每件的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可.
9.【解析】【解答】解：(1)∵抛物线经过点M、N、A，且M、N点在x轴正半轴上，A点在y轴正半轴上，
∴抛物线开口向上，
故答案为：上.
【分析】(1)由抛物线经过点M、N、A点即可确定开口向上；(2)根据 是等腰直角三角形分三种情况讨论，只能是 ，此时 ，由此算出C点坐标，进而求解；(3)过B点作BH⊥x轴，由 得到 ，由OA的长求出BH的长，再将B点纵坐标代入直线l中求出B点坐标，最后将A、B、N三点坐标代入二次函数解析式中求解即可.
10.【解析】【分析】（1）①求出点A的坐标，直线直线 的解析式即可解决问题.②求出直线 的解析式，求出点N的坐标，利用矩形的性质求出点P的坐标，再利用待定系数法求出 的值即可.（2）分两种情形：①当点A在y轴的右侧时，设 ，求出点P的坐标利用待定系数法构建方程求出a即可.②当点A在y轴的左侧时，即为①中点B的位置，利用①中结论即可解决问题.
11.【解析】【解答】解：（1）当x=0时， =2250， =2000
∴ - =2250-2000=250（m）
故答案为：250
【分析】（1）由x=0时，根据 - 求得结果即可；（2）求出两人相距的函数表达式，求出最小值即可.
12.【解析】【解答】解：(1)由题意可知，抛物线的对称轴为 ，
∴E点的坐标为(1,0)，
故答案为(1,0)
【分析】(1)根据二次函数的对称轴为 ，代入即可求出E点坐标；(2)将ED、AF的解析式用 的代数式表示，然后由DE解析式令y=0求出F点坐标，由AF解析式令y= 求出H点坐标，再根据△HEF是直角三角形分哪个顶点为直角顶点进行讨论，由勾股定理求解即可；(3)直线DE和抛物线联立方程组求出G点坐标，直线AF和抛物线联立方程组求出K点坐标，最后计算直线GK的 和直线HE的 相等即可求解.
13.【解析】【分析】（1）证明△DME∽△DAC，△DCB∽△DFN，则 ， ，求出AC＝ ，BC＝ ，即可求解；（2）点D(1，1﹣4a)，N(4，1+5a)，则ME＝2，DE＝﹣4a，由（1）的结论得：AC＝ ，BC＝ ，即可求解；（3）利用△FHE∽△DCE，求出F( ﹣ ， ﹣ )，即可求解.
14.【解析】【分析】（1）将 的顶点坐标为 和点P的坐标代入 中即可解答；（2）①如图所示，过点A作AM⊥y轴于点M，得到△MAP为等腰直角三角形，从而确定P（0，n-m），代入 化简即可；②将x=0代入 ，得到 ，再求出A，B的坐标，表达出PA，PB即可解答；（3）如图所示，过点P作CD∥x轴，过点B作BD⊥CD于点D，过点A作AC⊥CD于点C，得到△BDP∽△ACP，设 ，根据PA=2PB，得到CP=2PD=-2x，AC=2BD= ，确定点A的坐标，代入 ，解出x，进而得到 即可.
15.【解析】【分析】(1)由于二次函数的图象与x轴交于A、B两点,把A，B两点坐标代入 ，计算出a的值即可求出抛物线解析式，由配方法求出E点坐标；
(2)由线段垂直平分线的性质可得出CB=CD，设D(4，m)，由勾股定理可得 = ，解方程可得出答案；
(3)设CQ交抛物线的对称轴于点M，设P( ， )，则Q( ， )，设直线CQ的解析式为 ，则 ，解得 ，求出M( ， )，ME= ，由面积公式可求出n的值，则可得出答案.
16.【解析】【分析】（1）由题意可得0=4a+2b+c①， ②，△=（b-1）2-4ac=0③，联立方程组可求a，b，c，可求解析式；
（2）由n＜-5，可得点B，点C在对称轴直线x=1的左侧，由二次函数的性质可求解；
（3）分两种情况讨论，列出不等式组可求解.
17.【解析】【分析】（1）根据 ，即可求解；（2）参考（1），由题意得： ；（3） ， ，则 ，即可求解.
18.【解析】【分析】（1）根据直线 与抛物线对称轴交于点 可得对称轴为直线 ，由此即可求得b 的值；（2）先求得点B、C的坐标，可得 ，再根据四边形 为平行四边形可得 ，即 ，最后根据 ， ， 可得 或 ，由此分别与 联立方程组求解即可.
19.【解析】【分析】（1）由“共根抛物线”定义可知抛物线 经过抛物线 与x轴交点，故根据抛物线 可求AB两点坐标进而由交点式设 为 ，将点 代入，即可求出解；（2）由抛物线对称性可知PA=PB，∴ ，根据三角形两边之差小于第三边可知当当 、 、 三点共线时， 的值最大，而P点在对称轴为 上，由此求出点P坐标；（3）根据点ABC坐标可证明△ABC为直角三角形， 与 相似，分两种情况讨论：当 、 时，分别利用对应边成比例求解即可.
20.【解析】【解答】解：（1）把 代入抛物线 ，得 ，解得：b=1，
∴抛物线的解析式是： ，
∵点 在抛物线上，
∴ ，
故答案为：1，﹣2；
【分析】（1）把点A的坐标代入抛物线解析式即可求出b，于是可得抛物线的解析式，再把点B的坐标代入抛物线的解析式即可求出n；
（2）先利用待定系数法求出直线AB的解析式，由点P（m，0），则点M、N的坐标可得，于是MN的长可用含m的代数式表示，由MN=3可得关于m的方程，解方程即可求出m的值；
（3）①易求出平移后直线CD的解析式，进而可得点C坐标，然后利用待定系数法分别求出直线AC和直线NC的解析式，设直线MN交AC于点F，过点B作BE⊥x轴交直线NC于点E，如图2，然后即可用含m的代数式表示出 S1和 S2 ， 由S1-S2=6 可得关于m的方程，解方程即可求出m，进一步即可求出结果；②当旋转后点F在点C左侧时，过点B作BQ⊥x轴于点Q，过点M作GH∥x轴，作AG⊥GH于点G，作FH⊥GH于点H，交x轴于点K，如图3，根据直线AB的特点和旋转的性质可得△AMG和△FMH是全等的两个等腰直角三角形，进一步即可根据等腰直角三角形的性质和直线上点的坐标特点求得FK=2，由条件∠FBA=∠AOD-∠BFC=45° 根据角的和差和平行线的性质可得∠AOD=∠CFK，然后根据两个角的正切相等即可求出CK的长，于是可得点F的坐标，进而可求出直线OF的解析式，进一步即可求出直线OF与抛物线交点的横坐标；当旋转后点F在点C右侧时，易得满足 的点F不存在，从而可得答案.
21.【解析】【解答】解：（1）∵抛物线过点C（1，0），
∴将C（1，0）代入 得0=1+b+3，
解得b=-4，
故答案为：-4；
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）分点Q在CD上方和点Q在CD下方时，两种情况，结合三角函数，勾股定理等知识求解；
（3）设点C关于BD的对称点为C′，BD中点为点R，直线AC与直线BD交于N′，设C′（p，q），利用点R到点C和点C′的距离相等以及点N′到点C和点C′的距离相等，求出点C′的坐标，从而得到C′N′直线的解析式，从而求出点F坐标，再利用点F和点G关于直线BC对称，结合BC的表达式可求出点G坐标，最后得到AG的长.
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