2021年四川省乐山市九年级上学期数学期中考试试卷含答案

这是一份2021年四川省乐山市九年级上学期数学期中考试试卷含答案，共17页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 九年级上学期数学期中考试试卷
一、单项选择题
1.以下各式中，一定是二次根式的是〔  〕
A.                                  B.                                  C.                                  D. 
2.以下计算中正确的选项是〔    〕
A.                 B.                 C.                 D. 
3.如果 可以通过配方写成 的形式，那么 可以配方成〔      〕
A.                   B.                   C.                   D. 
4.以下解方程的过程，正确的选项是〔    〕
A. ．两边同除以x，得
B. ．直接开平方法，得
C. ．∵ ， ， ∴ ，
D. ，整理得 ， ∴ ，
5.如图，点P〔8，6〕在△ABC的边AC上，以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC缩小到原来的 ，得到△A′B′C′，点P在A′C′上的对应点P′的的坐标为〔   〕

A. 〔4，3〕                           B. 〔3，4〕                           C. 〔5，3〕                           D. 〔4，4〕
6.以下四条线段a、b、c、d不是成比例线段的是〔    〕
A. ， ， ，                       B. ， ， ，
C. ， ， ，           D. ， ， ，
7.电影?我和我的祖国?讲述了普通人与国家之间息息相关的动人故事.一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，假设把平均每天票房的增长率记作x，那么可以列方程为〔   〕
A.          B.          C.          D. 
8.“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？〞这是我国古代数学?九章算术?中的“井深几何〞问题，它的题意可以由图获得，那么井深为〔    〕

A. 尺                                B. 尺                                C. 尺                                D. 尺
9.将关于x的一元二次方程 变形为 ，就可以将 表示为关于x的一次多项式，从而到达“降次〞的目的，又如 …，我们将这种方法称为“降次法〞，通过这种方法可以化简次数较高的代数式.根据“降次法〞，： ，且 ，那么 的值为〔   〕
A.                                 B.                                 C.                                 D. 
10.如图， ∽ ， ， ， ，F是 的中点，假设点E是直线 上的动点，连接 ，那么 的最小值是〔    〕　

A.                                            B.                                            C.                                            D. 
二、填空题
11.在 ， ， ， 中，与 是同类二次根式的是       ．
12.将一元二次方程 化成一般形式是       ．
13.如图， ，假设 ， ，那么        ．

14.方程 的解是 ， ，那么方程 的解是       ．
15.如图1，在 中， ，点P以每秒 的速度从点A出发，沿折线 运动，到点B停止．过点P作 于点D， 的长 与点P的运动时间x〔秒〕的函数图象如图2所示．当点P运动 秒时， 的长是       ．

16.如下列图，在 中， ，E，F分别是 ， 的中点．〔1〕线段 的长为      ；〔2〕假设动点P在直线 上， 的平分线交 于点Q，当点Q把线段 分成的两线段之比是 ∶ 时，线段 、 之间的数量关系满足 ＝       ．   

三、解答题
17.解方程： ．
18.计算：
19.如图，在 中，点D、E、F分别在 、 、 上， // ， // ．

〔1〕求证： ∽ ；
〔2〕如果 ， ，求 的值．
20.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0〔a≠0〕有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程〞．
〔1〕请问一元二次方程x2﹣6x+8＝0是倍根方程吗？如果是，请说明理由．
〔2〕假设一元二次方程x2+bx+c＝0是倍根方程，且方程有一个根为2，求b、c的值．
21. 满足
〔1〕求 的值；
〔2〕试问以 为边能否构成三角形，假设能构成三角形，请判断此三角形形状并求出它的面积；假设不能，请说明理由.
22.有一批图形计算器，原售价为每台800元，在甲、乙两家公司销售．甲公司用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台每台都为760元．依此类推，即每多买一台那么所买各台单价均再减20元，但最低不能低于每台440元；乙公司一律按原售价的75%促销．某单位需购置一批图形计算器：
〔1〕假设此单位需购置12台图形计算器，应去哪家公司购置花费较少？
〔2〕假设此单位恰好花费7280元，在同一家公司购置了一定数量的图形计算器，请问是在哪家公司购置的，数量是多少？
23.如图，△ABC和△BEC均为等腰直角三角形，且∠ACB=∠BEC=90°，点P为线段BE延长线上一点，连接CP，以CP为直角边向下作等腰直角△CPD，线段BE与CD相交于点F．

