四川省成都市大邑县部分学校2021-2022学年九年级上学期期中数学【试卷+答案】

这是一份四川省成都市大邑县部分学校2021-2022学年九年级上学期期中数学【试卷+答案】，共29页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年四川省成都市大邑县部分学校九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请将正确选项前的字母填在答题卷上对应的表格内。
1．如图所示的几何体的左视图是（　　）

A． B． C． D．
2．下列长度的各组线段中，能构成比例的是（　　）
A．2，5，6，8 B．3，6，9，18 C．1，2，3，4 D．3，6，7，9
3．△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的面积比为（　　）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：16
4．若关于x的方程x2+3x+a＝0有一个根为﹣1，则a的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣3
5．已知关于x的一元二次方程mx2﹣4x+2＝0有两个实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m≤2 B．m＜2且m≠0 C．m≠0 D．m≤2且m≠0
6．在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球，如果口袋中装有4个黑球且摸到黑球的概率为，那么口袋中球的总数为（　　）
A．12个 B．9个 C．6个 D．3个
7．已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB＝200，则AC的长度是（　　）
A．200（﹣1） B．100（﹣1） C．100（3﹣） D．50（﹣1）
8．如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝：，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（　　）

A．： B．2：3 C．2：5 D．4：9
9．下列命题正确的是（　　）
A．平行四边形的对角线互相垂直平分
B．矩形的对角线互相垂直平分
C．菱形的对角线互相平分且相等
D．正方形的对角线互相垂直平分且相等
10．在同一平面直角坐标系中反比例函数y＝与一次函数y＝x+a（a≠0）的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题4分，共16分）
11．已知＝，则＝　 　．
12．如图，已知△ABC∽△AMN，点M是AC的中点，AB＝6，AC＝8，则AN＝　 　．

13．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠ACB＝30°，AB＝3，则BD的长为 　 　．

14．已知点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，则y1　 　y2（填“＞”“＜”或“＝”）．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）
15．解方程：
（1）2x2﹣3x﹣1＝0．
（2）x2﹣7x＝﹣10．
16．如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，如果标杆BE高1.2m，测得AB＝1.6m，BC＝12.4m，楼高CD是多少？

17．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（4，1），C（1，1）．
（1）画出△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1；
（2）画出△ABC以点O为位似中心，位似比为1：2的△A2B2C2．并写出C2的坐标．

18．某中学九（1）班为了了解全班学生喜欢球类活动的情况，采取全面调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了全班学生的兴趣爱好，根据调查的结果组建了4个兴趣小组，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图（要求每位学生必须选一种而且只能选择一种自己喜欢的球类），请你根据图中提供的信息解答下列问题．
（1）求九（1）班的学生人数，并把条形统计图补充完整．
（2）求扇形统计图中表示“排球”的扇形的圆心角度数．
（3）排球兴趣小组4名学生中有3男1女，现在打算从中随机选出2名学生参加学校的排球队，求2名学生恰好是1男1女的概率．

19．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y1＝﹣2x的图象与反比例函数y2＝的图象交于A（﹣1，n），B两点．
（1）求出反比例函数的解析式及点B的坐标；
（2）观察图象，请直接写出满足y2≤2的取值范围；
（3）点P是第四象限内反比例函数的图象上一点，若△POB的面积为1，请直接写出点P的横坐标．

20．如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边上的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．
（1）求证：四边形EFDG是菱形；
（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；
（3）若AG＝6，EG＝2，求BE的长．

一、填空题（每小题4分，共20分）
21．已知m，n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n＝　 　．
22．如图，菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，过D作DP⊥BC于点P，则DP的长为　 　．

23．有七张正面分别标有数字﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的一元二次方程ax2﹣2（a﹣1）x+（a﹣3）＝0有两个不相等的实数根，且使反比例函数y＝的图象分布在一、三象限的概率是 　 　．
24．如图，在矩形ABCD中，AD＝6，AE⊥BD，垂足为E，ED＝3BE，动点P，Q分别在BD，AD上，则AE的值为　 　，AP+PQ的最小值为　 　．

25．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数（k为常数，且k＞0）在第一象限的图象交于点E，F．过点E作EM⊥y轴于M，过点F作FN⊥x轴于N，直线EM与FN交于点C．若＝．记△CEF的面积为S1，△OEF的面积为S2，则＝　 　．

