高中数学人教版新课标A选修4-1三 圆的切线的性质及判定定理课后复习题

学业分层测评(八)

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．AB是⊙O的切线，在下列给出的条件中，能判定AB⊥CD的是(　　)

A．AB与⊙O相切于直线CD上的点C

B．CD经过圆心O

C．CD是直径

D．AB与⊙O相切于C，CD过圆心O

【解析】　圆的切线垂直于过切点的半径或直径．

【答案】　D

2．已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°，过C点的切线PC与AB的延长线交于P，PC＝5，则⊙O的半径是(　　)

A.　　　　　　　 B.

C．10 D．5

【解析】　如图，连接OC，

∠PAC＝30°，

由圆周角定理知，

∠POC＝2∠PAC＝60°，

由切线性质知∠OCP＝90°.

∴在Rt△OCP中，tan∠POC＝.

∴OC＝＝＝.

【答案】　A

3．如图2­3­13，CD切⊙O于B，CO的延长线交⊙O于A，若∠C＝36°，则∠ABD的度数是(　　)

图2­3­13

A．72°　　　　 B．63°

C．54° D．36°

【解析】　连接O B.

∵CD为⊙O的切线，∴∠OBC＝90°.

∵∠C＝36°，∴∠BOC＝54°.

又∵∠BOC＝2∠A，∴∠A＝27°，

∴∠ABD＝∠A＋∠C＝27°＋36°＝63°.

【答案】　B

4.如图2­3­14所示，⊙O是正△ABC的内切圆，切点分别为E，F，G，点P是弧EG上的任意一点，则∠EPF＝(　　)

图2­3­14

A．120°   B．90°

C．60° D．30°

【解析】　如图所示，连接OE，OF.

∵OE⊥AB，OF⊥BC，∴∠BEO＝∠BFO＝90°，

∴∠EOF＋∠ABC＝180°，

∴∠EOF＝120°，∴∠EPF＝∠EOF＝60°.

【答案】　C

5．如图2­3­15所示，AC切⊙O于D，AO的延长线交⊙O于B，且AB⊥BC，若AD∶AC＝1∶2，则AO∶OB＝(　　)

图2­3­15

A．2∶1   B．1∶1

C．1∶2 D．1∶1.5

【解析】　如图所示，连接OD，OC，则OD⊥AC.

∵AB⊥BC，∴∠ODC＝∠OBC＝90°.

∵OB＝OD，OC＝OC，

∴△CDO≌△CBO，∴BC＝DC.

∵＝，∴AD＝DC，

∴BC＝AC.

又OB⊥BC，∴∠A＝30°，

∴OB＝OD＝AO，∴＝.

【答案】　A

二、填空题

6.如图2­3­16，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，⊙O分别与边AB，AC相切，切点分别为E，C.则⊙O的半径是________．

图2­3­16

【解析】　连接OE，设OE＝r，

∵OC＝OE＝r，BC＝12，

则BO＝12－r，AB＝＝13，

由△BEO∽△BCA，得＝，

即＝，解得r＝.

【答案】　

7．如图2­3­17，在半径分别为5 cm和3 cm的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，则弦AB的长为______cm.

图2­3­17

【解析】　连接OA，OC，

∵AB是小圆的切线，

∴OC⊥AB，∴AC＝A B.

∵在Rt△AOC中，

AC＝＝4(cm)，

∴AB＝8 cm.

【答案】　8

8．如图2­3­18所示，圆O的半径为1，A，B，C是圆周上的三点，满足∠ABC＝30°，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA＝________.

图2­3­18

【解析】　连接OA.∵AP为⊙O的切线，

∴OA⊥AP.

又∠ABC＝30°，∴∠AOC＝60°.

∴在Rt△AOP中，OA＝1，PA＝OA·tan 60°＝.

【答案】　

三、解答题

9.如图2­3­19，已知D是△ABC的边AC上的一点，AD∶DC＝2∶1，∠C＝45°，∠ADB＝60°，求证：AB是△BCD的外接圆的切线. 【导学号：07370040】

图2­3­19

【证明】　如图，连接OB，OC，OD，设OD交BC于E.

因为∠DCB是所对的圆周角，

∠BOD是所对的圆心角，

∠BCD＝45°，

所以∠BOD＝90°.

因为∠ADB是△BCD的一个外角，

所以∠DBC＝∠ADB－∠ACB＝60°－45°＝15°，

所以∠DOC＝2∠DBC＝30°，

从而∠BOC＝120°.

