数学八年级下册17.4 一元二次方程的根与系数的关系课后复习题

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2021-2022学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【沪科版】
专题17.6一元二次方程的根与系数的关系
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021秋•江油市期末）已知a，b是方程x2﹣3x﹣4＝0的两根，则代数式a+b的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4
【分析】根据根与系数的关系可得出a+b＝3，此题得解．
【解析】∵a、b是方程x2﹣3x﹣4＝0的两个根，
∴a+b＝3．
故选：A．
2．（2021秋•皇姑区期末）如果1是方程2x2+bx﹣4＝0的一个根，则方程的另一个根是（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1
【分析】利用两根之积为﹣2确定方程的另一个根．
【解析】设方程的另一个根为t，
根据题意得1×t=-42，解得t＝﹣2，
即方程的另一个根为﹣2．
故选：A．
3．（2021秋•武昌区校级期末）已知实数a，b分别满足a2﹣6a+4＝0，b2﹣6b+4＝0，且a≠b，则a2+b2的值为（　　）
A．36 B．50 C．28 D．25
【分析】根据题意，a、b可看作方程x2﹣6x+4＝0的两根，则根据根与系数的关系得到a+b＝6，ab＝4，然后把原式变形得到原式＝再利用整体代入的方法计算即可．
【解析】∵a2﹣6a+4＝0，b2﹣6b+4＝0，且a≠b，
∴a，b可看作方程x2﹣6x+4＝0的两根，
∴a+b＝6，ab＝4，
∴原式＝（a+b）2﹣2ab＝62﹣2×4＝28，
故选：C．
4．（2021秋•桐柏县月考）已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个根，则（m﹣1）（n﹣1）的值为（　　）
A．2 B．0 C．﹣4 D．﹣5
【分析】先利用根与系数的关系表示出m+n与mn，再利用多项式乘多项式法则将所求代数式变形，将m+n与mn的值代入即可．
【解析】根据题意得：m+n＝3，mn＝﹣2，
则（m﹣1）（n﹣1）
＝mn﹣（m+n）+1
＝﹣2﹣3+1
＝﹣4．
故选：C．
5．（2020秋•伍家岗区期末）一元二次方程x2﹣4x+a＝0的两根之积为2，则常数a的值（　　）
A．﹣2 B．-12 C．12 D．2
【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根之积等于ca，可以求得所求方程中a的值．
【解析】设一元二次方程x2﹣4x+a＝0的两个根为x1，x2，
∵一元二次方程x2﹣4x+a＝0的两根之积为2，
∴x1•x2＝a＝2，
即a的值2，
故选：D．
6．（2020秋•东莞市校级期末）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，下列结论正确的是（　　）
A．x1+x2＝﹣2 B．x1•x2＝0 C．x1+x2＝0 D．x1•x2＝﹣2
【分析】根据一元二次方程根与系数关系解答即可．
【解析】因为x1是一元二次方程x2﹣2x＝0的实数根，
则x1+x2＝2，x1•x2＝0，
故选：B．
7．（2021秋•荆州月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣bx+c＝0的两根互为相反数，则（　　）
A．b＝0 B．c＝0 C．b＞0 D．b＜0
【分析】利用根与系数的关系得到b＝0，从而可确定正确选项．
【解析】∵关于x的一元二次方程x2﹣bx+c＝0的两根互为相反数，
∴b＝0
故选：A．
8．（2021秋•鼓楼区校级期中）若方程3（x+1）（x﹣2）＝k有一个根是2，则另一个根为（　　）
A．0 B．﹣1 C．1 D．2或﹣1
【分析】根据方程3（x+1）（x﹣2）＝k有一个根是2，可以得到k的值，然后即可求得该方程的另一个根，从而可以解答本题．
【解析】∵方程3（x+1）（x﹣2）＝k有一个根是2，
∴3（2+1）（2﹣2）＝k，
解得k＝0，
∴3（x+1）（x﹣2）＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝2，
∴该方程的另一个根是﹣1，
故选：B．
9．（2021秋•泰兴市期中）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是1和﹣3，若关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是4，则另一根是（　　）
A．﹣8 B．﹣6 C．﹣4 D．﹣2
【分析】设另一个根为n，根据根与系数的关系得到4+n=-ba，由关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是1和﹣3，则得到-ba=1﹣3＝﹣2，进而即可求得n＝﹣6．
【解析】设另一个根为n，
∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是1和﹣3，
∴-ba=1﹣3＝﹣2，
∵关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是4，
∴4+n=-ba=-2，
∴n＝﹣6，
故选：B．
10．（2021秋•漳平市期中）已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则a2﹣b+2021的值是（　　）
A．2025 B．2021 C．2020 D．2024
【分析】根据题意可知a2＝﹣a+3，a+b＝﹣1，所求式子化为﹣a+3﹣b+2021＝﹣（a+b）+2024即可求解．
【解析】∵a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，
∴a2＝﹣a+3，a+b＝﹣1，
∴a2﹣b+2021
＝﹣a+3﹣b+2021
＝﹣（a+b）+2024