二、解笞题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
26．如图①，用篱笆靠墙围成矩形花圃ABCD，墙可利用的最大长度为15米，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围成，篱笆总长为24米．
（1）若围成的花圃面积为40平方米时，求BC的长；
（2）如图②，若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且围成的花圃面积为50平方米，请你判断能否成功围成花圃？如果能，求BC的长；如果不能，请说明理由．

27．在矩形ABCD中，AD＝3，CD＝4，点E在边CD上，且DE＝1．

感知：如图1，连接AE，过点E作EF⊥AE，交BC于点F，连接AF，易证：△ADE≌△ECF（不需要证明）；
探究：如图2，点P在矩形ABCD的边AD上（点P不与点A、D重合），连接PE，过点E作EF⊥PE，交BC于点F，连接PF．求证：△PDE∽△ECF；
应用：如图3，若EF交AB边于点F，其他条件不变，且△PEF的面积是3，求AP的长．
28．正方形ABCD的边长为4，AC，BD交于点E．在点A处建立平面直角坐标系如图所示．
（1）如图（1），双曲线y＝过点E，完成填空：点C的坐标是 　 　，点E的坐标是 　 　，双曲线的解析式是 　 　；
（2）如图（2），双曲线y＝与BC，CD分别交于点M，N．求证MN∥BD；
（3）如图（3），将正方形ABCD向右平移m（m＞0）个单位长度，使过点E的双曲线y＝与AB交于点P．当△AEP为等腰三角形时，求m的值．



参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请将正确选项前的字母填在答题卷上对应的表格内。
1．如图所示的几何体的左视图是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据简单组合体的三视图的画法可得答案．
解：根据简单组合体的三视图的画法可知，其左视图是中间有一道横虚线的长方形，
因此选项D的图形比较符合题意，
故选：D．
2．下列长度的各组线段中，能构成比例的是（　　）
A．2，5，6，8 B．3，6，9，18 C．1，2，3，4 D．3，6，7，9
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．
解：A、2×8≠5×6，故错误；
B、3×18＝6×9，故正确．
C、1×4≠2×3，故错误；
D、3×9≠6×7，故错误．
故选：B．
3．△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的面积比为（　　）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：16
【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方即可解决问题；
解：∵△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF相似比为1：4，
∴△ABC与△DEF的面积比＝（）2＝．
故选：D．
4．若关于x的方程x2+3x+a＝0有一个根为﹣1，则a的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣3
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x＝﹣1代入方程得到关于a的一次方程，然后解此一次方程即可．
解：把x＝﹣1代入方程x2+3x+a＝0得1﹣3+a＝0，
解得a＝2．
故选：B．
5．已知关于x的一元二次方程mx2﹣4x+2＝0有两个实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m≤2 B．m＜2且m≠0 C．m≠0 D．m≤2且m≠0
【分析】根据“方程mx2﹣4x+2＝0是一元二次方程”，得到m≠0，结合“该方程有两个实数根”，得到△≥0，得到关于m的一元一次不等式，解之即可．
解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣4x+2＝0有两个实数根，
∴m≠0
Δ＝（﹣4）2﹣4×2m≥0且m≠0，
解得：m≤2且m≠0，
故选：D．
6．在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球，如果口袋中装有4个黑球且摸到黑球的概率为，那么口袋中球的总数为（　　）
A．12个 B．9个 C．6个 D．3个
【分析】由口袋中装有4个黑球且摸到黑球的概率为，直接利用概率公式求解即可求得答案．
解：∵口袋中装有4个黑球且摸到黑球的概率为，
∴口袋中球的总数为：4÷＝12（个）．
故选：A．
7．已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB＝200，则AC的长度是（　　）
A．200（﹣1） B．100（﹣1） C．100（3﹣） D．50（﹣1）
【分析】根据黄金分割的定义得到AC＝AB，把AB＝200代入计算即可．
解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，
∴AC＝AB，
而AB＝200，
∴AC＝×200＝100（﹣1）．
故选：B．
8．如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝：，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（　　）

