备战2022 中考数学 人教版 微专题二 一元二次方程根与系数的关系

微专题二　一元二次方程根与系数的关系

类型一：已知一根，求另一根及字母系数的问题

方法一：先利用根与系数的关系求出另一根，再根据方程的两根及根与系数的关系求出字母系数．

方法二：先把已知根代入方程，求出字母系数，再解方程求出另一根．

(2020·江西中考改编)若关于x的一元二次方程x2－kx－2＝0的一个根为x＝1，则这个一元二次方程的另一个根为__－2__，k＝__－1__．

类型二：求关于两根的代数式的值

根与系数关系常见的“五种变形”

(1)x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2；

(2)＋＝；

(3)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2；

(4)(x1＋a)(x2＋a)＝x1x2＋a(x1＋x2)＋a2；

(5)x1x＋xx2＝x1x2(x1＋x2).

(2021·泸州中考)关于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2－m＝0的两实数根x1，x2，满足x1x2＝2，则(x＋2)(x＋2)的值是(B)

A．8         B．32　

C．8或32       D．16或40

类型三：确定方程中待定字母的值或取值范围

一元二次方程根与系数的关系常与根的判别式相结合，一般按下面方法解题：

1．一元二次方程根的情况

  ↓结合根的判别式

列出方程或不等式

  ↓

确定字母的值或取值范围．

2．方程的根满足的条件

  ↓结合根与系数的关系

列出方程或不等式

  ↓

确定字母的值或取值范围．

(2021·十堰中考)已知关于x的一元二次方程x2－4x－2m＋5＝0有两个不相等的实数根．

(1)求实数m的取值范围；

(2)若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m的值．

【解析】(1)根据题意得Δ＝(－4)2－4(－2m＋5)＞0，解得m＞；

(2)设x1，x2是方程的两根，

根据题意得x1＋x2＝4＞0，x1x2＝－2m＋5＞0，解得m＜，所以m的范围为＜m＜，

∵m为整数，

∴m＝1或m＝2，

当m＝1时，方程两根都是整数；当m＝2时，方程两根都不是整数，

∴整数m的值为1.

【变式】(2021·南充中考)已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0.

(1)求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根．

(2)如果方程的两个实数根为x1，x2，且k与都为整数，求k所有可能的值．

【解析】(1)∵Δ＝[－(2k＋1)]2－4×(k2＋k)＝1＞0，

∴无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根．

(2)∵x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0，即(x－k)[x－(k＋1)]＝0，

解得：x＝k或x＝k＋1.

∴一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0的两根为k，k＋1，

∴＝＝1＋或＝＝1－，

如果1＋为整数，则k为1的约数，

∴k＝±1，

如果1－为整数，则k＋1为1的约数，

∴k＋1＝±1，

则k为0或－2.

∴整数k的所有可能的值为±1，0或－2.