试卷 四川省成都市大邑县2020-2021学年九年级上学期期中数学试题（word版 含答案）

四川省成都市大邑县2020-2021学年九年级上学期期中数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．方程 =9的根是（   ）

A．x=3 B．x=-3 C． =3， =-3 D． = =3

2．下列四组线段中，不是成比例线段的是（   ）

A．a=3，b=6，c=2，d=4 B．a=1，b=，c=，d=2

C．a=4，b=6，c=5，d=10 D．a=2，b=，c=2，d=

3．用配方法解方程时，原方程应变形为（           ）

A． B． C． D．

4．下列说法中，错误的是（　　）

A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

B．两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形

C．四个角都相等的四边形是矩形

D．邻边相等的菱形是正方形

5．做抛掷同一枚啤酒瓶盖的重复试验，经过统计得“凸面朝上”的频率约为0.44，则可以估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面朝上”的概率约为(　　)

A．22% B．44% C．50% D．56%

6．如果两个相似多边形的面积比为4:9，那么它们的周长比为（）

A．： B．2：3 C．4：9 D．16：81

7．已知点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，线段AB的长为4，则线段AC的长是（      ）

A．2－2 B．6－2 C．－1 D．3－

8．如图，在ABC中，DE∥BC，AD＝5，AB＝12，AE＝3，则AC的长是（   ）

A． B． C．20 D．15

9．如图，在菱形ABCD中，E为边CD上一点，连结AE并延长，交BC的延长线于点F，若CE＝1，DE＝2，则CF长为（　　）

A．1 B．1.5 C．2 D．2.5

10．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为

A．1 B． C． D．

二、填空题

11．已知，则= _________．

12．已知是关于x的一元二次方程，则m=_______．

13．如图在矩形中，对角线相交于点，若，则的长为_______．

14．某同学利用标杆测旗杆的高度如图所示：标杆高度CD=2.6m，标杆与旗杆的水平距离BD=15m，人的眼睛与地面的高度EF=1.6m，人与标杆CD的水平距离DF=2m，E，C，A三点共线，则旗杆AB的高度为_______m．

15．设m，n分别为一元二次方程的两个实数根，则＝_______．

16．关于 x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则常数k的取值范围是_______．

17．已知a、b、c、满足，从下列四点：① ；②(2，1)；③ ；④(1，﹣1)，中任意取一点恰好在正比例函数y＝kx图象上的概率是_______．

18．如图，正方形ABCD的边长AB＝4，点E、F分别是CB，DC延长线上的点，连AF交CB于点G，若BE＝1，连接AE，且∠EAF＝45°，则AG长为_______．

19．如图，矩形 ABCD 中，O 为 AC 中点，过点 O 的直线分别与 AB、CD 交于点 E、F，连接 BF 交 AC 于点 M，连接 DE、BO，若 COB60，FO=FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②EOB≌CMB ；③DE=EF；④，⑤，其中正确的结论是_______（填正确的序号）

三、解答题

20．解下列方程

（1）

（2）

21．已知：关于x的方程x2+kx﹣2=0

①求证：方程有两个不相等的实数根；

②若方程的一个根是﹣1，求另一个根及k值．

22．为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛．

（1）八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是__________；

（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率．

23．如图，已知ABC的三个顶点的坐标分别为A(−1，2)、B(−3，0)、C(0，0)．

（1）请直接写出点A关于x轴对称的点的坐标；

（2）以C为位似中心，在x轴下方作ABC的位似图形△A1B1C1，使放大前后位似比为1：2，请画出图形，并直接写出A1B1C1的面积=       ；

（3）请直接写出：以A，B，C，D为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．

24．如图，一个农户要建一个矩形猪舍ABCD，猪舍的一边AD利用长为12米的住房墙，另外三边用25米长的建筑材料围成．为了方便进出，在CD边留一个1米宽的小门．

（1）若矩形猪舍的面积为80平方米，求与墙平行的一边BC的长；

（2）若与墙平行的一边BC的长度不小于与墙垂直的一边AB的长度，问BC边至少应为多少米？

25．在RtABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．

（1）求证：AEF≌DEB；

（2）证明四边形ADCF是菱形；

（3）若AC=6，AB=8，求菱形ADCF的面积．

26．电动自行车已成为市民日常出行的首选工具．据我市某品牌电动自行车经销商1至3月份统计，该品牌电动自行车1月份销售150辆，3月份销售216辆，且从1月份到3月份销售量的月增长率相同．