A．： B．2：3 C．2：5 D．4：9
【分析】根据两个图形是相似形，根据相似图形的性质：面积之比等于对应边之比的平方可得到答案．
解：∵四边形ABCD和A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形，OA：OA'＝：，
∴四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的面积比：（）2：（）2＝2：3，
故选：B．
9．下列命题正确的是（　　）
A．平行四边形的对角线互相垂直平分
B．矩形的对角线互相垂直平分
C．菱形的对角线互相平分且相等
D．正方形的对角线互相垂直平分且相等
【分析】利用平行四边形的性质，矩形到现在，菱形的性质，正方形的性质一一判断即可．
解：A、平行四边形的对角线互相垂直平分，错误，应该是平行四边形的对角线互相平分，本选项不符合题意．
B、矩形的对角线互相垂直平分，错误，应该是矩形的对角线相等且互相平分，本选项不符合题意．
C、菱形的对角线互相平分且相等，错误，应该是菱形的对角线互相平分且垂直，本选项不符合题意．
D、正方形的对角线互相垂直平分且相等，正确，
故选：D．
10．在同一平面直角坐标系中反比例函数y＝与一次函数y＝x+a（a≠0）的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】直接利用反比例函数以及一次函数图象分析得出答案．
解：∵一次函数y＝x+a（a≠0），
∴一次函数图象y随x增大而增大，
故A，D不符合题意；
在B中，反比例函数过一、三象限，故a＞0，一次函数过一、三、四象限，故a＜0，不合题意；
在C中，反比例函数过一、三象限，故a＞0，一次函数过一、二、四象限，故a＞0，符合题意；
故选：C．
二、填空题（每小题4分，共16分）
11．已知＝，则＝　﹣　．
【分析】根据题意，设x＝3k，y＝4k，代入即求得的值．
解：设x＝3k，y＝4k，
∴＝＝﹣．
12．如图，已知△ABC∽△AMN，点M是AC的中点，AB＝6，AC＝8，则AN＝　　．

【分析】根据相似三角形的性质，得，代入数据得出AN的长即可．
解：∵△ABC∽△AMN，
∴，
∵M是AC的中点，AB＝6，AC＝8，
∴AM＝MC＝4，
∴，
解得AN＝，
故答案为：．
13．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠ACB＝30°，AB＝3，则BD的长为 　6　．

【分析】由矩形的性质可得∠ABC＝90°，AC＝BD，由直角三角形的性质可求解．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AC＝BD，
∵∠ACB＝30°，
∴AC＝2AB＝6，
∴BD＝6，
故答案为：6．
14．已知点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，则y1　＜　y2（填“＞”“＜”或“＝”）．
【分析】根据反比例函数的性质可以判断y1与y2的大小关系，从而可以解答本题．
解：∵y＝（k＞0），
∴此函数在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，﹣1＞﹣2，
∴y1＜y2，
故答案为：＜．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）
15．解方程：
（1）2x2﹣3x﹣1＝0．
（2）x2﹣7x＝﹣10．
【分析】（1）利用公式法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
解：（1）∵a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝17＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
（2）∵x2﹣7x＝﹣10，
∴x2﹣7x+10＝0，
则（x﹣2）（x﹣5）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣5＝0，
解得x1＝2，x2＝5．
16．如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，如果标杆BE高1.2m，测得AB＝1.6m，BC＝12.4m，楼高CD是多少？

【分析】先根据题意得出△ABE∽△ACD，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出CD的值．
解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，
∴EB∥DC，
∴△ABE∽△ACD，
∴＝，
∵BE＝1.2，AB＝1.6，BC＝12.4，
∴AC＝14，
∴＝，
∴CD＝10.5．
答：楼高CD是10.5m．
17．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（4，1），C（1，1）．
（1）画出△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1；
（2）画出△ABC以点O为位似中心，位似比为1：2的△A2B2C2．并写出C2的坐标．

【分析】（1）利用关于x轴对称的点的坐标特征写出A1（1，﹣3），B1（4，﹣1），C1（1，﹣1），然后描点即可；
（2）把点A、B、C的横纵坐标分别乘以或﹣得到A2，B2，C2的坐标，然后描点即可．
解：（1）如图，△A1B1C1为所求；
（2）如图，△A2B2C2为所求；C2点的坐标为（，）或（﹣，﹣）．

18．某中学九（1）班为了了解全班学生喜欢球类活动的情况，采取全面调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了全班学生的兴趣爱好，根据调查的结果组建了4个兴趣小组，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图（要求每位学生必须选一种而且只能选择一种自己喜欢的球类），请你根据图中提供的信息解答下列问题．
（1）求九（1）班的学生人数，并把条形统计图补充完整．
（2）求扇形统计图中表示“排球”的扇形的圆心角度数．
（3）排球兴趣小组4名学生中有3男1女，现在打算从中随机选出2名学生参加学校的排球队，求2名学生恰好是1男1女的概率．