〔1〕.求证： ；
〔2〕.连接BD，请你判断AC与BD有什么位置关系？并说明理由．
24.x1、x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根．
〔1〕求k的取值范围．
〔2〕是否存在实数k，使(2x1-x2)(x1-2x2)=- 成立？假设存在求出k的值；假设不存在，请说明理由．
25.如图，直线 分别交y轴、x轴于点A、B，其中 、 的长是方程 的两根〔 〕，将直线 绕点O逆时针旋转 后与x轴、y轴分别交于点C、D，点P是该直线 与双曲线在第一象限内的一个交点， ⊥x轴于E，且 ．

〔1〕直线 的解析式；
〔2〕求点P的坐标；
〔3〕设点Q与点P在同一个反比例函数的图象上，且点Q在直线 的右侧，作 ⊥x轴于点F，当 与 相似时，求点Q的横坐标．
26.如图(1)，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上的一点，连接BO交AD于点F，OE⊥OB交BC边于点E．
 
〔1〕试说明：△ABF∽△COE．
〔2〕如图(2)，当O为AC边的中点，且 时，求 的值．
〔3〕当O为AC边的中点， 时，请直接写出 的值．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵a2≥0，
∴a2+1＞0．
∴ 一定有意义．
应选：D．
【分析】二次根式的被开方数大于等于0求解即可．
2.【答案】 D
【解析】【解答】解：A. ，故错误；   
B. 不能计算，故错误；
C. ，故错误；   
D. ，正确
故答案为：D．
【分析】根据算术平方根的定义判断A；根据二次根式的加减法法那么判断BD；根据二次根式的除法法那么判断C.
3.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵x2−8x＋m＝0可以通过配方写成〔x−n〕2＝6的形式，
∴x2−8x＋16＝16−m，x2−2nx＋n2＝6，
∴n＝4，m＝10，
∴x2＋8x＋m＝x2＋8x＋10＝0，
∴〔x＋4〕2＝6，即
故答案为：B．
【分析】根据完全平方式配方得到x2−8x＋16＝16−m，再和x2−2nx＋n2＝6比较求出n的值即可解答.
4.【答案】 D
【解析】【解答】解：A、x =x ， 移项得：x -x=0，解得：x =0，x =1，故此选项错误；
B、x +4=0，那么x =-4，此方程无解，故此选项错误；
C、〔x-2〕〔x+1〕=3×2，应先去括号整理得出：x -x-8=0，解得：x = ，x = x = ，故此选项错误；
D、〔2-3x〕+〔3x-2〕 =0．整理得3〔3x-2〕〔x-1〕=0，∴x = ，x =1，此选项正确．
应选：D ．
 
【分析】根据方程两边要同除以一个不为0的数判断A；由于负数没有平方根，那么可判断B；C不是同解变形，应先移项，将原方程化为一元二次方程的一般形式，然后求解；D项利用因式分解法解一元二次方程，结果正确.
5.【答案】 A
【解析】【解答】解：∵点P〔8，6〕在△ABC的边AC上，以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC缩小到原来的 ，得到△A′B′C′，
∴点P在A′C′上的对应点P′的的坐标为：〔4，3〕.
故答案为：A.
【分析】根据位似图形的性质，如果两个图形关于坐标原点位似，且位于原点的同侧，那么原图形与新图形上对应点的横坐标的比值等于其纵坐标的比值等于位似比，从而即可得出答案.
6.【答案】 B
【解析】【解答】解：A、4×10＝5×8，成比例线段，所以选项不符合题意；
B、1.1×4.4≠2.2×3.3，不成比例线段，所以选项符合题意；
C、2× ＝2 × ，成比例线段，所以选项不符合题意；
D、0.8×2.4＝3×0.64，成比例线段，所以选项不符合题意；
应选：B．
 
