08解答题提升题知识点分类-浙江省2022年各地区中考数学真题分类汇编

这是一份08解答题提升题知识点分类-浙江省2022年各地区中考数学真题分类汇编，共40页。试卷主要包含了的图象上，且x2﹣x1＝3等内容，欢迎下载使用。

08解答题提升题知识点分类-浙江省2022年各地区中考数学真题分类汇编
一．二次函数的应用（共1小题）
1．（2022•台州）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位：m）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3m，竖直高度为EF的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到l的距离OD为d（单位：m）．
（1）若h＝1.5，EF＝0.5m．
①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；
②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围．
（2）若EF＝1m．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出h的最小值．

二．二次函数综合题（共4小题）
2．（2022•嘉兴）已知抛物线L1：y＝a（x+1）2﹣4（a≠0）经过点A（1，0）．
（1）求抛物线L1的函数表达式．
（2）将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值．
（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，若点B（1，y1），C（3，y2）在抛物线L3上，且y1＞y2，求n的取值范围．
3．（2022•湖州）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一个点D．
（1）①求点A，B，C的坐标；
②求b，c的值．
（2）若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示）．当点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP＝m，CM＝n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值．

4．（2022•舟山）已知抛物线L1：y＝a（x+1）2﹣4（a≠0）经过点A（1，0）．
（1）求抛物线L1的函数表达式．
（2）将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值．
（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3．已知点P（8﹣t，s），Q（t﹣4，r）都在抛物线L3上，若当t＞6时，都有s＞r，求n的取值范围．
5．（2022•丽水）如图，已知点M（x1，y1），N（x2，y2）在二次函数y＝a（x﹣2）2﹣1（a＞0）的图象上，且x2﹣x1＝3．
（1）若二次函数的图象经过点（3，1）．
①求这个二次函数的表达式；
②若y1＝y2，求顶点到MN的距离；
（2）当x1≤x≤x2时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围．

三．三角形综合题（共2小题）
6．（2022•嘉兴）小东在做九上课本123页习题：“1：也是一个很有趣的比．已知线段AB（如图1），用直尺和圆规作AB上的一点P，使AP：AB＝1：．”小东的作法是：如图2，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，再以点A为圆心，AC长为半径作弧，交线段AB于点P，点P即为所求作的点．小东称点P为线段AB的“趣点”．
（1）你赞同他的作法吗？请说明理由．
（2）小东在此基础上进行了如下操作和探究：连结CP，点D为线段AC上的动点，点E在AB的上方，构造△DPE，使得△DPE∽△CPB．
①如图3，当点D运动到点A时，求∠CPE的度数．
②如图4，DE分别交CP，CB于点M，N，当点D为线段AC的“趣点”时（CD＜AD），猜想：点N是否为线段ME的“趣点”？并说明理由．


7．（2022•绍兴）如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E．P是边BC上的动点（不与B，C重合），连结AP，将△APC沿AP翻折得△APD，连结DC，记∠BCD＝α．
（1）如图，当P与E重合时，求α的度数．
（2）当P与E不重合时，记∠BAD＝β，探究α与β的数量关系．

四．四边形综合题（共2小题）
8．（2022•台州）图1中有四条优美的“螺旋折线”，它们是怎样画出来的呢？如图2，在正方形ABCD各边上分别取点B1，C1，D1，A1，使AB1＝BC1＝CD1＝DA1＝AB，依次连接它们，得到四边形A1B1C1D1；再在四边形A1B1C1D1各边上分别取点B2，C2，D2，A2，使A1B2＝B1C2＝C1D2＝D1A2＝A1B1，依次连接它们，得到四边形A2B2C2D2；……如此继续下去，得到四条螺旋折线．

（1）求证：四边形A1B1C1D1是正方形．
（2）求的值．
（3）请研究螺旋折线BB1B2B3…中相邻线段之间的关系，写出一个正确结论并加以证明．
9．（2022•金华）如图，在菱形ABCD中，AB＝10，sinB＝，点E从点B出发沿折线B﹣C﹣D向终点D运动．过点E作点E所在的边（BC或CD）的垂线，交菱形其它的边于点F，在EF的右侧作矩形EFGH．
（1）如图1，点G在AC上．求证：FA＝FG．
（2）若EF＝FG，当EF过AC中点时，求AG的长．
（3）已知FG＝8，设点E的运动路程为s．当s满足什么条件时，以G，C，H为顶点的三角形与△BEF相似（包括全等）？


五．圆的综合题（共4小题）
10．（2022•宁波）如图1，⊙O为锐角三角形ABC的外接圆，点D在上，AD交BC于点E，点F在AE上，满足∠AFB﹣∠BFD＝∠ACB，FG∥AC交BC于点G，BE＝FG，连结BD，DG．设∠ACB＝α．
（1）用含α的代数式表示∠BFD．
（2）求证：△BDE≌△FDG．
（3）如图2，AD为⊙O的直径．
①当的长为2时，求的长．
②当OF：OE＝4：11时，求cosα的值．


