人教版新课标A选修4-1三 相似三角形的判定及性质同步测试题

学业分层测评(三)

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．如图1­3­12，在正方形网格上有6个三角形：①△ABC，②△BCD，③△BDE，④△BFG，⑤△FGH，⑥△EFK.其中，②～⑥中与三角形①相似的是

(　　)

图1­3­12

A．②③④　　 B．③④⑤

C．④⑤⑥ D．②③⑥

【解析】　由相似三角形判定定理知选B.

【答案】　B

2．如图1­3­13，在△ABC中，M在BC上，N在AM上，CM＝CN，且＝，下列结论中正确的是(　　)

图1­3­13

A．△ABM∽△ACB

B．△ANC∽△AMB

C．△ANC∽△ACM

D．△CMN∽△BCA

【解析】　∵CM＝CN，∴∠CMN＝∠CNM.

∵∠AMB＝∠CNM＋∠MCN，

∠ANC＝∠CMN＋∠MCN，∴∠AMB＝∠ANC.

又＝，

∴△ANC∽△AM B.

【答案】　B

3．如图1­3­14，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则等于(　　)

【导学号：07370013】

图1­3­14

A.    B.

C. D.

【解析】　∵AF⊥DE，∴Rt△DAO∽Rt△DEA，

∴＝＝.

【答案】　D

4．如图1­3­15，在等边三角形ABC中，E为AB中点，点D在AC上，使得＝，则有(　　)

图1­3­15

A．△AED∽△BED

B．△AED∽△CBD

C．△AED∽△ABD

D．△BAD∽△BCD

【解析】　因为∠A＝∠C，＝＝2，所以△AED∽△CBD.

【答案】　B

5.如图1­3­16所示，已知点E，F分别是△ABC中AC，AB边的中点，BE，CF相交于点G，FG＝2，则CF的长为(　　)

图1­3­16

A．4   B．4.5

C．5 D．6

【解析】　∵E，F分别是△ABC中AC，AB边的中点，∴FE∥BC，由相似三角形的预备定理，得△FEG∽△CBG，∴＝＝.

又FG＝2，∴GC＝4，∴CF＝6.

【答案】　D

二、填空题

6．如图1­3­17，BD⊥AE，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，AD＝3，则DE＝________，CE＝________.

图1­3­17

【解析】　在Rt△ACE和Rt△ADB中，∠A为公共角，∴△ACE∽△ADB，∴＝，

∴AE＝＝＝＝8，则DE＝AE－AD＝5，

在Rt△ACE中，CE＝＝＝2.

【答案】　5　2

7．如图1­3­18，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则AE＝________.

图1­3­18

【解析】　由∠B＝∠D，AE⊥BC及∠ACD＝90°可以推得：

Rt△ABE∽Rt△ADC，故＝

∴AE＝＝2.

【答案】　2

8.如图1­3­19，在平行四边形ABCD中，E在DC上，若DE∶EC＝1∶2，则BF∶BE＝________. 【导学号：07370014】

图1­3­19

【解析】　∵DE∶EC＝1∶2，

∴DC∶EC＝3∶2，∴AB∶EC＝3∶2.

∵AB∥EC，

∴△ABF∽△CEF，

∴＝＝，∴＝.

【答案】　3∶5

三、解答题

9．如图1­3­20，已知△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于点F.

求证：PB2＝PE·PF.

图1­3­20

【证明】　连接PC.

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB.

∵AD是中线，∴AD垂直平分BC，

∴PB＝PC，

∴∠PBD＝∠PCD，

∴∠ABP＝∠ACP.

又∵CF∥AB，∴∠ABP＝∠F＝∠ACP，

而∠CPE＝∠FPC.

∴△PCE∽△PFC，

∴＝，∴PC2＝PE·PF，

即PB2＝PE·PF.

10.如图1­3­21，某市经济开发区建有B，C，D三个食品加工厂，这三个工厂和开发区A处的自来水厂正好在一个矩形的四个顶点上，它们之间有公路相通，且AB＝CD＝900米，AD＝BC＝1 700米．自来水公司已经修好一条自来水主管道AN，B，C两厂之间的公路与自来水主管道交于E处，EC＝500米．若自来水主管道到各工厂的自来水管道由各厂负责修建，每米造价800元．

图1­3­21

(1)要使修建自来水管道的造价最低，这三个工厂的自来水管道路线应怎样设计？并在图中画出该路线；

(2)求出各厂所修建的自来水管道的最低造价各是多少元？

【解】　(1)如图，过B，C，D分别作AN的垂线段BH，CF，DG交AN于H，F，G，BH，CF，DG即为所求的造价最低的管道路线．

(2)在Rt△ABE中，AB＝900米，

BE＝1 700－500＝1 200米，

∴AE＝＝1 500(米)，

由△ABE∽△CFE，得到＝，

即＝，

可得CF＝300(米)．由△BHE∽△CFE，

得＝，

即＝，可得BH＝720(米)．

由△ABE∽△DGA，得＝，

即＝，

可得DG＝1020(米)．

所以，B，C，D三厂所建自来水管道的最低造价分别是720×800＝576 000(元)，300×800＝240 000(元)，1 020×800＝816 000(元)．

[能力提升]

1.如图1­3­22所示，要使△ACD∽△BCA，下列各式中必须成立的是(　　)

图1­3­22

A.＝　　　 B.＝

C．AC2＝CD·CB D．CD2＝AC·AB

【解析】　∠C＝∠C，只有＝，即AC2＝CD·CB时，才能使△ACD∽△BCA.

【答案】　C

2．如图1­3­23所示，∠AOD＝90°，OA＝OB＝BC＝CD，则下列结论正确的是(　　)

图1­3­23

A．△DAB∽△OCA

B．△OAB∽△ODA

C．△BAC∽△BDA

D．△OAC∽△ABD

【解析】　设OA＝OB＝BC＝CD＝a，

则AB＝a，BD＝2a，

∴＝，＝＝，

∴＝，且∠ABC＝∠DBA，

∴△BAC∽△BDA.

【答案】　C

3．如图1­3­24所示，∠BAC＝∠DCB，∠CDB＝∠ABC＝90°，AC＝a，BC＝B.当BD＝__________时，△ABC∽△CDB.

图1­3­24

【解析】　由＝即可得到．

【答案】　

4．如图1­3­25所示，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连接FC(AB>AE)．

图1­3­25

(1)△AEF与△ECF是否相似？若相似证明你的结论；若不相似，请说明理由；

(2)设＝k，是否存在这样的k值 ，使得△AEF与△BFC相似，若存在，证明你的结论，并求出k的值；若不存在，说明理由．

【解】　(1)相似．在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°.

∵EF⊥EC，A，E，D共线，∴∠AEF＋∠DEC＝90°.

又∵∠DCE＋∠DEC＝90°，∴∠AEF＝∠DCE，

∴△AEF∽△DCE，∴＝，

∴AE＝DE，∴＝.

又∵∠A＝∠FEC＝90°，∴△AEF∽△ECF.

(2)存在．由于∠AEF＝90°－∠AFE<180°－∠CFE－∠AFE＝∠BFC，

∴只能是△AEF∽△BCF，∠AEF＝∠BCF.

由(1)知∠AEF＝∠DCE＝∠ECF＝∠FCB＝30°.

∴＝＝＝，即k＝.

反过来，在k＝时，＝，∠DCE＝30°，

∠AEF＝∠DCE＝30°，∠ECF＝∠AEF＝30°，

∠BCF＝90°－30°－30°＝30°＝∠AEF.

∴△AEF∽△BCF.