高中数学人教版新课标A选修4-1五 与圆有关的比例线段同步测试题

学业分层测评(十)

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．如图2­5­17，⊙O的两条弦AB与CD相交于点E，EC＝1，DE＝4，AE＝2，则BE＝(　　)

图2­5­17

A．1　 B．2　　　　

C．3　　　　 D．4

【解析】　由相交弦定理得AE·EB＝DE·EC，即2EB＝4×1，∴BE＝2.

【答案】　B

2．PT切⊙O于T，割线PAB经过点O交⊙O于A，B，若PT＝4，PA＝2，则cos∠BPT＝(　　)

A.　　　　 B.　　　　

C.　　　　 D.

【解析】　如图所示，连接OT，根据切割线定理，可得

PT2＝PA·PB，即42＝2×PB，

∴PB＝8，∴AB＝PB－PA＝6，

∴OT＝r＝3，PO＝PA＋r＝5，

∴cos∠BPT＝＝.

【答案】　A

3．如图2­5­18，⊙O的直径CD与弦AB交于P点，若AP＝4，BP＝6，CP＝3，则⊙O的半径为(　　)

图2­5­18

A．5.5   B．5

C．6 D．6.5

【解析】　由相交弦定理知AP·BP＝CP·PD，

∵AP＝4，BP＝6，CP＝3，

∴PD＝＝＝8，

∴CD＝3＋8＝11，∴⊙O的半径为5.5.

【答案】　A

4．如图2­5­19，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3.以BC上一点O为圆心作⊙O与AC，AB都相切，又⊙O与BC的另一个交点为D，则线段BD的长为(　　) 【导学号：07370047】

图2­5­19

A．1　　 B.　　

C.　　 D.

【解析】　观察图形，AC与⊙O切于点C，AB与⊙O切于点E，则AB＝＝5.

如图，连接OE，由切线长定理得AE＝AC＝4，

故BE＝AB－AE＝5－4＝1.

根据切割线定理得BD·BC＝BE2，

即3BD＝1，故BD＝.

【答案】　C

5.如图2­5­20，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G.给出下列三个结论：

图2­5­20

①AD＋AE＝AB＋BC＋AC；②AF·AG＝AD·AE；③△AFB∽△ADG.

其中正确结论的序号是(　　)

A．①②   B．②③ 

C．①③ D．①②③

【解析】　①项，∵BD＝BF，CE＝CF，∴AD＋AE＝AC＋CE＋AB＋BD＝AC＋AB＋CF＋BF＝AC＋AB＋BC，故①正确；

②项，∵AD＝AE，AD2＝AF·AG，∴AF·AG＝AD·AE，故②正确；

③项，延长AD于M，连接FD，∵AD与圆O切于点D，则∠GDM＝∠GFD，

∴∠ADG＝∠AFD≠∠AFB，则△AFB与△ADG不相似，故③错误，故选A.

【答案】　A

二、填空题

6．如图2­5­21，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线交于D，过点C作BD的平行线与圆交于点E，与AB交于点F，AF＝3，FB＝1，EF＝，则CD＝________.

图2­5­21

【解析】　因为AF·BF＝EF·CF，解得CF＝2，由CE∥BD，得＝，所以＝，即BD＝.设CD＝x，AD＝4x，所以4x2＝，所以x＝.

【答案】　

7．如图2­5­22，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D，若PA＝3，PD∶DB＝9∶16，则PD＝________，AB＝________.

图2­5­22

【解析】　由于PD∶DB＝9∶16，设PD＝9a，则DB＝16a.

根据切割线定理有PA2＝PD·P B.又PA＝3，PB＝25a，

∴9＝9a·25a，∴a＝，∴PD＝，PB＝5.

在Rt△PAB中，AB2＝PB2－AP2＝25－9＝16，故AB＝4.

【答案】　　4

8．如图2­5­23所示，过点P的直线与⊙O相交于A，B两点．若PA＝1，AB＝2，PO＝3，则⊙O的半径等于________．

图2­5­23

【解析】　设⊙O的半径为r(r>0)，∵PA＝1，AB＝2，

∴PB＝PA＋AB＝3.

延长PO交⊙O于点C，则PC＝PO＋r＝3＋r.

设PO交⊙O于点D，则PD＝3－r.

由圆的割线定理知，PA·PB＝PD·PC，

∴1×3＝(3－r)(3＋r)，

∴9－r2＝3，∴r＝.