11．（2022•温州）如图1，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆于点D，BE⊥CD，交CD延长线于点E，交半圆于点F，已知BC＝5，BE＝3，点P，Q分别在线段AB，BE上（不与端点重合），且满足＝．设BQ＝x，CP＝y．
（1）求半圆O的半径．
（2）求y关于x的函数表达式．
（3）如图2，过点P作PR⊥CE于点R，连结PQ，RQ．
①当△PQR为直角三角形时，求x的值．
②作点F关于QR的对称点F′，当点F′落在BC上时，求的值．

12．（2022•舟山）如图1，在正方形ABCD中，点F，H分别在边AD，AB上，连结AC，FH交于点E，已知CF＝CH．
（1）线段AC与FH垂直吗？请说明理由．
（2）如图2，过点A，H，F的圆交CF于点P，连结PH交AC于点K．求证：＝．
（3）如图3，在（2）的条件下，当点K是线段AC的中点时，求的值．
13．（2022•丽水）如图，以AB为直径的⊙O与AH相切于点A，点C在AB左侧圆弧上，弦CD⊥AB交⊙O于点D，连结AC，AD．点A关于CD的对称点为E，直线CE交⊙O于点F，交AH于点G．
（1）求证：∠CAG＝∠AGC；
（2）当点E在AB上，连结AF交CD于点P，若＝，求的值；
（3）当点E在射线AB上，AB＝2，以点A，C，O，F为顶点的四边形中有一组对边平行时，求AE的长．

六．相似形综合题（共1小题）
14．（2022•宁波）【基础巩固】
（1）如图1，在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE∥BC，BF＝CF，AF交DE于点G，求证：DG＝EG．
【尝试应用】
（2）如图2，在（1）的条件下，连结CD，CG．若CG⊥DE，CD＝6，AE＝3，求的值．
【拓展提高】
（3）如图3，在▱ABCD中，∠ADC＝45°，AC与BD交于点O，E为AO上一点，EG∥BD交AD于点G，EF⊥EG交BC于点F．若∠EGF＝40°，FG平分∠EFC，FG＝10，求BF的长．


七．解直角三角形的应用（共1小题）
15．（2022•舟山）小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图2，已知AD＝BE＝10cm，CD＝CE＝5cm，AD⊥CD，BE⊥CE，∠DCE＝40°．
（1）连结DE，求线段DE的长．
（2）求点A，B之间的距离．
（结果精确到0.1cm．参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）


参考答案与试题解析
一．二次函数的应用（共1小题）
1．（2022•台州）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位：m）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3m，竖直高度为EF的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到l的距离OD为d（单位：m）．
（1）若h＝1.5，EF＝0.5m．
①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；
②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围．
（2）若EF＝1m．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出h的最小值．

【解答】解：（1）①如图1，由题意得A（2，2）是上边缘抛物线的顶点，
设y＝a（x﹣2）2+2，
又∵抛物线过点（0，1.5），
∴1.5＝4a+2，
∴a＝﹣，
∴上边缘抛物线的函数解析式为y＝﹣（x﹣2）2+2，
当y＝0时，0＝﹣（x﹣2）2+2，
解得x1＝6，x2＝﹣2（舍去），
∴喷出水的最大射程OC为6cm；
②∵对称轴为直线x＝2，
∴点（0，1.5）的对称点为（4，1.5），
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4cm得到的，
∴点B的坐标为（2，0）；
③∵EF＝0.5，
∴点F的纵坐标为0.5，
∴0.5＝﹣（x﹣2）2+2，
解得x＝2±2，
∵x＞0，
∴x＝2+2，
当x＞2时，y随x的增大而减小，
∴当2≤x≤6时，要使y≥0.5，
则x≤2+2，
∵当0≤x≤2时，y随x的增大而增大，且x＝0时，y＝1.5＞0.5，
∴当0≤x≤6时，要使y≥0.5，则0≤x≤2+2，
∵DE＝3，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
∴d的最大值为2+2﹣3＝2﹣1，
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是OB≤d，
∴d的最小值为2，
综上所述，d的取值范围是2≤d≤2﹣1；
（2）当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D、F恰好分别在两条抛物线上，
故设点D（m，﹣（m+2）2+h+0.5），F（m+3，﹣[（m+3﹣2）2+h+0.5]），
则有﹣（m+3﹣2）2+h+0.5﹣[﹣（m+2）2+h+0.5]＝1，
解得m＝2.5，
∴点D的纵坐标为h﹣，
∴h﹣＝0，
∴h的最小值为．
二．二次函数综合题（共4小题）
2．（2022•嘉兴）已知抛物线L1：y＝a（x+1）2﹣4（a≠0）经过点A（1，0）．
（1）求抛物线L1的函数表达式．
（2）将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值．
（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，若点B（1，y1），C（3，y2）在抛物线L3上，且y1＞y2，求n的取值范围．
【解答】解：（1）∵y＝a（x+1）2﹣4（a≠0）经过点A（1，0），
∴4a﹣4＝0，
∴a＝1，
∴抛物线L1的函数表达式为y＝x2+2x﹣3；