＝1+2024
＝2025．
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2021秋•汶上县期末）已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣6＝0的一个根是2，求方程的另一根是 　﹣3　．
【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，且a，b，c是常数）的两个实根之积求出另一根即可．
【解析】设方程的另一根为x1，由韦达定理：2x1＝﹣6，
∴x1＝﹣3．
故答案为：﹣3．
12．（2021秋•武昌区校级期末）已知x＝2是一元二次方程x2＝p的一个根，则另一根是 　x＝﹣2　．
【分析】设一元二次方程x2＝p的另一根是m，利用两根之和等于-ba，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解析】设一元二次方程x2＝p的另一根是m，
依题意得：2+m＝0，
解得：m＝﹣2．
∴方程的另一根是x＝﹣2．
故答案为：x＝﹣2．
13．（2021秋•集贤县期末）如果一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，那么x1+x2＝　2　．
【分析】根据根与系数的关系直接求得．
【解析】∵一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝2，
故答案为：2．
14．（2021秋•郧西县期末）已知方程x2﹣4x+k＝0的一个根是x1＝﹣1，则方程的另一根x2＝　5　．
【分析】利用根与系数的关系得到﹣1+x2＝4，然后解一次方程即可．
【解析】根据题意得x1+x2＝4，
即﹣1+x2＝4，
解得x2＝5．
故答案为5．
15．（2021秋•舞钢市期末）若a、b是方程x2+x﹣2021＝0的两根，则a2+2a+b＝　2020　．
【分析】根据一元二次方程的解的定义可以求得a2+a＝2021，利用根与系数的关系可以求得a+b＝﹣1．将其代入所求代数式，可求解．
【解析】∵a、b是方程x2+x﹣2021＝0的两根，
∴a2+a﹣2021＝0，a+b＝﹣1，
∴a2+a＝2021，
∴a2+2a+b＝a2+a+a+b＝2021﹣1＝2020，
故答案为：2020．
16．（2021秋•松江区期中）已知关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1＝2，x2＝3，则方程a（x+1）2+b（x+1）+c＝0的两根为 　x＝1或x＝2　．
【分析】设t＝x+1，则方程a（x+1）2+b（x+1）+c＝0化为at2+bt+c＝0，利用方程ax2+bx+c＝0的解得到t1＝2，t2＝3，然后分别计算对应的x的值可确定方程a（x+1）2+b（x+1）+c＝0的解．
【解析】设x+1＝t，则方程a（x+1）2+b（x+1）+1＝0化为at2+bt+1＝0，
由题意可知：t1＝2，t2＝3，
∴x+1＝2或x+1＝3，
∴x＝1或x＝2，
∴方程a（x+1）2+b（x+1）+c＝0的两根为x＝1或x＝2，
故答案为：x＝1或x＝2．
17．（2021•广东模拟）设x1，x2是一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个实数根，则x1﹣x1x2+x2的值为 　1　．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与两根之积，代入原式计算即可求出值．
【解析】∵x1，x2是一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝3，x1•x2＝2，
则原式＝（x1+x2）﹣x1•x2＝3﹣2＝1．
故答案为：1．
18．（2021秋•铁西区期末）规定：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．已知关于x的一元二次方程（x﹣2）（x+m）＝0是“倍根方程”，则m的值为 　﹣4或﹣1　．
【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝2，x2＝﹣m，然后利用新定义得到﹣m＝2×2或﹣m=12×2，从而得到m的值．
【解析】∵（x﹣2）（x+m）＝0，
∴x﹣2＝0或x+m＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣m，
∵关于x的一元二次方程（x﹣2）（x+m）＝0是“倍根方程”，
∴﹣m＝2×2或﹣m=12×2，
即m＝﹣4或﹣1．
故答案为﹣4或﹣1．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021秋•汝阳县期末）已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0．
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根．
（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的面积．
【分析】（1）根据关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0的根的判别式的符号来证明结论；
（2）根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根．分类讨论：①当该直角三角形的两直角边是2、3时，即可求得直角三角形的面积为12×1×3=32；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为22；即可求得直角三角形的面积为12×1×22=2．
【解析】（1）证明：∵Δ＝（m+2）2﹣4（2m﹣1）＝（m﹣2）2+4，
∴在实数范围内，m无论取何值，（m﹣2）2+4＞0，即Δ＞0，
∴关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0恒有两个不相等的实数根；

（2）解：根据题意，得
