高中数学人教版新课标A选修4-1四 弦切角的性质同步训练题

学业分层测评(九)

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．如图2­4­12所示，AB是⊙O的直径，MN与⊙O切于点C，AC＝BC，则sin∠MCA＝(　　)

图2­4­12

A.　　　 B.　　　

C.　　　 D.

【解析】　由弦切角定理，得∠MCA＝∠ABC.

∵sin∠ABC＝＝＝＝，故选D.

【答案】　D

2．如图2­4­13，在圆的内接四边形ABCD中，AC平分∠BAD，EF切⊙O于C点，那么图中与∠DCF相等的角的个数是(　　)

图2­4­13

A．4　　 B．5

C．6 D．7

【解析】　∠DCF＝∠DAC，∠DCF＝∠BAC，∠DCF＝∠BCE，

∠DCF＝∠BDC，∠DCF＝∠DBC.

【答案】　B

3.如图2­4­14所示，AB是⊙O的直径，EF切⊙O于C，AD⊥EF于D，AD＝2，AB＝6，则AC的长为(　　)

图2­4­14

A．2   B．3

C．2 D．4

【解析】　连接BC.∵AB是⊙O的直径，

∴AC⊥BC，由弦切角定理可知，

∠ACD＝∠ABC，∴△ABC∽△ACD，

∴＝，

∴AC2＝AB·AD＝6×2＝12，

∴AC＝2，故选C.

【答案】　C

4．如图2­4­15，PC与⊙O相切于C点，割线PAB过圆心O，∠P＝40°，则∠ACP等于(　　)

【导学号：07370043】

图2­4­15

A．20°   B．25°

C．30° D．40°

【解析】　如图，连接OC，BC，

∵PC切⊙O于C点，

∴OC⊥PC，∵∠P＝40°，∴∠POC＝50°.

∵OC＝OB，

∴∠B＝∠POC＝25°，

∴∠ACP＝∠B＝25°.

【答案】　B

5．如图2­4­16所示，已知AB，AC与⊙O相切于B，C，∠A＝50°，点P是⊙O上异于B，C的一动点，则∠BPC的度数是(　　)

图2­4­16

A．65°

B．115°

C．65°或115°

D．130°或50°

【解析】　当点P在优弧上时，

由∠A＝50°，得∠ABC＝∠ACB＝65°.

∵AB是⊙O的切线，∴∠ABC＝∠BPC＝65°.

当P点在劣弧上时，∠BPC＝115°.

故选C.

【答案】　C

二、填空题

6.如图2­4­17所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA＝∠DBA.若AD＝m，AC＝n，则AB＝________.

　图2­4­17

【解析】　∵PB切⊙O于点B，∴∠PBA＝∠ACB.

又∠PBA＝∠DBA，∴∠DBA＝∠ACB，

∴△ABD∽△ACB.

∴＝，∴AB2＝AD·AC＝mn，

∴AB＝.

【答案】　

7．如图2­4­18，已知△ABC内接于圆O，点D在OC的延长线上．AD是⊙O的切线，若∠B＝30°，AC＝2，则OD的长为__________．

图2­4­18

【解析】　连接OA，

则∠COA＝2∠CBA＝60°，

且由OC＝OA知△COA为正三角形，所以OA＝2.

又因为AD是⊙O的切线，即OA⊥AD，

所以OD＝2OA＝4.

【答案】　4

8.如图2­4­19，点P在圆O直径AB的延长线上，且PB＝OB＝2，PC切圆O于C点，CD⊥AB于D点，则CD＝________.

图2­4­19

【解析】　连接OC，∵PC切⊙O于点C，

∴OC⊥PC，

∵PB＝OB＝2，OC＝2，

∴PC＝2，∵OC·PC＝OP·CD，

∴CD＝＝.

【答案】　

三、解答题

9．如图2­4­20所示，△ABT内接于⊙O，过点T的切线交AB的延长线于点P，∠APT的平分线交BT，AT于C，D.

图2­4­20

求证：△CTD为等腰三角形．

【证明】　∵PD是∠APT的平分线，∴∠APD＝∠DPT.

又∵PT是圆的切线，∴∠BTP＝∠A.

又∵∠TDC＝∠A＋∠APD，

∠TCD＝∠BTP＋∠DPT，

∴∠TDC＝∠TCD，∴△CTD为等腰三角形．

10．如图2­4­21，AB是⊙O的弦，M是上任一点，过点M的切线与分别以A，B为垂足的直线AD，BC交于D，C两点，过M点作NM⊥CD交AB于点N，求证：MN2＝AD·BC.

图2­4­21

【证明】　连接AM，MB，

因为DA⊥AB，MN⊥CD，

所以∠MDA＋∠MNA＝180°.

又因为∠MNA＋∠MNB＝180°，

所以∠MDA＝∠MNB，

又因为CD为⊙O的切线，所以∠1＝∠2，

所以△ADM∽△MNB，

所以＝，同理＝，

所以＝，即有MN2＝AD·BC.

[能力提升]

1．在圆O的直径CB的延长线上取一点A，AP与圆O切于点P，且∠APB＝30°，AP＝，则CP＝(　　) 【导学号：07370044】

A.　 B．2

C．2－1 D．2＋1

【解析】　如图，连接OP，则OP⊥PA，

又∠APB＝30°，

∴∠POB＝60°，

在Rt△OPA中，由AP＝，

易知，PB＝OP＝1，

在Rt△PCB中，

由PB＝1，∠PBC＝60°，得PC＝.

【答案】　A

2．如图2­4­22，AB是⊙O直径，P在AB的延长线上，PD切⊙O于C点，连接AC，若AC＝PC，PB＝1，则⊙O的半径为(　　)

图2­4­22

A．1   B．2

C．3 D．4

【解析】　连接BC.

∵AC＝PC，∴∠A＝∠P.

∵∠BCP＝∠A，∴∠BCP＝∠P，

∴BC＝BP＝1.

由△BCP∽△CAP，得

PC2＝PB·PA，

即AC2＝PB·PA.

而AC2＝AB2－BC2，

设⊙O半径为r，

则4r2－12＝1·(1＋2r)，解得r＝1.

【答案】　A

3．如图2­4­23，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB＝7，C是圆上一点使得BC＝5，∠BAC＝∠APB，则AB＝__________.

图2­4­23

【解析】　由PA为⊙O的切线，BA为弦，

得∠PAB＝∠BCA.

又∠BAC＝∠APB，

于是△APB∽△CAB，

所以＝.

而PB＝7，BC＝5，

故AB2＝PB·BC＝7×5＝35，即AB＝.

【答案】　

4．如图2­4­24，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE.

图2­4­24

证明：

(1)∠FEB＝∠CEB；

(2)EF2＝AD·BC.

 【证明】　(1)由直线CD与⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB.

由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB，从而∠EAB＋∠EBF＝.

又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝.

从而∠FEB＝∠EAB，故∠FEB＝∠CEB.

(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边，得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF.

类似可证Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF.

又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF，

所以EF2＝AD·BC.