（2）∵y＝（x+1）2﹣4，
∴抛物线的顶点（﹣1，﹣4），
将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点（﹣1，﹣4+m），
而（﹣1，﹣4+m）关于原点的对称点为（1，4﹣m），
把（1，4﹣m）代入y＝x2+2x﹣3得到，1+2﹣3＝4﹣m，
∴m＝4；

（3）抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，的解析式为y＝（x﹣n+1）2﹣4，
∵点B（1，y1），C（3，y2）在抛物线L3上，
∴y1＝（2﹣n）2﹣4，y2＝（4﹣n）2﹣4，
∵y1＞y2，
∴（2﹣n）2﹣4＞（4﹣n）2﹣4，
解得n＞3，
∴n的取值范围为n＞3．
3．（2022•湖州）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一个点D．
（1）①求点A，B，C的坐标；
②求b，c的值．
（2）若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示）．当点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP＝m，CM＝n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值．

【解答】解：（1）①四边形OABC是边长为3的正方形，
∴A（3，0），B（3，3），C（0，3）；
②把A（3，0），C（0，3）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中得：，
解得：；
（2）∵AP⊥PM，
∴∠APM＝90°，
∴∠APB+∠CPM＝90°，
∵∠B＝∠APB+∠BAP＝90°，
∴∠BAP＝∠CPM，
∵∠B＝∠PCM＝90°，
∴△MCP∽△PBA，
∴＝，即＝，
∴3n＝m（3﹣m），
∴n＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+（0≤m≤3），
∵﹣＜0，
∴当m＝时，n的值最大，最大值是．
4．（2022•舟山）已知抛物线L1：y＝a（x+1）2﹣4（a≠0）经过点A（1，0）．
（1）求抛物线L1的函数表达式．
（2）将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值．
（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3．已知点P（8﹣t，s），Q（t﹣4，r）都在抛物线L3上，若当t＞6时，都有s＞r，求n的取值范围．
【解答】解：（1）把A（1，0）代入y＝a（x+1）2﹣4得：
a（1+1）2﹣4＝0，
解得a＝1，
∴y＝（x+1）2﹣4＝x2+2x﹣3；
答：抛物线L1的函数表达式为y＝x2+2x﹣3；
（2）抛物线L1：y＝（x+1）2﹣4的顶点为（﹣1，﹣4），
将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2，则抛物线L2的顶点为（﹣1，﹣4+m），
而（﹣1，﹣4+m）关于原点的对称点为（1，4﹣m），
把（1，4﹣m）代入y＝x2+2x﹣3得：
12+2×1﹣3＝4﹣m，
解得m＝4，
答：m的值为4；
（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，抛物线L3解析式为y＝（x﹣n+1）2﹣4，
∵点P（8﹣t，s），Q（t﹣4，r）都在抛物线L3上，
∴s＝（8﹣t﹣n+1）2﹣4＝（9﹣t﹣n）2﹣4，
r＝（t﹣4﹣n+1）2﹣4＝（t﹣n﹣3）2﹣4，
∵当t＞6时，s＞r，
∴s﹣r＞0，
∴[（9﹣t﹣n）2﹣4]﹣[（t﹣n﹣3）2﹣4]＞0，
整理变形得：（9﹣t﹣n）2﹣（t﹣n﹣3）2＞0，
（9﹣t﹣n+t﹣n﹣3）（9﹣t﹣n﹣t+n+3）＞0，
（6﹣2n）（12﹣2t）＞0，
∵t＞6，
∴12﹣2t＜0，
∴6﹣2n＜0，
解得n＞3，
∴n的取值范围是n＞3．
5．（2022•丽水）如图，已知点M（x1，y1），N（x2，y2）在二次函数y＝a（x﹣2）2﹣1（a＞0）的图象上，且x2﹣x1＝3．
（1）若二次函数的图象经过点（3，1）．
①求这个二次函数的表达式；
②若y1＝y2，求顶点到MN的距离；
（2）当x1≤x≤x2时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围．