【分析】（1）根据喜欢篮球的人数与所占的百分比列式计算即可求出学生的总人数，再求出喜欢足球的人数，然后补全统计图即可；
（2）用360°乘以排球人数所占比例即可；
（3）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．
解：（1）九（1）班的学生人数为：12÷30%＝40（人），
喜欢足球的人数为：40﹣4﹣12﹣16＝40﹣32＝8（人），
补全统计图如图所示；

（2）扇形统计图中表示“排球”的扇形的圆心角度数为360°×＝36°；

（3）根据题意画出树状图如下：

∵一共有12种情况，恰好是1男1女的情况有6种，
∴选出的2名学生恰好是1男1女的概率为．
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y1＝﹣2x的图象与反比例函数y2＝的图象交于A（﹣1，n），B两点．
（1）求出反比例函数的解析式及点B的坐标；
（2）观察图象，请直接写出满足y2≤2的取值范围；
（3）点P是第四象限内反比例函数的图象上一点，若△POB的面积为1，请直接写出点P的横坐标．

【分析】（1）把A（﹣1，n）代入y＝﹣2x，可得A（﹣1，2），把A（﹣1，2）代入y＝，可得反比例函数的表达式为y＝﹣，再根据点B与点A关于原点对称，即可得到B的坐标；
（2）观察函数图象即可求解；
（3）设P（m，﹣），根据S梯形MBPN＝S△POB＝1，可得方程（2+）（m﹣1）＝1或（2+）（1﹣m）＝1，求得m的值，即可得到点P的横坐标．
解：（1）把A（﹣1，n）代入y＝﹣2x，可得n＝2，
∴A（﹣1，2），
把A（﹣1，2）代入y＝，可得k＝﹣2，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣，
∵点B与点A关于原点对称，
∴B（1，﹣2）．
（2）∵A（﹣1，2），
∴y2≤2的取值范围是x≤﹣1或x＞0；
（3）作BM⊥x轴于M，PN⊥x轴于N，
∵S梯形MBPN＝S△POB＝1，
设P（m，﹣），则（2+）（m﹣1）＝1或（2+）（1﹣m）＝1
整理得，m2﹣m﹣1＝0或m2+m﹣1＝0，
解得m＝或m＝，
∴P点的横坐标为．

20．如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边上的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．
（1）求证：四边形EFDG是菱形；
（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；
（3）若AG＝6，EG＝2，求BE的长．

【分析】（1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF＝∠DFG，从而得到GD＝DF，接下来依据翻折的性质可证明DG＝GE＝DF＝EF；
（2）连接DE，交AF于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG＝OF＝GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明DF2＝FO•AF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系；
（3）过点G作GH⊥DC，垂足为H．利用（2）的结论可求得FG＝4，然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE＝AD﹣GH求解即可．
解：（1）证明：∵GE∥DF，
∴∠EGF＝∠DFG．
∵由翻折的性质可知：GD＝GE，DF＝EF，∠DGF＝∠EGF，
∴∠DGF＝∠DFG．
∴GD＝DF．
∴DG＝GE＝DF＝EF．
∴四边形EFDG为菱形．
（2）EG2＝GF•AF．
理由：如图1所示：连接DE，交AF于点O．

∵四边形EFDG为菱形，
∴GF⊥DE，OG＝OF＝GF．
∵∠DOF＝∠ADF＝90°，∠OFD＝∠DFA，
∴△DOF∽△ADF．
∴，即DF2＝FO•AF．
∵FO＝GF，DF＝EG，
∴EG2＝GF•AF．
（3）如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H．

∵EG2＝GF•AF，AG＝6，EG＝2，
∴20＝FG（FG+6），整理得：FG2+6FG﹣40＝0．
解得：FG＝4，FG＝﹣10（舍去）．
∵DF＝GE＝2，AF＝10，
∴AD＝＝4．
∵GH⊥DC，AD⊥DC，
∴GH∥AD．
∴△FGH∽△FAD．
∴，即＝．
∴GH＝．
∴BE＝AD﹣GH＝4﹣＝．
一、填空题（每小题4分，共20分）
21．已知m，n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n＝　8　．
【分析】根据m+n＝﹣＝﹣2，m•n＝﹣5，即可解题．
解：∵m、n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，
∴mn＝﹣5，m+n＝﹣2，
∵m2+2m﹣5＝0
∴m2＝5﹣2m
m2﹣mn+3m+n＝（5﹣2m）﹣（﹣5）+3m+n
＝10+m+n
＝10﹣2
＝8
故答案为：8．
22．如图，菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，过D作DP⊥BC于点P，则DP的长为　　．

