中考几何模型压轴题 专题1《一元二次方程的特殊根》

中考数学几何专项复习策略

在九年级数学几何专题复习中，怎样科学、合理地设计教学内容、精心地组织课堂教学，怎样采取得力的措施和高效的方法，大幅度、快节奏地提高学生的数学素养，让后进生吃的消，中等生吃的饱，优等生吃得好，使复习获得令人满意的效果？这是所有处在一线数学教师普遍关注和思考的课题。本文试图从优质教学观的理论对课堂的结构和教师专业素养以及结合多年一线教学实践经验作出阐述、探究，举例谈几何专题复习的几点策略：

策略一 建构高效的课堂教学模式-----先学后教，当堂训练。

高效的课堂教学模式是保证高效的复习效果的前提，学生在教师的指导和辅导下进行先自学、探究和及时训练，获得知识、发展能力的一种教学模式。

策略二 专题内容的设计应遵循教与学的认知规律和学生心理发展规律，凸显方法规律，由简单到复杂，由特殊到一般，再由一般到特殊

　  总结规律，推广一般。从一般到特殊：抛砖引玉，解决问题。

策略三 设计专题内容时考虑建立几何模型，体现思想方法，让学生驾轻就熟，化难为易，化繁为简。

几何，常常因为图形变化多端，方法多种多样而被称为数学中的变形金刚。题目千变万化，但万变不离其宗。  

中考数学压轴题破解策略专题1《一元二次方程的特殊根》

破解策略

1．一元二次方程的有理根

关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为有理数）存在有理根的条件为：b2－4ac是一个有理数的平方．

解决一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为有理数）的有理根问题时，一般的解题策略有：

（1）利用“判别式的取值范围”解题

①讨论二次项系数的情况，当a≠0时，求出判别式；

②根据已知条件得待定系数的取值范围，再求出判别式的取值范围，筛选出其中为有理数的平方的数；

③求出待定系数的可能取值，并检验．

（2）利用“判别式是一个有理数的平方”解题

①讨论二次项系数的情况，当a≠0时，将方程的系数整数化，求出判别式；

②将判别式写成△＝M2－t的形式（M为关于待定系数的整式，t为整数），设M2－t＝m2（m为非负有理数）

③可得（Ｍ＋m）（Ｍ－ｍ）＝t，解此不定方程；

④求出待定系数的可能取值，并检验．

２．一元二次方程的整数根

对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为有理数）而言，方程的根为整数且必为有理数，所以有理根存在的条件是整数根存在的必要条件．

解决方程ax2＋bx＋c＝0的整数根问题，除了利用“判别式的取值范围”和“判别式是一个有理数的平方”来解题外，还可以利用“根与系数的关系”和“因式分解”来解决问题．

