高中数学人教版新课标A必修11.3.2奇偶性精练

学业分层测评(十一)

 (建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．函数f(x)＝－x的图象关于(　　)　　 　　　　　　 　　　　　

A．y轴对称   B．直线y＝－x对称

C．坐标原点对称   D．直线y＝x对称

【解析】　∵f(－x)＝－＋x＝－f(x)，∴f(x)＝－x是奇函数，∴f(x)的图象关于原点对称，故选C.

【答案】　C

2．设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)

A．f(x)g(x)是偶函数   B．|f(x)|g(x)是奇函数

C．f(x)|g(x)|是奇函数   D．|f(x)g(x)|是奇函数

【解析】　∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴|f(x)|为偶函数，|g(x)|为偶函数．

再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f(x)|g(x)|为奇函数，故选C.

【答案】　C

3．已知f(x)是偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数，则f(－0.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是(　　)

A．f(－0.5)＜f(0)＜f(1)

B．f(－1)＜f(－0.5)＜f(0)

C．f(0)＜f(－0.5)＜f(－1)

D．f(－1)＜f(0)＜f(－0.5)

【解析】　∵函数f(x)为偶函数，∴f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1)．又∵f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，∴f(0)＜f(0.5)＜f(1)，即f(0)＜f(－0.5)＜f(－1)，故选C.

【答案】　C

4．一个偶函数定义在区间[－7,7]上，它在[0,7]上的图象如图1­3­6，下列说法正确的是(　　)

图1­3­6

A．这个函数仅有一个单调增区间

B．这个函数有两个单调减区间

C．这个函数在其定义域内有最大值是7

D．这个函数在其定义域内有最小值是－7

【解析】　根据偶函数在[0,7]上的图象及其对称性，作出在[－7,7]上的图象，如图所示，可知这个函数有三个单调增区间；有三个单调减区间；在其定义域内有最大值是7；在其定义域内最小值不是－7.

故选C.

【答案】　C

5．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)等于(　　)

A．0.5   B．－0.5 

C．1.5   D．－1.5

【解析】　由f(x＋2)＝－f(x)，则f(7.5)＝f(5.5＋2)＝－f(5.5)＝－f(3.5＋2)＝f(3.5)＝f(1.5＋2)＝－f(1.5)＝－f(－0.5＋2)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5.

【答案】　B

二、填空题

6．函数f(x)在R上为偶函数，且x＞0时，f(x)＝＋1，则当x＜0时，f(x)＝________.

【解析】　∵f(x)为偶函数，x＞0时，f(x)＝＋1，

∴当x＜0时，－x＞0，

f(x)＝f(－x)＝＋1，

即x＜0时，f(x)＝＋1.

【答案】　＋1

7．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0)上是增函数，且f(2)＝0，则使得f(x)＜0的x的取值范围是________．

【解析】　∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，又f(2)＝0，∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－2)＝f(2)＝0，∴当x＞2或x＜－2时，f(x)＜0，如图，即f(x)＜0的解为x＞2或x＜－2，即不等式的解集为{x|x＞2，或x＜－2}．

【答案】　{x|x＞2，或x＜－2}

8．已知函数y＝f(x)是奇函数，若g(x)＝f(x)＋2，且g(1)＝1，则g(－1)＝________.

【解析】　由g(1)＝1，且g(x)＝f(x)＋2，

∴f(1)＝g(1)－2＝－1，

又y＝f(x)是奇函数．∴f(－1)＝－f(1)＝1，

从而g(－1)＝f(－1)＋2＝3.

【答案】　3

三、解答题

9．已知函数f(x)＝x＋，且f(1)＝3.

(1)求m的值；

(2)判断函数f(x)的奇偶性．

【解】　(1)由题意知，f(1)＝1＋m＝3，

∴m＝2.

(2)由(1)知，f(x)＝x＋，x≠0.

∵f(－x)＝(－x)＋＝－＝－f(x)，

∴函数f(x)为奇函数．

10．设定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围．

【解】　∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)＝f(|x|)，∴不等式f(1－m)<f(m)等价于f(|1－m|)<f(|m|)．

又当x∈[0,2]时，f(x)是减函数．

∴解得－1≤m<.

故实数m的取值范围为.

[能力提升]

1．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝x2－x，则f(1)＝(　　)

A．－　　 B．－　　

C.　　 D.

【解析】　因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(1)＝－f(－1)＝－.

【答案】　A

2．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1，则f(x)＝(　　)

A．x2   B．2x2

C．2x2＋2   D．x2＋1

【解析】　因为f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1，①

所以f(－x)＋g(－x)＝x2－3x＋1.

又f(x)为偶函数，f(－x)＝f(x)；

g(x)为奇函数，g(－x)＝－g(x)，

所以f(x)－g(x)＝x2－3x＋1.②

联立①②可得f(x)＝x2＋1.

【答案】　D

3．定义在R上的奇函数f(x)，满足f＝0，且在(0，＋∞)上单调递减，则xf(x)＞0的解集为(　　)

A.

B.

C.

D.

【解析】　∵函数f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上单调递减，且f＝0，∴f＝0，且在区间(－∞，0)上单调递减．

∵当－＜x＜0时，f(x)＜0，此时xf(x)＞0，当0＜x＜时，f(x)＞0，此时xf(x)＞0，

综上，xf(x)＞0的解集为.

【答案】　B

4．已知函数f(x)，当x，y∈R时，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．当x＞0时，f(x)＞0.

(1)求证：f(x)是奇函数；

(2)若f(1)＝，试求f(x)在区间[－2,6]上的最值．

【解】　(1)证明：令x＝0，y＝0，则f(0)＝2f(0)，

∴f(0)＝0.令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)，

∴f(x)＝－f(－x)，即f(x)为奇函数．

(2)任取x1，x2∈R，且x1＜x2.

∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，

∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)．

∵当x＞0时，f(x)＞0，且x1＜x2，

∴f(x2－x1)＞0，即f(x2)＞f(x1)，∴f(x)为增函数，

∴当x＝－2时，函数有最小值，f(x)min＝f(－2)＝－f(2)＝－2f(1)＝－1.

当x＝6时，函数有最大值，f(x)max＝f(6)＝6f(1)＝3.