【解答】解：（1）①∵二次函数y＝a（x﹣2）2﹣1（a＞0）经过（3，1），
∴1＝a﹣1，
∴a＝2，
∴二次函数的解析式为y＝2（x﹣2）2﹣1；

②∵y1＝y2，
∴M，N关于抛物线的对称轴对称，
∵对称轴是直线x＝2，且x2﹣x1＝3，
∴x1＝，x2＝，
当x＝时，y1＝2×（﹣2）2﹣1＝，
∴当y1＝y2时，顶点到MN的距离＝+1＝；

（2）若M，N在对称轴的异侧，y1≥y2，
∴x1+3＞2，
∴x1＞﹣1，
∵x1﹣x2＝3，
∴x1≤，
∴﹣1＜x1≤，
∵函数的最大值为y1＝a（x1﹣2）2﹣1，最小值为﹣1，
∴y﹣（﹣1）＝1，
∴a＝，
∴≤（x1﹣2）2＜9，
∴＜a≤．
若M，N在对称轴的异侧，y1≤y2，x1＜2，
∵x1＞，
∴＜x1＜2，
∵函数的最大值为y2＝a（x2﹣2）2﹣1，最小值为﹣1，
∴y2﹣（﹣1）＝1，
∴a＝，
∴≤（x1+1）2＜9，
∴＜a≤．
综上所述，＜a≤．
三．三角形综合题（共2小题）
6．（2022•嘉兴）小东在做九上课本123页习题：“1：也是一个很有趣的比．已知线段AB（如图1），用直尺和圆规作AB上的一点P，使AP：AB＝1：．”小东的作法是：如图2，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，再以点A为圆心，AC长为半径作弧，交线段AB于点P，点P即为所求作的点．小东称点P为线段AB的“趣点”．
（1）你赞同他的作法吗？请说明理由．
（2）小东在此基础上进行了如下操作和探究：连结CP，点D为线段AC上的动点，点E在AB的上方，构造△DPE，使得△DPE∽△CPB．
①如图3，当点D运动到点A时，求∠CPE的度数．
②如图4，DE分别交CP，CB于点M，N，当点D为线段AC的“趣点”时（CD＜AD），猜想：点N是否为线段ME的“趣点”？并说明理由．


【解答】解：（1）赞同，理由如下：
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，∠A＝∠B＝45°，
∴cos45°＝，
∵AC＝AP，
∴，
∴点P为线段AB的“趣点”．
（2）①由题意得：∠CAB＝∠B＝45°，
∠ACB＝90°，AC＝AP＝BC，
∴＝67.5°，
∴∠BCP＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∴∠CPB＝180°﹣45°﹣22.5°＝112.5°，
∵△DPE∽△CPB，D，A重合，
∴∠DPE＝∠CPB＝112.5°，
∴∠CPE＝∠DPE+∠CPB﹣180°＝45°；
②点N是线段ME的趣点，理由如下：
当点D为线段AC的趣点时（CD＜AD），
∴，
∵AC＝AP，
∴，
∵，∠A＝∠A，
∴△ADP∽△ACB，
∴∠ADP＝∠ACB＝90°，
∴∠APD＝45°，DP∥CB，
∴∠DPC＝∠PCB＝22.5°＝∠PDE，
∴DM＝PM，
∴∠MDC＝∠MCD＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴MD＝MC，
同理可得MC＝MN，
∴MP＝MD＝MC＝MN，
∵∠MDP＝∠MPD＝22.5°，∠E＝∠B＝45°，
∴∠EMP＝45°，∠MPE＝90°，
∴＝，
∴点N是线段ME的“趣点”．
7．（2022•绍兴）如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E．P是边BC上的动点（不与B，C重合），连结AP，将△APC沿AP翻折得△APD，连结DC，记∠BCD＝α．
（1）如图，当P与E重合时，求α的度数．
（2）当P与E不重合时，记∠BAD＝β，探究α与β的数量关系．

【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝50°，
∵AE平分∠BAC，P与E重合，
∴D在AB边上，AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC＝（180°﹣∠BAC）÷2＝65°，
∴α＝∠ACB﹣∠ACD＝25°；
答：α的度数为25°；
（2）①当点P在线段BE上时，如图：

∵将△APC沿AP翻折得△APD，
∴AC＝AD，
∵∠BCD＝α，∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝∠ACD＝90°﹣α，
又∵∠ADC+∠BAD＝∠B+∠BCD，∠BAD＝β，∠B＝40°，
∴（90°﹣α）+β＝40°+α，
∴2α﹣β＝50°，
②如图2，当点P在线段CE上时，延长AD交BC于点F，如图：