（1）求该品牌电动自行车销售量的月增长率；

（2）该经销商决定开拓市场，此电动自行车的进价为2000元/辆，经测算在新市场中，当售价为2750元/辆时，月销售量为200辆，若在原售价的基础上每辆降价50元，则月销售量可多售出10辆．为使月销售利润达到75000元，则该品牌电动自行车的实际售价应定为多少元？

27．如图，在菱形ABCD中，BC=10cm，BD=16cm，动点P从点B开始沿BC边匀速运动，动点Q从点D开始沿对角线DB匀速运动，它们的运动速度均为1cm/s，过点Q作QE⊥CD，与CD交于点E，连接PQ，点P和点Q同时出发，设运动时间为t（s），（0﹤t﹤10）．

（1）当PQ∥CD时，求t的值；

（2）设四边形PQEC的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式；

（3）点P和点Q在运动过程中存在某一时刻t，使PQ+QE的值最小，请直接写出t的值和PQ+QE的最小值；（直接写出答案，不必说明理由）

28．矩形ABCD一条边AD=6，将矩形ABCD折叠，使得点B落在CD边上的点P处．

（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．

①求证：OCP∽PDA；

②若OCP与PDA的面积比为1：4，求边AB的长．

（2）在图1中，若点P恰好是CD边的中点，求证：

（3）如图2，在（1）的条件下，擦去AO和OP，连接BP．动点M在线段AP上（不与点P、A重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E． 试问动点M、N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若不变，求出线段EF的长度；若变化，说明理由．

参考答案

1．C

【详解】

∵，

∴.

故选C.

2．C

【分析】

根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．

【详解】

解：A、3×4=6×2，是成比例线段，故本选项不符合题意；

B、，是成比例线段，故本选项不符合题意；

C、4×10≠6×5，不是成比例线段，故本选项符合题意；

D、，是成比例线段，故本选项不符合题意；

故选：C．

【点睛】

此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．

3．A

【分析】

先把方程变形为x2−4x＝7，然后把方程两边加上4后利用完全平方公式写为（x−2）2＝11即可．

【详解】

x2−4x＝7，

x2−4x＋4＝11，

所以（x−2）2＝11．

故选A．

【点睛】

本题考查了解一元二次方程−配方法：将一元二次方程配成（x＋m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．

4．D

【详解】

试题分析：A选项中一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是平行四边形非常重要的一个判定定理，故正确，B选项对角线互相平分得到为平行四边形，再加又互相垂直可得为菱形，故正确，C选项是正确，四个角相等，只能都为90度，就变成了矩形，故正确，D选项是错误的，因为菱形本来邻边相等，并不能得出为正方形；

故选D

考点：平行四边形及特殊的平行四边的判定及性质.

5．B

【详解】

试题解析：∵凸面向上”的频率约为0.44，

∴估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为0.44=44%，

故选B．

6．B

【分析】

根据面积比为相似比的平方即可求得结果.

【详解】

解：∵两个相似多边形的面积比为4：9，

∴它们的周长比为：=.

故选B.

【点睛】

本题主要考查图形相似的知识点，解此题的关键在于熟记两个相似多边形的面积比为其相似比的平方.