【答案】　

三、解答题

9．(2016·山西四校联考)如图2­5­24所示，PA为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，PA＝10，PB＝5，∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E.

图2­5­24

(1)求证：＝；

(2)求AD·AE的值．

【解】　(1)证明：∵PA为圆O的切线，∴∠PAB＝∠ACP.又∠P为公共角，

△PAB∽△PCA，∴＝.

(2)∵PA为圆O的切线，PC是过点O的割线，

∴PA2＝PB·PC，∴PC＝20，BC＝15.

又∵∠CAB＝90°，∴AC2＋AB2＝BC2＝225.

又由(1)知＝＝，∴AC＝6，AB＝3，连接EC，则∠CAE＝∠EAB，∠AEC＝∠ABD.

∴△ACE∽△ADB，∴＝.

∴AD·AE＝AB·AC＝3×6＝90.

10．如图2­5­25，已知PA，PB切⊙O于A，B两点，PO＝4cm，∠APB＝60°，求阴影部分的周长．

图2­5­25

【解】　如图所示，连接OA，O B.

∵PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，

∴PA＝PB，∠PAO＝∠PBO＝，

∠APO＝∠APB＝，

在Rt△PAO中，

AP＝PO·cos＝4×＝2  (cm)，

OA＝PO＝2 (cm)，PB＝2 (cm)．

∵∠APO＝，∠PAO＝∠PBO＝，∴∠AOB＝，

∴l＝∠AOB·R＝×2＝π(cm)，

∴阴影部分的周长为

PA＋PB＋l＝2＋2＋π＝(cm)．

[能力提升]

1．如图2­5­26，已知PT切⊙O于点T，TC是⊙O的直径，割线PBA交TC于点D，交⊙O于B，A(B在PD上)，DA＝3，DB＝4，DC＝2，则PB等于(　　)

【导学号：07370048】

图2­5­26

A．20　　 B．10

C．5 D．8

【解析】　∵DA＝3，DB＝4，DC＝2，

由相交弦定理得DB·DA＝DC·DT，

即DT＝＝＝6.

因为TC为⊙O的直径，所以PT⊥DT.

设PB＝x，

则在Rt△PDT中，

PT2＝PD2－DT2＝(4＋x)2－36.

由切割线定理得PT2＝PB·PA＝x(x＋7)，

所以(4＋x)2－36＝x(x＋7)，

解得x＝20，即PB＝20.

【答案】　A

2．如图2­5­27，△ABC中，∠C＝90°，⊙O的直径CE在BC上，且与AB相切于D点，若CO∶OB＝1∶3，AD＝2，则BE等于(　　)

图2­5­27

A.   B．2

C．2 D．1

【解析】　连接OD，

则OD⊥BD，

∴Rt△BOD∽Rt△BAC，

∴＝.

设⊙O的半径为a，

∵OC∶OB＝1∶3，OE＝OC，

∴BE＝EC＝2a.

由题知AD，AC均为⊙O的切线，AD＝2，

∴AC＝2.

∴＝，∴BD＝2a2.

又BD2＝BE·BC，

∴BD2＝2a·4a＝8a2，

∴4a4＝8a2，∴a＝，

∴BE＝2a＝2.

【答案】　B

3．如图2­5­28，已知P是⊙O外一点，PD为⊙O的切线，D为切点，割线PEF经过圆心O，若PF＝12，PD＝4，则圆O的半径长为__________，∠EFD的度数为__________．

图2­5­28

【解析】　由切割线定理得，

PD2＝PE·PF，

∴PE＝＝＝4，EF＝8，OD＝4.

∵OD⊥PD，OD＝PO，

∴∠P＝30°，∠POD＝60°，

∴∠EFD＝30°.

【答案】　4　30°

4．如图2­5­29，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E.

图2­5­29

(1)若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；

(2)若OA＝CE，求∠ACB的大小．

【解】　(1)证明：如图，连接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB.

在Rt△AEC中，由已知得DE＝DC，故∠DEC＝∠DCE.

连接OE，则∠OBE＝∠OEB.

又∠ACB＋∠ABC＝90°，

所以∠DEC＋∠OEB＝90°，

故∠OED＝90°，即DE是⊙O的切线．

(2)设CE＝1，AE＝x.

由已知得AB＝2，BE＝.

由射影定理可得AE2＝CE·BE，

即x2＝，即x4＋x2－12＝0，

解得x＝，所以∠ACB＝60°.