∵将△APC沿AP翻折得△APD，
∴AC＝AD，
∵∠BCD＝α，∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝∠ACD＝90°﹣α，
又∵∠ADC＝∠AFC+∠BCD，∠AFC＝∠ABC+∠BAD，
∴∠ADC＝∠ABC+∠BAD+∠BCD＝40°+β+α，
∴90°﹣α＝40°+α+β，
∴2α+β＝50°；
综上所述，当点P在线段BE上时，2α﹣β＝50°；当点P在线段CE上时，2α+β＝50°．
四．四边形综合题（共2小题）
8．（2022•台州）图1中有四条优美的“螺旋折线”，它们是怎样画出来的呢？如图2，在正方形ABCD各边上分别取点B1，C1，D1，A1，使AB1＝BC1＝CD1＝DA1＝AB，依次连接它们，得到四边形A1B1C1D1；再在四边形A1B1C1D1各边上分别取点B2，C2，D2，A2，使A1B2＝B1C2＝C1D2＝D1A2＝A1B1，依次连接它们，得到四边形A2B2C2D2；……如此继续下去，得到四条螺旋折线．

（1）求证：四边形A1B1C1D1是正方形．
（2）求的值．
（3）请研究螺旋折线BB1B2B3…中相邻线段之间的关系，写出一个正确结论并加以证明．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠B＝90°，
∵AB1＝BC1＝CD1＝DA1＝AB，
∴AA1＝BB1＝AB，
在△A1AB1和△B1BC1中，
，
∴△A1AB1≌△B1BC1（SAS），
∴A1B1＝B1C1，∠AB1A1＝∠BC1B1，
∵∠BB1C1+∠BC1B1＝90°，
∴∠AB1A1+∠BB1C1＝90°，
∴∠A1B1C1＝90°，
同理可证：B1C1＝C1D1＝D1A1，
∴四边形A1B1C1D1是正方形．
（2）解：设AB＝a，
则AB1＝4a，AA1＝a，
由勾股定理得：A1B1＝a，
∴＝＝；
（3）相邻线段的比为或．
证明如下：∵BB1＝AB，B1B2＝A1B1，
∴＝＝，
同理可得：＝，
∴相邻线段的比为或（答案不唯一）．
9．（2022•金华）如图，在菱形ABCD中，AB＝10，sinB＝，点E从点B出发沿折线B﹣C﹣D向终点D运动．过点E作点E所在的边（BC或CD）的垂线，交菱形其它的边于点F，在EF的右侧作矩形EFGH．
（1）如图1，点G在AC上．求证：FA＝FG．
（2）若EF＝FG，当EF过AC中点时，求AG的长．
（3）已知FG＝8，设点E的运动路程为s．当s满足什么条件时，以G，C，H为顶点的三角形与△BEF相似（包括全等）？


【解答】解：（1）如图1中，

∵四边形ABCD是菱形，
∴BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵FG∥BC．
∴∠AGF＝∠ACB，
∴∠AGF＝∠FAG，
∴FA＝FG；

（2）设AO的中点为O．
①如图2中，当点E在BC上时，过点A作AM⊥CB于点M．

在Rt△ABM中，AM＝AB•sinB＝10×＝6，
∴BM＝＝＝8，
∴FG＝EF＝AM＝6，CM＝BC﹣BM＝2，
∵OA＝OC，OE∥AM，
∴CE＝EM＝CM＝1，
∴AF＝EM＝1，
∴AG＝AF+FG＝7．
②如图3中，当点E在CD上时，过点A作AN⊥CD于N．

同法FG＝EF＝AN＝6，CN＝2，AF＝EN＝CN，
∴AG＝FG﹣AF＝6﹣1＝5，
综上所述，满足条件的AG的长为5或7；

（3）过点A作AM⊥BC于点M，AN⊥CD于点N．
①当点E在线段BM上时，0＜s≤8，设EF＝3x，则BE＝4x，GH＝EF＝3x．
a、若点H值点C的左侧，x+8≤10，即0＜x≤2，如图4，

CH＝BC﹣BH＝10﹣（4x+8）＝2﹣4x，
由△GHC∽△FEB，可得＝，即＝，
∴＝，解得x＝，
经检验x＝是分式方程的解，
∴s＝4x＝1．
由△GHC∽△BEF，可得＝，即＝，
∴＝，解得x＝，
∴s＝4x＝．
b、若点H在点C的右侧，s+8＞10，即2＜s≤8，如图5，

CH＝BH﹣BC＝（4x+8）﹣10＝4x﹣2，
由△GHC∽△FEB，可得＝，即＝，
∴＝，方程无解，
由△GHC∽△BEF，可得＝，即＝，
∴＝，解得x＝，
∴s＝4x＝．
②当点E在线段MC上时，8＜s≤10，如图6，

EF＝6，EH＝8，BE＝s，
∴BH＝BE+EH＝s＝8，CH＝BH﹣BC＝s﹣2，
由△GHC∽△FEB，可得＝，即＝，
∴＝，方程无解，
由△GHC∽△FEB，可得＝，即＝，
∴＝，解得s＝1±（舍弃）
③当点E在线段CN上时，10≤x≤12，如图7，过点C作CJ⊥AB于点J，