7．A

【分析】

根据黄金分割比的定义：较长的线段与整个线段的比值是，进行求解．

【详解】

解：，

，

．

故选：A．

【点睛】

本题考查黄金分割点，解题的关键是掌握黄金分割点的定义．

8．A

【分析】

根据相似三角形的性质求解即可．

【详解】

∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴，

即：，

解得：，

故选：A．

【点睛】

本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的基本性质是解题关键．

9．B

【分析】

根据菱形的性质得到AD＝CD＝CE+DE＝3，AD∥BC，推出△ADE∽△FCE，根据相似三角形的性质得到，代入数据即可得到结论．

【详解】

解：在菱形ABCD中，

∵AD＝CD＝CE+DE＝3，AD∥BC，

∴△ADE∽△FCE，

∴，

∴，

∴CF＝1.5，

故选B．

【点睛】

此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知相似三角形对应成比例.

10．C

【详解】

分析：在正方形ABCD中，∠ABD=∠ADB=45°，

∵∠BAE=22.5°，∴∠DAE=90°－∠BAE=90°－22.5°=67.5°．

在△ADE中，∠AED=180°-45°-67.5°=67.5°，∴∠DAE=∠ADE．∴AD=DE=4．

∵正方形的边长为4，∴BD=．∴BE=BD－DE=．

∵EF⊥AB，∠ABD=45°，∴△BEF是等腰直角三角形．

∴EF=BE==．故选C．

11．

【分析】

由题意可设，然后代入求解即可．

【详解】

解：，

设

，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．

12．-2

【分析】

根据一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．

【详解】

解：由题意，得|m|=2，且m-2≠0，解得m=-2，

故答案为：-2．

【点睛】

本题考查一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．

13．4

【分析】

根据30度所对的直角边等于斜边的一半求出AC=4，利用矩形的性质得到BD=AC=4即可．

【详解】

在矩形中，，

，

，

∵四边形是矩形，

．

故答案为：4．

【点睛】

此题考查矩形的性质，直角三角形30度角的性质，熟记各性质是解题的关键．

14．10.1

【分析】

过点E作EH⊥AB于点H，交CD于点G，可得，根据相似三角形的对应边成比例，求出AH的长，进而求出AB的长．

【详解】

解：如图，过点E作于点H，交CD于点G．

由题意可得，四边形、都是矩形， ．

∴，

∴．

由题意可得：

EG=FD=2m，GH=DB=15m，EH=EG+GH=17m，

CG=CD－GD=CD－EF=2.6－1.6=1m．

∴，

∴8.5m，

∴8.5+1.6＝10.1m．

故答案为：10.1m．

【点睛】

本题主要考查了相似三角形的应用，根据相似三角形判定定理得出是解题关键．

15．2022

【分析】

根据一元二次方程的解的定义和根与系数关系求得，m+n=2，再由求解即可．

【详解】

解：∵m，n分别为一元二次方程的两个实数根，

∴，m+n=2，

∴=2020+2=2022，

故答案为：2022．

【点睛】

本题考查一元二次方程的解、一元二次方程根与系数关系、代数式求值，理解一元二次方程的解的定义，能将变形为是解答的关键．

16．且

【分析】

一元二次方程有两个不相等的实数根，则△=b2-4ac＞0，结合一元二次方程的定义，求出k的取值范围．

【详解】

由题意得：1−2k≠0即k≠，

k+1≥0，即k≥−1，

△=b2−4ac=(−2)2−4×(1−2k)×(−1)=8−4k>0，

∴k<2，

故答案为：且．

【点睛】

此题考查根的判别式，二次根式有意义的条件，解题关键在于掌握判别式．

17．

【分析】

根据先求出k值，进而求得正比例函数的解析式，再根据正比例函数图象上点的坐标特征依次判断四个点，进而利用概率公式求解即可．

【详解】

解：∵a、b、c、满足，

∴当a+b+c=0时，k=﹣1，

此时正比例函数的表达式为y＝x，

将四个点代入，点④（1，﹣1）在正比例函数y＝﹣x的图象上；

当a+b+c≠0时，

k= = = ，

∴正比例函数的表达式为y＝x，

将四个点代入，点①和点②(2，1)在正比例函数y＝x的图象上，

∴任意取一点恰好在正比例函数y＝kx图象上的概率是，

故答案为：．

【点睛】

本题考查等比性质、正比例函数图象上点的坐标特征、求概率公式，能分类求解k值是解答的关键．

18．

【分析】

把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADH，可使AB与AD重合，则H在DC上，然后证明△EAF≌△HAF，从而可得到EF=FH，设EF=FH=x，则FC=x-3，在Rt△EFC中，依据勾股定理可求得x的值，从而可得到FD、FC的长，然后再依据相似三角形的性质求得CG的长，从而可得到BG的长，最后，依据勾股定理可求得AG的长．