【分析】由菱形的性质可得CO＝AO＝4，BO＝DO＝3，AC⊥BD，由勾股定理可求BC的长，由菱形的面积公式可求DP的长．
解：∵四边形ABCD是菱形
∴CO＝AO＝4，BO＝DO＝3，AC⊥BD，
∴BC＝＝＝5，
∵S菱形ABCD＝BC×DP＝，
∴DP＝
故答案为
23．有七张正面分别标有数字﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的一元二次方程ax2﹣2（a﹣1）x+（a﹣3）＝0有两个不相等的实数根，且使反比例函数y＝的图象分布在一、三象限的概率是 　　．
【分析】令根的判别式Δ＞0可求出使关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a（a﹣3）＝0有两个不相等的实数根的a的值，利用反比例函数的性质得出a＜3，求得符合题意的数字为0，1，2，再利用随机事件的概率＝事件可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数即可求出结论．
解：令Δ＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4a（a﹣3）＝4a+4＞0且a≠0，
解得：a＞﹣1且a≠0，
∴使关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a（a﹣3）＝0有两个不相等的实数根的数有1，2，3．
∵反比例函数y＝的图象分布在一、三象限，
∴3﹣a＞0，
∴a＜3，
∴符合题意的数字为1，2，
∴该事件的概率为．
故答案为：．
24．如图，在矩形ABCD中，AD＝6，AE⊥BD，垂足为E，ED＝3BE，动点P，Q分别在BD，AD上，则AE的值为　3　，AP+PQ的最小值为　3　．

【分析】在Rt△ABE中，利用三角形相似可求得AE、DE的长，设A点关于BD的对称点A′，连接A′D，可证明△ADA′为等边三角形，当PQ⊥AD时，则PQ最小，所以当A′Q⊥AD时AP+PQ最小，从而可求得AP+PQ的最小值等于DE的长．
解：设BE＝x，则DE＝3x，
如图，

∵四边形ABCD为矩形，且AE⊥BD，
∴△ABE∽△DAE，
∴AE2＝BE•DE，即AE2＝3x2，
∴AE＝x，
在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2＝AE2+DE2，即62＝（x）2+（3x）2，解得x＝，
∴AE＝3，DE＝3，
如图，设A点关于BD的对称点为A′，连接A′D，PA′，
则A′A＝2AE＝6＝AD，AD＝A′D＝6，
∴△AA′D是等边三角形，
∵PA＝PA′，
∴当A′、P、Q三点在一条线上时，A′P+PQ最小，
又垂线段最短可知当PQ⊥AD时，A′P+PQ最小，
∴AP+PQ＝A′P+PQ＝A′Q＝DE＝3，
故答案为：3，3；
25．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数（k为常数，且k＞0）在第一象限的图象交于点E，F．过点E作EM⊥y轴于M，过点F作FN⊥x轴于N，直线EM与FN交于点C．若＝．记△CEF的面积为S1，△OEF的面积为S2，则＝　　．

【分析】根据E，F都在反比例函数的图象上得出假设出E，F的坐标，进而分别得出△CEF的面积S1以及△OEF的面积S2，然后即可得出答案．
解：如图，过点F作FR⊥MO于点R，EW⊥NO于点W，
∵，
∴＝，
∵ME•EW＝FR•NF，
∴＝，
∴S1＝（4x﹣x）（4y﹣y）＝xy，
设E点坐标为：（x，4y），则F点坐标为：（4x，y），
∵△OEF的面积为：S2＝S矩形CNOM﹣S1﹣S△MEO﹣S△FON
＝CN•ON﹣xy﹣ME•MO﹣FN•NO
＝4x•4y﹣xy﹣x•4y﹣y•4x
＝16xy﹣xy﹣4xy
＝xy，
∴＝＝．
故答案为：．

二、解笞题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
26．如图①，用篱笆靠墙围成矩形花圃ABCD，墙可利用的最大长度为15米，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围成，篱笆总长为24米．
（1）若围成的花圃面积为40平方米时，求BC的长；
（2）如图②，若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且围成的花圃面积为50平方米，请你判断能否成功围成花圃？如果能，求BC的长；如果不能，请说明理由．