在Rt△BJC中，BC＝10，CJ＝6，BJ＝8，
∵EH＝BJ＝8，JF＝CE，
∴BJ+JF＝EH+CE，即CH＝BF，
∴△GHC≌△EFB，符合题意，此时10≤s≤12．
④当点E值线段DN上时，12＜s＜20，
∵∠EFB＞90°，
∴△GHC与△BEF不相似．
综上所述．满足条件的s的值为1或或或10≤s≤12．
五．圆的综合题（共4小题）
10．（2022•宁波）如图1，⊙O为锐角三角形ABC的外接圆，点D在上，AD交BC于点E，点F在AE上，满足∠AFB﹣∠BFD＝∠ACB，FG∥AC交BC于点G，BE＝FG，连结BD，DG．设∠ACB＝α．
（1）用含α的代数式表示∠BFD．
（2）求证：△BDE≌△FDG．
（3）如图2，AD为⊙O的直径．
①当的长为2时，求的长．
②当OF：OE＝4：11时，求cosα的值．


【解答】解：（1）∵∠AFB﹣∠BFD＝∠ACB＝α，①
又∵∠AFB+∠BFD＝180°，②
②﹣①，得2∠BFD＝180°﹣α，
∴∠BFD＝90°﹣；
（2）由（1）得∠BFD＝90°﹣，
∵∠ADB＝∠ACB＝α，
∴∠FBD＝180°﹣∠ADB﹣∠BFD＝90°﹣，
∴DB＝DF，
∵FG∥AC，
∴∠CAD＝∠DFG，
∵∠CAD＝∠DBE，
∴∠DFG＝∠DBE，
在△BDE和△FDG中，
，
∴△BDE≌△FDG（SAS）；
（3）①∵△BDE≌△FDG，
∴∠FDG＝∠BDE＝α，
∴∠BDG＝∠BDF+∠EDG＝2α，
∵DE＝DG，
∴∠DGE＝（180°﹣∠FDG）＝90°﹣，
∴∠DBG＝180°﹣∠BDG﹣∠DGE＝90°﹣，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∴∠ABC＝∠ABD﹣∠DBG＝，
∴与所对的圆心角度数之比为3：2，
∴与的长度之比为3：2，
∵＝2，
∴＝3；
②如图，连接BO，

∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB＝α，
∴∠BOF＝∠OBD+∠ODB＝2α，
∵∠BDG＝2α，
∴∠BOF＝∠BDG，
∵∠BGD＝∠BFO＝90°﹣，
∴△BDG∽△BOF，
设△BDG与△BOF的相似比为k，
∴，
∵，
∴设OF＝4x，则OE＝11x，DE＝DG＝4kx，
∴OB＝OD＝OE+DE＝11x+4kx，BD＝DF＝OF+OD＝15x+4kx，
∴＝＝，
由＝k，得4k2+7k﹣15＝0，
解得k＝或﹣3（舍去），
∴OD＝11x+4kx＝16x，BD＝15x+4kx＝20x，
∴AD＝2OD＝32x，
在Rt△ABD中，cos∠ADB＝＝，
∴cosα＝．
11．（2022•温州）如图1，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆于点D，BE⊥CD，交CD延长线于点E，交半圆于点F，已知BC＝5，BE＝3，点P，Q分别在线段AB，BE上（不与端点重合），且满足＝．设BQ＝x，CP＝y．
（1）求半圆O的半径．
（2）求y关于x的函数表达式．
（3）如图2，过点P作PR⊥CE于点R，连结PQ，RQ．
①当△PQR为直角三角形时，求x的值．
②作点F关于QR的对称点F′，当点F′落在BC上时，求的值．

【解答】解：（1）如图1，连接OD，设半径为r，

∵CD切半圆于点D，
∴OD⊥CD，
∵BE⊥CD，
∴OD∥BE，
∴△COD∽△CBE，
∴，
∴，
解得r＝，
∴半圆O的半径为；
（2）由（1）得，CA＝CB﹣AB＝5﹣2×＝，
∵＝，BQ＝x，
∴AP＝，
∴CP＝AP+AC，
∴y＝；
（3）①显然∠PRQ＜90°，所以分两种情形，
当∠RPQ＝90°时，则四边形RPQE是矩形，
∴PR＝QE，
∵PR＝PC×sinC＝，
∴，
∴x＝，
当∠PQR＝90°时，过点P作PH⊥BE于点H，如图，

