试卷 专题1《一元二次方程的特殊根》

这是一份试卷 专题1《一元二次方程的特殊根》，共4页。试卷主要包含了一元二次方程的有理根，分离常量等内容，欢迎下载使用。

1．一元二次方程的有理根
关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为有理数）存在有理根的条件为：b2－4ac是一个有理数的平方．
解决一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为有理数）的有理根问题时，一般的解题策略有：
（1）利用“判别式的取值范围”解题
①讨论二次项系数的情况，当a≠0时，求出判别式；
②根据已知条件得待定系数的取值范围，再求出判别式的取值范围，筛选出其中为有理数的平方的数；
③求出待定系数的可能取值，并检验．
（2）利用“判别式是一个有理数的平方”解题
①讨论二次项系数的情况，当a≠0时，将方程的系数整数化，求出判别式；
②将判别式写成△＝M2－t的形式（M为关于待定系数的整式，t为整数），设M2－t＝m2（m为非负有理数）
③可得（Ｍ＋m）（Ｍ－ｍ）＝t，解此不定方程；
④求出待定系数的可能取值，并检验．
２．一元二次方程的整数根
对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为有理数）而言，方程的根为整数且必为有理数，所以有理根存在的条件是整数根存在的必要条件．
解决方程ax2＋bx＋c＝0的整数根问题，除了利用“判别式的取值范围”和“判别式是一个有理数的平方”来解题外，还可以利用“根与系数的关系”和“因式分解”来解决问题．
（1）利用“根与系数的关系”解题
①讨论二次项系数的情况，当a≠0时，利用根与系数的关系求出两根的和与积；
②将两根的和与积的代数式写成一个整式与一个分式的和的形式（类似于分离常量）；
③由分式的结果一定为整数，根据整除的性质得到分式的分母一定是分子的约数，从而求出待定系数的可能取值；
（2）利用“因式分解”解题
①讨论二次项系数的情况，当a≠0时，将方程化为（m1x＋n1）（m2x＋n2）＝0的形式；
②求出方程的两根，x1＝和x2＝；
③利用分离常量的方法，将，变成一个常数与一个分式的和；
④根据整除的性质，得到分式的分母一定是分子的约数，从而求出待定系数的可能取值；
⑤将待定系数的可能取值代入原方程检验并确定结果．
需要注意的是，要看清楚题中说的是方程有整数根还是方程的根为整数．
3．分离常量
在利用“根与系数的关系”解题和利用“因式分解”解题的过程中都提到了分离常量，所谓分离常量就是从分式中化出一个常数，例如：
① ；
② ；
③ ；
④ ．
例题讲解：
例1 已知整数m满足6＜m＜20，如果关于x的一元二次方程mx2—（2m－1）x＋m－2＝0有有理根，求m的值及方程的根．
解： 若原方程的根为有理数，
则△＝（2m－1）２—4m（m－2）＝4m＋1应为某个有理数的平方．
已知6＜m＜20，所以25＜4m＋1＜81，
而4m＋1是奇数，从而4m＋1＝49，
得m＝12，
所以原方程变为12x2—23x＋10＝0，
解得x1＝，x2＝．
故m＝12时，方程有有理根，此时方程的根为x1＝，x2＝．
例2 设m是不为零的整数，关于x的一元二次方程mx2－（m－1）x＋1＝0有有理根，求m的值．
解 若原方程的根为有理数，
则△＝（m－1）２—4m＝（m－3）２—8应为某个有理数的平方．
令（m－3）２—8＝n2 （n＞0），显然n也为整数，
所以（m－3＋n）（m－3－n）＝8．
由于m－3＋n＞m－3－n，并且（m－3＋n）＋（m－3－n）＝2（m－3）是偶数，
所以m－3＋n和m－3－n同奇偶，
所以或 ；解得，（舍）．
所以当m＝6时，方程有两个有理根，分别为x1＝，x2＝．
例3 关于x的一元二次方程rx2＋（r＋2）x＋r－1＝0有且只整数根，求整数r的值．
解： 当r＝0时，原方程无整数根；
当r ≠ 0时，由根与系数的关系可得
x1＋x2＝＝－1－，x1•x2＝＝1－．
因为x1，x2都是整数，
所以x1＋x2和x1•x2均为整数，从而，均为整数．
而r为整数，所以r＝±1．
当r＝－1时，原方程的解不为整数，不符合条件；
当r＝1时，原方程的解为x1＝0，x2＝－3．
综上可得，整数r＝1．
例4 在平面直角坐标系中，我们不妨将横坐标、纵坐标均为整数的点称之为“中国结”，若二次函数y＝（k2－3k＋2）x2＋（2k2－4k＋1）x＋k2－k（k为常数）的图象与x轴相交得到两个不同的“中国结”，试问：该函数的图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”？
解：令y＝0，即（k2－3k＋2）x2＋（2k2－4k＋1）x＋k2－k＝0，
因式分解，得[（k－1）x＋k][（k－2）x＋k－1]＝0
解得x1＝，x2＝，
由题意可得x1，x2均为整数，所以，也均为整数，
设＝m（m≠0，m为整数），则k＝＋1，
所以，
所以1－m＝±1，即m1＝0（舍），m2＝2，
从而得到k＝．
所以二次函数表达式为y＝x2－x＋＝（x＋1）2＋1
二次函数图象如下图所示，则该函数的图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含6个“中国结”，分别为：（－3，0），（－2，0），（－1，0），（－1，1），（0，0），（1，0）．
进阶训练
1．已知m为有理数，问：k为何值时，关于x的方程x2－4mx＋4x＋3m２－2m＋4k＝0的根为有理数？
解：k＝－
【提示】若原方程的根为有理数，则△＝4[m２—6m＋4（1－k）]应为某个有理数的平方．
所以4（1－k）＝9，即k＝－．
2．已知关于x的方程x2－2（2m－3）x＋4m２－14m＋8＝0（m＞0）有两个不相等的实数根，若12＜m＜40，且方程的两个根均为整数，求整数m的值．
解：m＝24．
【提示】若原方程的根为有理数，则△＝4（2m＋1）应为某个有理数的平方，由12＜m＜40，所以25＜2m＋1＜81，而2m＋1为奇数，则2m＋1＝49，即m＝24．
3．已知方程（k２－1）x2－3（3k－1）x＋18＝0有正整数根，求整数k的值．
解：k＝0，1，2，4，5．
【提示】先讨论二次项系数是否为0，当k＝1时，方程有正整数根，当k2－1＝0时，原方程可整理为[（k＋1）x－6][（k－1）x－3]＝0，解得x1＝，x2＝，而方程有正整数根，所以k＝0，1，2，4，5，综上，k＝0，1，2，4，5．
4．求使关于x的方程（a＋1）x2－（a2＋1）x＋2a2－6＝0的根均为整数的所有整数a．
解：a＝－3，－2，0，1．
【提示】①当a＝－1时，方程变为－2x－4＝0，解得x＝－2，符合要求；②当a ≠－1时，设方程的两个整数根为x1，x2，则由根与系数的关系可得x1＋x2＝＝a－1＋，x1•x2＝＝2（a－1）－．
因为x1，x2都是整数，所以x1＋x2和x1•x2均为整数，即为整数，所以a＝－3，－2，0，1．
经检验，得到当a＝－3，－2，0，1时，方程的根均为整数．