【详解】

解：把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADH，可使AB与AD重合，则H在DC上．

由旋转得：BE=DH，∠DAH=∠BAE，AE=AH，

∵∠BAD=90°，

∴∠BAE+∠BAH=90°，

∵∠EAF=45°，

∴∠FAH=90°-45°=45°，

∴∠EAF=∠FAH=45°，

在△EAF和△HAF中，AE=AH，∠EAF=∠HAF，AF=AF，

∴△EAF≌△HAF（SAS），

∴EF=FH，

设EF=FH=x，则DF=x+1，FC=x-3．

在Rt△EFC中，依据勾股定理可知：

，解得：x= ，

∴FD=，FC=．

∵BC∥AD，

∴，即 ，解得：CG=1.6．

∴BG=2.4．

∴AG=．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查的是正方形的性质，全等三角形的性质和判定，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键．

19．①③⑤

【分析】

只要证明BO=BC，OF=FO，即可解决问题，故①正确；可以证明，故②错误；只要证明△DEF是等边三角形即可得到结果，故③正确；只要证明，，即可得到结果，故④错误；证明，，即可得到结论，故⑤正确．

【详解】

四边形是矩形，

，，

，

，

是等边三角形，

，

，

，，

垂直平分，故①正确；

，

，

，

，

，

，，

，

，

，

，，

，故②错误；

，，

四边形是平行四边形，

，

，

是等边三角形，

，故③正确；

易知，，

，，

，故④错误；

由前序正确结论可知，，，

∵，，，

∴，，

∴，故⑤正确；

故答案为：①③⑤．

【点睛】

本题主要考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质和全等三角形的判定与性质，准确分析判断是解题的关键．

20．（1），；（2），

【分析】

（1）用公式法求解即可；（2）整理后，用因式分解法求解即可．

【详解】

（1）∵，

∴a=1，b=2，c=-10，

∴x=,

∴，；

（2） ∵ ，

∴，

∴，

∴，

∴，．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解法，根据方程特点灵活选择公式法，因式分解法求解方程是解题的关键．

21．①见解析；②另一个根为2，k=﹣1

【分析】

①先计算判别式得到△＝k2+8，再根据非负数的性质得到△＞0，然后根据判别式的意义即可得到结论；

②先根据一元二次方程的解的定义把x＝-1代入原方程可求出k，然后利用因式分解法求解方程．

【详解】

①证明：∵a=1，b=k，c=﹣2，

∴△=b2﹣4ac=k2﹣4×1×（﹣2）=k2+8＞0，

∴方程有两个不相等的实数根；

②解：当x=﹣1时，（﹣1）2﹣k﹣2=0，

解得：k=﹣1，

则原方程为：x2﹣x﹣2=0，

即（x﹣2）（x+1）=0，

解得：x1=2，x2=﹣1，

所以另一个根为2．

【点睛】

本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2−4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解和根与系数的关系．

22．（1）；（2）

【分析】

（1）直接根据概率公式计算可得；

（2）画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，利用概率公式计算可得．

【详解】

解：（1）因为有，，种等可能结果，

所以八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是；

故答案为．

（2）树状图如图所示：

共有9种可能，八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率．

【点睛】

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，

23．（1）(−1，−2)；（2）见解析，12；（3）D(−2，−2)，(−4，2)，(2，2)