则四边形PHER是矩形，
∴PH＝RE，EH＝PR，
∵CR＝CP•cosC＝，
∴PH＝RE＝3﹣x＝EQ，
∴∠EQR＝∠ERQ＝45°，
∴∠PQH＝45°＝∠QPH，
∴HQ＝HP＝3﹣x，
由EH＝PR得：（3﹣x）+（3﹣x）＝，
∴x＝，
综上，x的值为或；
②如图，连接AF，QF'，由对称可知QF＝QF'，∠F'QR＝∠EQR＝45°，

∴∠BQF'＝90°，
∴QF＝QF'＝BQ•tanB＝，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∴BF＝AB•cosB＝，
∴，
∴x＝，
∴．
12．（2022•舟山）如图1，在正方形ABCD中，点F，H分别在边AD，AB上，连结AC，FH交于点E，已知CF＝CH．
（1）线段AC与FH垂直吗？请说明理由．
（2）如图2，过点A，H，F的圆交CF于点P，连结PH交AC于点K．求证：＝．
（3）如图3，在（2）的条件下，当点K是线段AC的中点时，求的值．
【解答】（1）解：线段AC与FH垂直，理由如下：
在正方形ABCD中，CD＝CB，∠D＝∠B＝90°，∠DCA＝∠BCA＝45°，
在Rt△DCF和Rt△BCH中
，
∴Rt△DCF≌Rt△BCH（HL），
∴∠DCF＝∠BCH，
∴∠FCA＝∠HCA，
又∵CF＝CH，
∴AC⊥FH；
（2）证明：∵∠DAB＝90°，
∴FH为圆的直径，
∴∠FPH＝90°，
又∵CF＝CH，AC⊥FH，
∴点E为FH的中点，
∴∠CFD＝∠KHA，
又∵Rt△DCF≌Rt△BCH，
∴∠CFD＝∠CHB，
∴∠KHA＝∠CHB，
过点K作KM⊥AH，交AH于点M，

∴∠KMH＝∠B＝90°，
∴△KMH∽△CBH，KM∥BC，
∴，，
∴．
（3）解：设∠FHP＝α，则∠FCA＝∠HCA＝∠FHP＝α，
设⊙E的半径为r，则EF＝AE＝EH＝r，
在Rt△EHK中，＝cosα，即KH＝＝，
在Rt△ECH中，＝sinα，即CH＝，
又∵点K是AC的中点，
∴＝tanα＝，
∴cosα＝，sinα＝，
在Rt△CPK中，＝cosα，即CP＝CK•cosα，
在Rt△FPH中，＝sinα，即PF＝2r•sinα，
∵点K是线段AC的中点，
∴CK＝AK＝＝（AE+CE），
∴r+r•tanα＝（r+），
解得：tana＝，
在Rt△EHK中，＝tanα，即EK＝r•tanα，
CK＝AK＝AE+EK＝r+r•tanα＝r，
∴CP＝CK•cosα＝r＝r，PF＝2r•sinα＝2r＝r，
∴＝．
13．（2022•丽水）如图，以AB为直径的⊙O与AH相切于点A，点C在AB左侧圆弧上，弦CD⊥AB交⊙O于点D，连结AC，AD．点A关于CD的对称点为E，直线CE交⊙O于点F，交AH于点G．
（1）求证：∠CAG＝∠AGC；
（2）当点E在AB上，连结AF交CD于点P，若＝，求的值；
（3）当点E在射线AB上，AB＝2，以点A，C，O，F为顶点的四边形中有一组对边平行时，求AE的长．

【解答】（1）证明：∵AH是⊙O的切线，
∴AH⊥AB，
∴∠GAB＝90°，
∵A，E关于CD对称，AB⊥CD，
∴点E在AB上，CE＝CA，
∴∠CEA＝∠CAE，
∵∠CAE+∠CAG＝90°，∠AEC+∠AGC＝90°，
∴∠CAG＝∠AGC；

（2）解：∵AB是直径，AB⊥CD，
∴＝，
∴AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC，
∵∠ACD＝∠ECD，
∴∠ADC＝∠ECD，
∴CF∥AD，
∴＝，
∵CE＝AC＝AD，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∴＝；

（3）解：如图1中，当OC∥AF时，连接OC，OF．设∠AGF＝α，则∠CAG＝∠ACD＝∠DCF＝∠AFG＝α，

∵OC∥AF，
∴∠OCF＝∠AFC＝α，
∵OC＝OA，
∴∠OCA＝∠OAC＝3α，
∵∠OAG＝45°，
∴4α＝90°，
∴α＝22.5°，
∵OC＝OF，OA＝OF，
∴∠OFC＝∠OCF﹣∠AFC＝22.5°，
∴∠OFA＝∠OAF＝45°，
∴AF＝OF＝OC，
∵OC∥AF，
∴＝＝，
∵OA＝1，
∴AE＝×1＝2﹣．
如图2中，当OC∥AF时，连接OC，设CD交AE点M．