因为OB＝OC，所以∠OBC＝∠OCB＝30°.

在△OEC中，

因为∠EOC＝∠ECO＝30°，

所以OE＝EC.

在△BOE中，因为∠BOE＝90°，∠EBO＝30°，所以BE＝2OE＝2EC，

所以＝＝，

所以AB∥OD，所以∠ABO＝90°，

故AB是△BCD的外接圆的切线．

10．如图2­3­20，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB于E，∠POC＝∠PCE.

图2­3­20

(1)求证：PC是⊙O的切线；

(2)若OE∶EA＝1∶2，PA＝6，求⊙O半径．

【解】　(1)证明：在△OCP与△CEP中，

∵∠POC＝∠PCE，∠OPC＝∠CPE，

∴∠OCP＝∠CEP.

∵CD⊥AB，∴∠CEP＝90°，

∴∠OCP＝90°.

又∵C点在圆上，∴PC是⊙O的切线．

(2)法一：设OE＝x，则EA＝2x，OC＝OA＝3x.

∵∠COE＝∠AOC，∠OEC＝∠OCP＝90°，

∴△OCE∽△OPC，

∴＝，

即(3x)2＝x(3x＋6)，∴x＝1，

∴OA＝3x＝3，即圆的半径为3.

法二：由(1)知PC是⊙O的切线，

∴∠OCP＝90°.

又∵CD⊥OP，由射影定理知OC2＝OE·OP，以下同法一．

[能力提升]

1．如图2­3­21，在⊙O中，AB为直径，AD为弦，过B点的切线与AD的延长线交于C，若AD＝DC，则sin∠ACO等于(　　)

图2­3­21

A.　　　　 B.

C. D.

【解析】　连接BD，则BD⊥AC.

∵AD＝DC，∴BA＝BC，

∴∠BCA＝45°.

∵BC是⊙O的切线，切点为B，

∴∠OBC＝90°.

∴sin∠BCO＝＝＝，

cos ∠BCO＝＝＝.

∴sin∠ACO＝sin(45°－∠BCO)

＝sin45°cos ∠BCO－cos 45°sin ∠BCO

＝×－×＝.

【答案】　A

2．如图2­3­22所示，已知PA是圆O的切线，切点为A，PA＝2，AC是圆O的直径，PC与圆O交于B点，PB＝1，则圆O的半径R＝__________.

图2­3­22

【解析】　AB＝＝.

由AB2＝PB·BC，

∴BC＝3，Rt△ABC中，

AC＝＝2，

∴R＝.

【答案】　

3．圆O的直径AB＝6，C为圆周上一点，BC＝3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l，圆交于点D，E，则∠DAC＝__________，DC＝__________.

【解析】　连接OC，

∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC.

又∠DCA＋∠ACO＝90°，

∠ACO＋∠OCB＝90°，

∴∠DCA＝∠OCB.

∵OC＝3，BC＝3，

∴△OCB是正三角形，

∴∠OBC＝60°，即∠DCA＝60°，

∴∠DAC＝30°.

在Rt△ACB中，AC＝＝3，

DC＝ACsin 30°＝ .

【答案】　30°　

4．如图2­3­23，AD是⊙O的直径，BC切⊙O于点D，AB，AC与圆分别相交于点E，F.

【导学号：07370041】

图2­3­23

(1)AE·AB与AF·AC有何关系？请给予证明；

(2)在图中，如果把直线BC向上或向下平移，得到图2­3­24(1)或图(2)，在此条件下，(1)题的结论是否仍成立？为什么？

图2­3­24

【解】　(1)AE·AB＝AF·AC.

证明：连接DE.

∵AD为⊙O的直径，∴∠DEA＝90°.

又∵BC与⊙O相切于点D，

∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°，∴∠ADB＝∠DEA.

又∵∠BAD＝∠DAE，∴△BAD∽△DAE，

∴＝，即AD2＝AB·AE.

同理AD2＝AF·AC，∴AE·AB＝AF·AC.

(2)(1)中的结论仍成立．

因为BC在平移时始终与AD垂直，设垂足为D′，

则∠AD′B＝90°.

∵AD为圆的直径，

∴∠AED＝∠AD′B＝90°.

又∵∠DAE＝∠BAD′，∴△ABD′∽△ADE，

∴＝，∴AB·AE＝AD·AD′.

同理AF·AC＝AD·AD′，故AE·AB＝AF·AC.