人教版新课标A选修4-1四 直角三角形的射影定理课时练习

学业分层测评(五)

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD＝3，BD＝2，则AC∶BC的值是(　　)

A．3∶2　　　　 B．9∶4

C.∶ D.∶

【解析】　如图，在Rt△ACB中，CD⊥AB，由射影定理知AC2＝AD·AB，

BC2＝BD·AB，

又∵AD＝3，BD＝2，

∴AB＝AD＋BD＝5，

∴AC2＝3×5＝15，BC2＝2×5＝10.

∴＝＝，即AC∶BC＝∶，

故选C.

【答案】　C

2.如图1­4­9所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，D为垂足，若CD＝6，AD∶DB＝1∶2，则AD的值是(　　)

图1­4­9

A．6   B．3

C．18 D．3

【解析】　由题意知

∴AD2＝18，

∴AD＝3.

【答案】　B

3．一个直角三角形的一条直角边为3 cm，斜边上的高为2.4 cm，则这个直角三角形的面积为(　　)

【导学号：07370021】

A．7.2 cm2   B．6 cm2

C．12 cm2 D．24 cm2

【解析】　长为3 cm的直角边在斜边上的射影为＝1.8(cm)，由射影定理知斜边长为＝5(cm)，

∴三角形面积为×5×2.4＝6(cm2)．

【答案】　B

4．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，若＝，则等于(　　)

A.　　 B. 

C.　　 D.

【解析】　如图，由射影定理，得AC2＝CD·BC，AB2＝BD·BC，

∴＝＝2，

即＝，

∴＝.

【答案】　C

5．在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若BD∶AD＝1∶4，则tan∠BCD的值是(　　)

【导学号：07370022】

A. 　　　 B.　　　

C.　　　 D．2

【解析】　如图，由射影定理得CD2＝AD·BD.

又∵BD∶AD＝1∶4，

令BD＝x，则AD＝4x(x>0)，

∴CD2＝AD·BD＝4x2，∴CD＝2x，

在Rt△CDB中，tan∠BCD＝＝＝.

【答案】　C

二、填空题

6．如图1­4­10，在矩形ABCD中，AE⊥BD，OF⊥AB.DE∶EB＝1∶3，OF＝a，则对角线BD的长为________．

图1­4­10

【解析】　∵OF＝a，

∴AD＝2a.

∵AE⊥BD，

∴AD2＝DE·BD.

∵DE∶EB＝1∶3，∴DE＝BD，

∴AD2＝BD·BD，

∴BD2＝4AD2＝4×4a2＝16a2，∴BD＝4a.

【答案】　4a

7．如图1­4­11，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3 cm，4 cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD＝______cm.

图1­4­11

【解析】　连接CD，则CD⊥A B.

由AC＝3 cm，BC＝4 cm，得AB＝5 cm.

由射影定理得BC2＝BD·BA，即42＝5BD.

所以BD＝ cm.

【答案】　

8．已知在梯形ABCD中，DC∥AB，∠D＝90°，AC⊥BC，AB＝10 cm，AC＝6 cm，则此梯形的面积为________．

【解析】　如图，过C点作CE⊥AB于E.

在Rt△ACB中，

∵AB＝10 cm，AC＝6 cm，

∴BC＝8 cm，

∴BE＝6.4 cm，AE＝3.6 cm，

∴CE＝＝4.8(cm)，

∴AD＝4.8 cm.

又∵在梯形ABCD中，CE⊥AB，

∴DC＝AE＝3.6 cm.

∴S梯形ABCD＝＝32.64(cm2)．

【答案】　32.64 cm2

三、解答题

9．已知直角三角形周长为48 cm，一锐角平分线分对边为3∶5两部分.

(1)求直角三角形的三边长；

(2)求两直角边在斜边上的射影的长．

【解】　(1)如图，设CD＝3x，BD＝5x，则BC＝8x，过D作DE⊥AB，

由题意可得，

DE＝3x，BE＝4x，

∴AE＋AC＋12x＝48.

又AE＝AC，

∴AC＝24－6x，AB＝24－2x，

∴(24－6x)2＋(8x)2＝(24－2x)2，

解得x1＝0(舍去)，x2＝2，

∴AB＝20，AC＝12，BC＝16，

∴三边长分别为20 cm,12 cm,16 cm.

(2)作CF⊥AB于F，

∴AC2＝AF·AB，

∴AF＝＝＝(cm)．

同理BF＝＝＝(cm)．

∴两直角边在斜边上的射影长分别为 cm， cm.

10．如图1­4­12所示，CD垂直平分AB，点E在CD上，DF⊥AC，DG⊥BE，点F，G分别为垂足．求证：AF·AC＝BG·BE.

图1­4­12

【证明】　∵CD垂直平分AB，

∴△ACD和△BDE均为直角三角形，并且AD＝BD.

又∵DF⊥AC，DG⊥BE，

∴AF·AC＝AD2，BG·BE＝DB2.

∵AD2＝DB2，∴AF·AC＝BG·BE.

[能力提升]

1．已知直角三角形中两直角边的比为1∶2，则它们在斜边上的射影比为

(　　)

A．1∶2　　　　 B．2∶1

C．1∶4 D．4∶1

【解析】　设直角三角形两直角边长分别为1和2，则斜边长为，∴两直角边在斜边上的射影分别为和.

【答案】　C

2．已知Rt△ABC中，斜边AB＝5 cm，BC＝2 cm，D为AC上一点，DE⊥AB交AB于E，且AD＝3.2 cm，则DE＝(　　)

A．1.24 cm   B．1.26 cm

C．1.28 cm D．1.3 cm

【解析】　如图，∵∠A＝∠A，

∴Rt△ADE∽Rt△ABC，

∴＝，

DE＝＝＝1.28.

【答案】　C

3．如图1­4­13所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AC＝6，AD＝3.6，则BC＝__________.

图1­4­13

【解析】　由射影定理得，

AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，

∴＝，即BC2＝.

又∵CD2＝AD·BD，∴BD＝.

∴BC2＝＝＝64.

∴BC＝8.

【答案】　8

4．如图1­4­14，已知BD，CE是△ABC的两条高，过点D的直线交BC和BA的延长线于G，H，交CE于F，且∠H＝∠BCE，求证：GD2＝FG·GH.

图1­4­14

【证明】　∵∠H＝∠BCE，∠EBC＝∠GBH，

∴△BCE∽△BHG，

∴∠BEC＝∠BGH＝90°，

∴HG⊥BC.

∵BD⊥AC，在Rt△BCD中，

由射影定理得，GD2＝BG·CG.　①

∵∠FGC＝∠BGH＝90°，∠GCF＝∠H，

∴△FCG∽△BHG，

∴＝，

∴BG·CG＝GH·FG.　②

由①②得，GD2＝GH·FG.