设∠OAC＝α，
∵OC∥AF，
∴∠FAC＝∠OCA＝α，
∴∠COE＝∠FAE＝2α，
∵∠AFG＝∠D，∠AGF＝∠D，
∴∠AG＝C∠AFG＝∠AEC+∠FAE＝3α，
∵∠AGC+∠AEC＝90°，
∴4α＝90°，
∴α＝22.5°，2α＝45°，
∴△COM是等腰直角三角形，
∴OC＝OM，
∴OM＝，AM＝+1，
∴AE＝2AM＝2+；
如图3中，当AC∥OF时，连接OC，OF．

设∠AGF＝α，
∵∠ACF＝∠ACD+∠DCF＝2α，
∵AC∥OF，
∴∠CFO＝∠ACF＝2α，
∴∠CAO＝∠ACO＝4α，
∵∠AOC+∠OAC+∠ACO＝180°，
∴10α＝180°，
∴α＝18°，
∴∠COE＝∠ECO＝∠CFO＝36°，
∴△OCE∽△FCO，
∴OC2＝CE×CF，
∴1＝CE（CE+1），
∴CE＝AC＝OE＝，
∴AE＝OA﹣OE＝．
如图4中，当AC∥OF时，连接OC，OF，BF．

设∠FAO＝α，
∵AC∥OF，
∴∠CAF＝∠OFA＝α，
∴∠COF＝∠BOF＝2α，
∵AC＝AE，
∴∠AEC＝∠CAE＝∠EFB，
∴BF＝BE，
由△OCF≌△OBF，
∴CF＝BF＝BE，
∵∠E＝∠COF，
∴△COF∽△CEO，
∴OC2＝CE•CF，
∴BE＝CF＝，
∴AE＝AB+BE＝．
综上所述，满足条件的AE的长为2﹣或2+或或，
六．相似形综合题（共1小题）
14．（2022•宁波）【基础巩固】
（1）如图1，在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE∥BC，BF＝CF，AF交DE于点G，求证：DG＝EG．
【尝试应用】
（2）如图2，在（1）的条件下，连结CD，CG．若CG⊥DE，CD＝6，AE＝3，求的值．
【拓展提高】
（3）如图3，在▱ABCD中，∠ADC＝45°，AC与BD交于点O，E为AO上一点，EG∥BD交AD于点G，EF⊥EG交BC于点F．若∠EGF＝40°，FG平分∠EFC，FG＝10，求BF的长．


【解答】（1）证明：∵DE∥BC，
∴△AGD∽△AFB，△AFC∽△AGE，
∴＝，＝，
∴＝，
∵BF＝CF，
∴DG＝EG；
（2）解：∵DG＝EG，CG⊥DE，
∴CE＝CD＝6，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝＝；
（3）解：延长GE交AB于M，连接MF，过点M作MN⊥BC于N，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB＝OD，∠ABC＝∠ADC＝45°，
∵MG∥BD，
∴ME＝GE，
∵EF⊥EG，
∴FM＝FG＝10，
在Rt△GEF中，∠EGF＝40°，
∴∠EFG＝90°﹣40°＝50°，
∵FG平分∠EFC，
∴∠GFC＝∠EFG＝50°，
∵FM＝FG，EF⊥GM，
∴∠MFE＝∠EFG＝50°，
∴∠MFN＝30°，
∴MN＝MF＝5，
∴NF＝＝5，
∵∠ABC＝45°，
∴BN＝MN＝5，
∴BF＝BN+NF＝5+5．

七．解直角三角形的应用（共1小题）
15．（2022•舟山）小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图2，已知AD＝BE＝10cm，CD＝CE＝5cm，AD⊥CD，BE⊥CE，∠DCE＝40°．
（1）连结DE，求线段DE的长．
（2）求点A，B之间的距离．
（结果精确到0.1cm．参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）

【解答】解：（1）如图，过点C作CF⊥DE于点F，

∵CD＝CE＝5cm，∠DCE＝40°．
∴∠DCF＝20°，
∴DF＝CD•sin20°≈5×0.34≈1.7（cm），
∴DE＝2DF≈3.4cm，
∴线段DE的长约为3.4cm；
（2）∵横截面是一个轴对称图形，
∴延长CF交AD、BE延长线于点G，
连接AB，
∴DE∥AB，
∴∠A＝∠GDE，
∵AD⊥CD，BE⊥CE，
∴∠GDF+∠FDC＝90°，
∵∠DCF+∠FDC＝90°，
∴∠GDF＝∠DCF＝20°，
∴∠A＝20°，
∴DG＝≈≈1.8（cm），
∴AG＝AD+DG＝10+1.8＝11.8（cm），
∴AB＝2AG•cos20°≈2×11.8×0.94≈22.2（cm）．
∴点A，B之间的距离22.2cm．