【分析】

（1）根据轴对称的坐标特征求解；
（2）根据位似图形的意义画出图形，然后根据位似比与面积比的关系求出位似图形的面积；
（3）根据平行四边形的意义可以得解 ．

【详解】

解：(1)根据关于x轴对称的点的坐标特征可得点A′的坐标为(−1，−2)；

（2）如图所示：△A1B1C1，即为所求；

由题意可知△ABC的面积=0.5×3×2=3，

∵三角形前后位似比为1：2，

∴三角形前后面积比为1：4，

∴△A1B1C1的面积=3×4=12；

(3)如图，由题意，满足条件的平行四边形第四个顶点有D、E、F三种情况，

∵BC=3，

∴上图中D为（-1+3，2）即（2，2），上图中E为（-1-3，2）即（-4，2），

设上图中F为（x,y），则由题意可得：

，

∴，

解之可得：（舍去），

∴F为（-2，-2），

综上所述，满足条件的点D的坐标为(−2，−2)，(−4，2)，(2，2).

【点睛】

本题考查图形变换的应用，熟练掌握轴对称与位似变换的图形特征和性质是解题关键．

24．（1）10m；（2）m．

【详解】

试题分析：（1）设BC的长为xm，则AB的长为（25+1-x）m．根据矩形的面积公式建立方程求出其解即可；（2）根据“与墙平行的一边BC的长度不小于与墙垂直的一边AB的长度”列出关于x的不等式组，通过解不等式组求得x的取值范围即可．

试题解析：（1）设BC的长为xm，依题意得：（25+1﹣x）x=80，解得：x1=10，x2=16（舍去），

答：矩形猪舍的面积为80平方米，求与墙平行的一边BC的长为10m；

（2）依题意得：，解得≤x≤12，

所以x最小=．答：若与墙平行的一边BC的长度不小于与墙垂直的一边AB的长度，问BC边至少应米．

【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用及一元二次方程的解法的运用，解答时寻找题目的等量关系是关键．

25．（1）见解析；（2）见解析；（3）24

【分析】

（1）根据AAS可以得到题目证明；

（2）由（1）及已知条件可得四边形ADCF是平行四边形，再根据∠BAC=90°，D是BC的中点可得AD=DC，从而得到四边形ADCF是菱形；

（3）连接DF，可以证得四边形ABDF是平行四边形，DF=AB=8，再根据菱形的面积公积可以得到答案．

【详解】

解：(1)证明：∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠DBE，

∵E是AD的中点，

∴AE=DE，

在△AFE和△DBE中，

∴△AFE≌△DBE(AAS)；

(2)证明：由(1)知，△AFE≌△DBE，则AF=DB.

∵AD为BC边上的中线

∴DB=DC，

∴AF=CD

∵AF∥BC，

∴四边形ADCF是平行四边形，

∵∠BAC=90∘，D是BC的中点，

∴AD=DC=BC，

∴四边形ADCF是菱形；

(3)连接DF，

∵AF∥BD，AF=BD，

∴四边形ABDF是平行四边形，

∴DF=AB=8，

∵四边形ADCF是菱形，

∴S菱形ADCF=AC▪DF=×6×8=24．

【点睛】

本题考查菱形与三角形全等的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定与性质、菱形的判定及性质、菱形面积的计算是解题关键．

26．（1）20%；（2）2250元

【分析】

（1）设该品牌电动自行车销售量的月增长率为x，根据该品牌电动自行车1月份及3月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；

（2）设该品牌电动自行车应降价50y元销售，则月销售量为（200+10y）辆，根据月销售利润＝每辆电动自行车的利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值，再将其代入（2750﹣50y）中即可求出结论．

【详解】

解：（1）设该品牌电动自行车销售量的月增长率为x，

依题意，得：150（1+x）2＝216，

解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．

答：该品牌电动自行车销售量的月增长率为20%．

（2）设该品牌电动自行车应降价50y元销售，则月销售量为（200+10y）辆，

依题意，得：（2750﹣2000﹣50y）（200+10y）＝75000，

整理，得：y2+5y﹣150＝0，

解得：y1＝﹣15，y2＝10，

检验：y1＝﹣15不合题意，舍去，因此y＝10

∴2750﹣50y＝2250．

答：该品牌电动自行车的实际售价应定为2250元．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的实际应用，能找到等量关系是解决此题的关键.