【分析】（1）设BC的长度为x米，则AB的长度为米，根据矩形的面积公式结合花圃面积为40米2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
（2）设BC的长为y米，则AB的长为米，根据矩形的面积公式结合花圃面积为50米2，即可得出关于y的一元二次方程，由该方程的根的判别式Δ＝﹣24＜0，即可得出方程无解，即不能围成面积为50米2的花圃．
解：（1）设BC的长为x米，则AB的长为米．
根据题意，得
整理，得x2﹣24x+80＝0．
解得x1＝4，x2＝20．
∵20＞15，
∴x2＝20舍去．
∴BC的长为4米；

（2）不能围成．理由如下：
设BC的长为y米，则AB的长为米．
根据题意，得
整理，得y2﹣24y+150＝0．
∵Δ＝（﹣24）2﹣4×1×150＝﹣24＜0，
∴该方程无实数根．
∴不能围成面积为50平方米的花圃．
27．在矩形ABCD中，AD＝3，CD＝4，点E在边CD上，且DE＝1．

感知：如图1，连接AE，过点E作EF⊥AE，交BC于点F，连接AF，易证：△ADE≌△ECF（不需要证明）；
探究：如图2，点P在矩形ABCD的边AD上（点P不与点A、D重合），连接PE，过点E作EF⊥PE，交BC于点F，连接PF．求证：△PDE∽△ECF；
应用：如图3，若EF交AB边于点F，其他条件不变，且△PEF的面积是3，求AP的长．
【分析】探究：根据同角的余角相等可得∠DPE＝∠CEF，且∠D＝∠C，即可证明结论；
应用：过点F作FG⊥DC于G，由（2）同理得△PDE∽△EGF，得EF＝3PE，再根据△PEF的面积是3，则可求出PE的长，从而解决问题．
【解答】探究：证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠C＝90°，
∴∠DEP+∠DPE＝90°，
∵EF⊥PE，
∴∠PEF＝90°，
∴∠DEP+∠CEF＝90°，
∴∠DPE＝∠CEF，
∴△PDE∽△ECF；
应用：解：过点F作FG⊥DC于G，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴FG＝BC＝3，
∵△PEF的面积是3，
∴PE×EF＝6，
由（2）同理得△PDE∽△EGF，
∴，
∴，
∴EF＝3PE，
∴PE＝，
在Rt△PDE中，由勾股定理得PD＝1，
∴AP＝AD﹣PD＝3﹣1＝2．
28．正方形ABCD的边长为4，AC，BD交于点E．在点A处建立平面直角坐标系如图所示．
（1）如图（1），双曲线y＝过点E，完成填空：点C的坐标是 　（4，4）　，点E的坐标是 　（2，2）　，双曲线的解析式是 　y＝　；
（2）如图（2），双曲线y＝与BC，CD分别交于点M，N．求证MN∥BD；
（3）如图（3），将正方形ABCD向右平移m（m＞0）个单位长度，使过点E的双曲线y＝与AB交于点P．当△AEP为等腰三角形时，求m的值．

【分析】（1）根据正方形的边长可确定C点的坐标，再利用正方形的性质得出E点坐标，用待定系数法求出双曲线解析式即可；
（2）设出M点和N点的坐标，根据坐标的性质得出MC＝NC，推出∠CMN＝∠CDB即可得出MN∥BD；
（3）根据E点的坐标求出AE的长，再分三种情况讨论分别求出m的值即可．
解：（1）∵正方形ABCD的边长为4，AC，BD交于点E，
∴C（4，4），E（2，2），
将E点坐标代入双曲线y＝，
得2＝，
解得k1＝4，
∴双曲线的解析式为y＝，
故答案为：（4，4），（2，2），；
（2）∵双曲线y＝与BC，CD分别交于点M，N，
∴设M（m，4），N（4，n），
∴4m＝4n，
∴m＝n，
∴MC＝NC，
由正方形可知，∠BCD＝90°，
∴∠CMN＝45°，∠CBD＝45°，
∴∠CMN＝∠CBD，
∴MN∥BD；
（3）∵正方形边长为4，
由（1）知E（2，2），
∴AE＝2，
①当AP＝AE＝2时，
∵P（m，2），E（m+2，2），点P、E在反比例函数图象上，
∴2m＝2（m+2），
∴m＝2+2；
②当EP＝AE时，点P与点D重合，
∵P（m，4），E（m+2，2），点P、E在反比例函数图象上，
∴4m＝2（m+2），
∴m＝2；
③当EP＝AP时，点P、E不可能都在反比例函数图象上，故此情况不存在；
综上所述，满足条件的m的值为2或2+2．