12﹣1×（m+2）+（2m﹣1）＝0，
解得，m＝2，
则方程的另一根为：m+2﹣1＝2+1＝3；
①当该直角三角形的两直角边是1、3时，
该直角三角形的面积为12×1×3=32；
②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为22；则该直角三角形的面积为12×1×22=2；
综上，该直角三角形的面积为32或2．
20．（2021秋•克东县期末）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+m4=0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）若1x1+1x2=4m，求m的值
【分析】（1）由二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2=m+2m，x1x2=14，结合1x1+1x2=4m，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再结合m＞﹣1且m≠0，即可确定m的值．
【解析】（1）∵关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+m4=0有两个不相等的实数根，
∴m≠0△=[-(m+2)]2-4×m×m4＞0，
解得：m＞﹣1且m≠0．
（2）∵x1，x2是一元二次方程mx2﹣（m+2）x+m4=0的实数根，
∴x1+x2=m+2m，x1x2=14．
∵1x1+1x2=x1+x2x1x2=4m，即4(m+2)m=4m，
∴m2﹣m﹣2＝0，
解得：m1＝﹣1，m2＝2．
又∵m＞﹣1且m≠0，
∴m＝2．
21．（2021秋•零陵区期末）已知α、β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根．
（1）试确定m的取值范围；
（2）当1α+1β=-1时，求m的值．
【分析】（1）根据方程有两个相等的实数根可知Δ＞0，求出m的取值范围即可；
（2）根据根与系数的关系得出α+β与αβ的值，代入代数式进行计算即可．
【解析】（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，即Δ＝（2m+3）2﹣4m2＞0，
解得m＞-34；

（2）∵α，β是方程的两个实数根，
∴α+β＝﹣（2m+3），αβ＝m2．
∵1α+1β=-1，
∴﹣（2m+3）＝﹣m2，
解得m1＝3，m2＝﹣1．
∵m＞-34，
∴m＝3．
22．（2020秋•零陵区期末）已知：关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣3＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设方程的两根为x1，x2，且满足x12+x22＝5，求m的值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，结合m≥0，即可得出m的取值范围为0≤m≤3；
（2）利用根与系数的关系可得出x1+x2=-m，x1•x2＝m﹣3，结合x12+x22＝5，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．
【解析】（1）∵关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣3＝0有两个实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（m）2﹣4×1×（m﹣3）≥0，
解得：m≤3，
又∵m≥0，
∴0≤m≤3，
∴m的取值范围为0≤m≤3．
（2）∵x1，x2为一元二次方程x2+mx+m﹣3＝0的两个实数根，
∴x1+x2=-m，x1•x2＝m﹣3．
又∵x12+x22＝5，即（x1+x2）2﹣2x1•x2＝5，
∴（-m）2﹣2（m﹣3）＝5，
解得：m＝1，
∴m的值为1．
23．（2021秋•鼓楼区校级月考）已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m﹣1＝0
（1）求证：无论m取任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1﹣x2＝2，求m的值．
【分析】（1）根据题意求出△的值，判断出△的符号即可；
（2）根据一元二次方程根与系数得到两根之和和两根之积，然后把（x1﹣x2）2转化成（x1+x2）2﹣4x1x2，再代入求解即可．
【解析】（1）证明：∵a＝1，b＝m+2，c＝2m﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（m+2）2﹣4×1×（2m﹣1）＝m2﹣4m+8＝（m﹣2）2+4．
∵无论m为任何实数，（m﹣2）2≥0，
∴（m﹣2）2+4＞0．
∴无论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由x1﹣x2＝2可得（x1﹣x2）2＝4，
∵x1+x2＝﹣（m+2），x1x2＝2m﹣1，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝[﹣（m+2）]2﹣4（2m﹣1）＝m2﹣4m+8，
即m2﹣4m+8＝4，
解得m1＝m2＝2，
答：当x1﹣x2＝2时，m的值是2．
24．（2020秋•闵行区期末）已知关于x的方程x2+2kx+（k﹣2）2＝2x．
（1）此方程有一个根为0时，求k的值和此方程的另一个根；
（2）此方程有实数根时，求k的取值范围．
【分析】（1）将x＝0代入原方程，解之即可求出k值．
（2）根据方程有实数根结合根的判别式，即可得出Δ＝8k﹣12≥0，解之即可得出k的取值范围．
【解析】（1）将x＝0代入原方程得（k﹣2）2＝0，
∴k＝2，
∴方程为x2+3x＝0，
x（x+3）＝0，
解得x1＝0，x2＝﹣3，
∴另一个根为x＝﹣3；
（2）∵关于x的方程x2+2kx+（k﹣2）2＝2x有实数根，
∴Δ＝[2（k﹣1）]2﹣4（k﹣2）2＝8k﹣12≥0，
解得：k≥32．
故k的取值范围是k≥32．