27．（1）；（2）；（3），

【分析】

（1）根据平行线分线段成比例定理得：，代入计算可得t的值；

（2）先根据相似三角形的性质表示PH和EQ、DE的长，根据面积差表示S与t之间的函数关系式；

（3）过Q作QF⊥AD于F，当P、Q、F三点共线时，PQ+QE的值最小，最小值就是菱形的高线PF．

【详解】

（1）由题意得：PB=DQ=t，

∵BD=16，

∴BQ=16-t，

∵PQ∥CD，

∴，

∴，

∴；

（2）如图，过P作PH⊥BD于H，连接AC交BD于点O，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

∴∠BOC=∠COD=90°，

∵AB=BC=CD=10，OB=OD=BD=8，

∴OC=6，

∵PH⊥BD，AC⊥BD，

∴PH∥OC，

∴，即，

∴，

又△QED∽△COD，

∴，即，

∴，，

；

（3）当s时，使PQ+QE的值最小，最小值是，

如图，过Q作QF⊥AD于F，

∵四边形ABCD是菱形，

∴BD平分∠ADC，

∵QE⊥CD，

∴QE=QF，

∴当P、Q、F三点共线时，PQ+QE的值最小，

∵AD∥BC，

∴PF⊥BC，

∵S菱形ABCD=PF•BC=，

∴10PF=，，

∵PF=PQ+FQ=PQ+EQ=，

∴，

∴当时，使PQ+QE的值最小，最小值是．

【点睛】

本题主要考查了相似三角形的判定与性质、菱形的性质、勾股定理、菱形的面积公式等知识，在解决问题的过程中，用到了数形结合的数学思想方法，应熟练掌握．

28．（1）①见解析；②；（2）见解析；（3）在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，它的长度为

【分析】

（1）①根据矩形和折叠的性质可以得到解答；②根据相似三角形相似比与面积比的关系及勾股定理可以得到解答；
（2）由已知和矩形的性质可得△ADP∽△ABO，再根据三角形相似的性质可以得到解答；
（3）作，交PB于点Q，可以证得△MFQ≌△NFB及EF=，再根据（1）的结论及勾股定理可以得到EF的值 ．

【详解】

解：(1)①如图1，由折叠可得∠APO=∠B=90°，

∴∠1+∠2=90°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠C=∠D=90∘，

∴∠1+∠3=90°，

∴∠2=∠3，

又∵∠D=∠C，

∴△OCP∽△PDA；

②如图1，∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，

∴，

∴CP=3，设OP=x=OB，则CO=6−x，

在Rt△PCO中，∠C=90°，

由勾股定理得 x2=(6−x)2+32，

解得：x=，

∴AB=AP=2OP=，

∴边AB的长为；

(2)∵点P是CD边的中点，

∴DP，AP=AB=CD，

∴DP，

∴∠DAP=，

∴∠BAP=，又∠OAP=∠OAB

∴∠OAB==∠DAP

又∠PDA=∠ABO=

∴△ADP∽△ABO；

∴

∴，又AB=CD=2DP=2PC

∴

(3)作，交PB于点Q，如图2，

∵AP=AB，，

∴∠APB=∠ABP=∠MQP.

∴MP=MQ，

∵BN=PM，

∴BN=QM.

∵MP=MQ，ME⊥PQ，

∴EQ.

∵，

∴∠QMF=∠BNF，

在△MFQ和△NFB中，

∠QFM=∠NFB，∠QMF=∠BNF，MQ=BN，

∴△MFQ≌△NFB(AAS).

∴QF，

∴EF=EQ+QF+=，

由(1)中的结论可得：PC=3，BC=6，∠C=90°，

∴PB=，

∴EF==，

∴在(1)的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，它的长度为.

【点睛】

本题考查折叠和矩形的综合应用，熟练掌握三角形相似的判定和性质 、三角形全等的判定和性质、勾股定理及矩形的性质是解题关键 ．