人教版新课标A选修4-1一 圆周角定理同步训练题

学业分层测评(六)

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．如图2­1­12所示，若圆内接四边形的对角线相交于E，则图中相似三角形有(　　)

图2­1­12

A．1对　　　　　　 B．2对

C．3对 D．4对

【解析】　由推论知：∠ADB＝∠ACB，∠ABD＝∠ACD，∠BAC＝∠BDC，∠CAD＝∠CBD，∴△AEB∽△DEC，△AED∽△BEC.

【答案】　B

2．如图2­1­13所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD＝4，BD＝8，则圆O的半径等于(　　)

图2­1­13

A．6   B．8

C．4 D．5

【解析】　∵AB为直径，∴∠ACB＝90°.

又∵CD⊥AB，

由射影定理可知，CD2＝AD·BD，

∴42＝8AD，∴AD＝2，

∴AB＝BD＋AD＝8＋2＝10，

∴圆O的半径为5.

【答案】　D

3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝2，则此三角形外接圆半径为(　　) 【导学号：07370031】

A.   B．2

C．2 D．4

【解析】　由推论2知AB为Rt△ABC的外接圆的直径，又AB＝＝4，故外接圆半径r＝AB＝2.

【答案】　B

4．如图2­1­14所示，等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠A＝40°，D是的中点，E是的中点，分别连接BD，DE，BE，则△BDE的三内角的度数分别是(　　)

图2­1­14

A．50°，30°，100°   B．55°，20°，105°

C．60°，10°，110° D．40°，20°，120°

【解析】　如图所示，连接AD.

∵AB＝AC，D是的中点，

∴AD过圆心O.

∵∠A＝40°，

∴∠BED＝∠BAD＝20°，

∠CBD＝∠CAD＝20°.

∵E是的中点，

∴∠CBE＝∠CBA＝35°，

∴∠EBD＝∠CBE＋∠CBD＝55°，

∴∠BDE＝180°－20°－55°＝105°，

故选B.

【答案】　B

5．如图2­1­15，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝30°，则圆O的面积等于(　　)

图2­1­15

A．4π   B．8π

C．12π D．16π

【解析】　连接OA，OB.

∵∠ACB＝30°，

∴∠AOB＝60°.

又∵OA＝OB，

∴△AOB为等边三角形．

又AB＝4，∴OA＝OB＝4，

∴S⊙O＝π·42＝16π.

【答案】　D

二、填空题

6．如图2­1­16，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3 cm，4 cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则＝________.

图2­1­16

【解析】　连接CD，∵AC是⊙O的直径，

∴∠CDA＝90°.由射影定理得BC2＝BD·AB，AC2＝AD·AB，

∴＝，即＝.

【答案】　

7．(2016·天津高考)如图2­1­17，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE＝2AE＝2，BD＝ED，则线段CE的长为________．

图2­1­17

【解析】　如图，设圆心为O，连接OD，则OB＝OD.

因为AB是圆的直径，BE＝2AE＝2，所以AE＝1，OB＝.

又BD＝ED，∠B为△BOD与△BDE的公共底角，

所以△BOD∽△BDE，所以＝，

所以BD2＝BO·BE＝3，所以BD＝DE＝.

因为AE·BE＝CE·DE，所以CE＝＝.

【答案】　

8.如图2­1­18，AB为⊙O的直径，弦AC，BD交于点P，若AB＝3，CD＝1，则sin∠APD＝__________.

图2­1­18

【解析】　由于AB为⊙O的直径，则∠ADP＝90°，

所以△APD是直角三角形，

则sin∠APD＝，cos∠APD＝，

由题意知，∠DCP＝∠ABP，∠CDP＝∠BAP，

所以△PCD∽△PBA.

所以＝，又AB＝3，CD＝1，则＝.

∴cos∠APD＝.又∵sin2∠APD＋cos2∠APD＝1，

∴sin∠APD＝.

【答案】　

三、解答题

9．如图2­1­19所示，⊙O中和的中点分别为点E和点F，直线EF交AC于点P，交AB于点Q.求证：△APQ为等腰三角形．

图2­1­19

【证明】　连接AF，AE.

∵E是的中点，即＝，

∴∠AFP＝∠EAQ，

同理∠FAP＝∠AEQ.

又∵∠AQP＝∠EAQ＋∠AEQ，∠APQ＝∠AFP＋∠FAP，

∴∠AQP＝∠APQ，即△APQ为等腰三角形．

10．如图2­1­20(1)所示，在圆内接△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的一点，E是直线AD和△ABC外接圆的交点．

图2­1­20

(1)求证：AB2＝AD·AE；

(2)如图2­1­20(2)所示，当D为BC延长线上的一点时，第(1)题的结论成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

【解】　(1)证明：如图(3)，

连接BE.

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB.

∵∠ACB＝∠AEB，

∴∠ABC＝∠AEB.

又∠BAD＝∠EAB，

∴△ABD∽△AEB，

∴AB∶AE＝AD∶AB，

即AB2＝AD·AE.

(2)如图(4)，连接BE，

结论仍然成立，证法同(1)．

[能力提升]

1．如图2­1­21，已知AB是半圆O的直径，弦AD，BC相交于点P，那么等于(　　) 【导学号：07370032】

图2­1­21

A．sin∠BPD

B．cos∠BPD

C．tan∠BPD

D．以上答案都不对

【解析】　连接BD，由BA是直径，

知△ADB是直角三角形．

由∠DCB＝∠DAB，

∠CDA＝∠CBA，∠CPD＝∠BPA，得△CPD∽△APB，

＝＝cos ∠BPD.

【答案】　B

2．如图2­1­22所示，已知⊙O为△ABC的外接圆，AB＝AC＝6，弦AE交BC于D，若AD＝4，则AE＝__________.

图2­1­22

【解析】　连接CE，则∠AEC＝∠ABC，

又△ABC中，AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∴∠AEC＝∠ACB，

∴△ADC∽△ACE，

∴＝，

∴AE＝＝9.

【答案】　9

3．如图2­1­23，在⊙O中，已知∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝3，则△ABC的周长是__________．

图2­1­23

【解析】　由圆周角定理，

得∠A＝∠D＝∠ACB＝60°，

∴AB＝BC，

∴△ABC为等边三角形．

∴周长等于9.

【答案】　9

4.如图2­1­24，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D，连接BE，AD交于点P.求证：

图2­1­24

(1)D是BC的中点；

(2)△BEC∽△ADC；

(3)AB·CE＝2DP·AD.

【证明】　(1)因为AB是⊙O的直径，

所以∠ADB＝90°，即AD⊥BC，

因为AB＝AC，所以D是BC的中点．

(2)因为AB是⊙O的直径，

所以∠AEB＝∠ADB＝90°，

即∠CEB＝∠CDA＝90°，

因为∠C是公共角，

所以△BEC∽△ADC.

(3)因为△BEC∽△ADC，

所以∠CBE＝∠CAD.

因为AB＝AC，BD＝CD，

所以∠BAD＝∠CAD，

所以∠BAD＝∠CBE，

因为∠ADB＝∠BEC＝90°，

所以△ABD∽△BCE，

所以＝，所以＝，

因为∠BDP＝∠BEC＝90°，∠PBD＝∠CBE，

所以△BPD∽△BCE，

所以＝.

因为BC＝2BD，所以＝，

所以AB·CE＝2DP·AD.