（1）利用“根与系数的关系”解题

①讨论二次项系数的情况，当a≠0时，利用根与系数的关系求出两根的和与积；

②将两根的和与积的代数式写成一个整式与一个分式的和的形式（类似于分离常量）；

③由分式的结果一定为整数，根据整除的性质得到分式的分母一定是分子的约数，从而求出待定系数的可能取值；

（2）利用“因式分解”解题

①讨论二次项系数的情况，当a≠0时，将方程化为（m1x＋n1）（m2x＋n2）＝0的形式；

②求出方程的两根，x1＝和x2＝；

③利用分离常量的方法，将，变成一个常数与一个分式的和；

④根据整除的性质，得到分式的分母一定是分子的约数，从而求出待定系数的可能取值；

⑤将待定系数的可能取值代入原方程检验并确定结果．

需要注意的是，要看清楚题中说的是方程有整数根还是方程的根为整数．

3．分离常量

在利用“根与系数的关系”解题和利用“因式分解”解题的过程中都提到了分离常量，所谓分离常量就是从分式中化出一个常数，例如：

① ；

② ；

③ ；

④ ．

例题讲解：

例1 已知整数m满足6＜m＜20，如果关于x的一元二次方程mx2—（2m－1）x＋m－2＝0有有理根，求m的值及方程的根．

解： 若原方程的根为有理数，

则△＝（2m－1）２—4m（m－2）＝4m＋1应为某个有理数的平方．

已知6＜m＜20，所以25＜4m＋1＜81，

而4m＋1是奇数，从而4m＋1＝49，

得m＝12，

所以原方程变为12x2—23x＋10＝0，

解得x1＝，x2＝．

故m＝12时，方程有有理根，此时方程的根为x1＝，x2＝．

例2 设m是不为零的整数，关于x的一元二次方程mx2－（m－1）x＋1＝0有有理根，求m的值．

解 若原方程的根为有理数，

则△＝（m－1）２—4m＝（m－3）２—8应为某个有理数的平方．

令（m－3）２—8＝n2  （n＞0），显然n也为整数，

所以（m－3＋n）（m－3－n）＝8．

由于m－3＋n＞m－3－n，并且（m－3＋n）＋（m－3－n）＝2（m－3）是偶数，

所以m－3＋n和m－3－n同奇偶，

所以或 ；解得，（舍）．

所以当m＝6时，方程有两个有理根，分别为x1＝，x2＝．

例3 关于x的一元二次方程rx2＋（r＋2）x＋r－1＝0有且只整数根，求整数r的值．

解： 当r＝0时，原方程无整数根；

当r ≠ 0时，由根与系数的关系可得

x1＋x2＝＝－1－，x1•x2＝＝1－．

因为x1，x2都是整数，

所以x1＋x2和x1•x2均为整数，从而，均为整数．

而r为整数，所以r＝±1．

当r＝－1时，原方程的解不为整数，不符合条件；

当r＝1时，原方程的解为x1＝0，x2＝－3．

综上可得，整数r＝1．

例4 在平面直角坐标系中，我们不妨将横坐标、纵坐标均为整数的点称之为“中国结”，若二次函数y＝（k2－3k＋2）x2＋（2k2－4k＋1）x＋k2－k（k为常数）的图象与x轴相交得到两个不同的“中国结”，试问：该函数的图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”？

解：令y＝0，即（k2－3k＋2）x2＋（2k2－4k＋1）x＋k2－k＝0，

因式分解，得[（k－1）x＋k][（k－2）x＋k－1]＝0

解得x1＝，x2＝，

由题意可得x1，x2均为整数，所以，也均为整数，

设＝m（m≠0，m为整数），则k＝＋1，

所以，

所以1－m＝±1，即m1＝0（舍），m2＝2，

从而得到k＝．

所以二次函数表达式为y＝x2－x＋＝（x＋1）2＋1

二次函数图象如下图所示，则该函数的图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含6个“中国结”，分别为：（－3，0），（－2，0），（－1，0），（－1，1），（0，0），（1，0）．

进阶训练

1．已知m为有理数，问：k为何值时，关于x的方程x2－4mx＋4x＋3m２－2m＋4k＝0的根为有理数？

解：k＝－

【提示】若原方程的根为有理数，则△＝4[m２—6m＋4（1－k）]应为某个有理数的平方．

所以4（1－k）＝9，即k＝－．

2．已知关于x的方程x2－2（2m－3）x＋4m２－14m＋8＝0（m＞0）有两个不相等的实数根，若12＜m＜40，且方程的两个根均为整数，求整数m的值．

解：m＝24．

【提示】若原方程的根为有理数，则△＝4（2m＋1）应为某个有理数的平方，由12＜m＜40，所以25＜2m＋1＜81，而2m＋1为奇数，则2m＋1＝49，即m＝24．

3．已知方程（k２－1）x2－3（3k－1）x＋18＝0有正整数根，求整数k的值．

解：k＝0，1，2，4，5．

【提示】先讨论二次项系数是否为0，当k＝1时，方程有正整数根，当k2－1＝0时，原方程可整理为[（k＋1）x－6][（k－1）x－3]＝0，解得x1＝，x2＝，而方程有正整数根，所以k＝0，1，2，4，5，综上，k＝0，1，2，4，5．

4．求使关于x的方程（a＋1）x2－（a2＋1）x＋2a2－6＝0的根均为整数的所有整数a．

解：a＝－3，－2，0，1．

【提示】①当a＝－1时，方程变为－2x－4＝0，解得x＝－2，符合要求；②当a ≠－1时，设方程的两个整数根为x1，x2，则由根与系数的关系可得x1＋x2＝＝a－1＋，x1•x2＝＝2（a－1）－．

因为x1，x2都是整数，所以x1＋x2和x1•x2均为整数，即为整数，所以a＝－3，－2，0，1．

经检验，得到当a＝－3，－2，0，1时，方程的根均为整数．