【分析】根据比例的内项之积等于外项之积的性质，分别判断即可.
7.【答案】 D
【解析】【解析】解：设增长率为x，由题意可得出，第二天的票房为3(1+x)，第三天的票房为3(1+x)2 ，
根据题意可列方程为 .
故答案为：D.
【分析】根据题意分别用含x式子表示第二天，第三天的票房数，将三天的票房相加得到票房总收入，即可得出答案.
8.【答案】 B
【解析】【解答】解：依题意可得：△ABF∽△ADE，

∴ ，
即 ，
解得：AD＝62.5，
BD＝AD−AB＝62.5−5＝57.5尺．
应选：B．
 
【分析】根据题意得出△ABF∽△ADE，然后根据相似三角形的性质列出比例式，即可解答.
9.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ， ，
∴
=
=
=
=
= ，
∵ ，且 ，
∴ ，
∴原式= ，
故答案为：C.
【分析】先求得 ，代入 即可得出答案.
10.【答案】 B
【解析】【解答】解：

∵△ABC∽△ADE，
∴∠ADE＝∠ABE，
∴点A，D，B，E四点共圆，
∵∠DAE＝90°，
∴∠DBE＝90°，
∵F是DE的中点，
∴BF＝ DE，
∴当DE最小时，BF的值最小，
∵假设点E是直线BC上的动点，
∴当AE⊥BC时，AE最小，此时，DE最小，
∵∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，
∴BC＝5，
∴AE＝ ，
∵△ABC∽△ADE，
∴ ，
∴ ，
∴DE＝4，
∴BF＝2，
应选B．
【分析】根据相似三角形的性质得到∠ADE=∠ABE，推出点A、D、B、E四点共圆，那么得∠DBE=90°，根据直角三角形斜边中线的性质得出BF=DE，那么知当DE最小时，BF的值最小，由于当AE⊥BC时，AE最小，得出DE最小，然后根据相似三角形的性质列比例式分别求出AE、DE，即可解答.
二、填空题
11.【答案】
【解析】【解答】解：∵ ＝2 ， =3 ， =2 ， =
∴与 是同类二次根式是 ．
故答案为： ．
 
【分析】根据二次根式的性质分别将每个根式化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义判断即可.
12.【答案】
【解析】【解答】解：


故答案为： ．
 
【分析】先根据多项式乘多项式的法那么将左式展开，然后移项，使右式变为0，再合并同类项，即得结果.
13.【答案】 6
【解析】【解答】解：如图，

∵ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ．
故答案为：6．
 
【分析】根据平行线分线段成比例的性质得出， 然后代入DF的值，即可求出结果.
14.【答案】
【解析】【解答】解：∵ 是方程 的解，
由于另一个方程 与方程的形式完全相同，
∴x+3=1或x+3=﹣3，
解得： ．
故答案为： ．
 
【分析】把x+3看成整体，那么和方程的形式完全相同，那么可得出x+3=1或x+3=﹣3，然后分别解关于x的一次方程，即可解答.
15.【答案】
【解析】【解答】解：

由题图②可得， ，
，
当 时，此时 ，故 ，

．
故答案为:1.8cm．
 
【分析】根据勾股定理先求出AB的长，然后根据P点的行程，利用线段的和差关系，得出P在BC上，且BP=3，在Rt△PDB中，根据正弦三角函数求PD长即可.
16.【答案】 2；2或8
【解析】【解答】解：〔1〕∵E，F分别是 ， 的中点
∴
∵BC=4
∴EF=2；
〔2〕如图，延长BQ交射线EF于M，

∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF∥BC，
∴∠M=∠CBM，
∵BQ是∠CBP的平分线，
∴∠PBM=∠CBM，
∴∠M=∠PBM，
∴BP=PM，
∴EP+BP=EP+PM=EM，
∵点Q把线段EC分成的两线段之比是1：2，
∴CQ= CE，
∴EQ=2CQ，
由EF∥BC得，△MEQ∽△BCQ，
∴ ，
∴EM=2BC=2×4=8，
即EP+BP=8，
当CQ=2EQ时，同法可得，EM=2，EP+PB=EM=2．
故答案为：EP+BP=8或EP+PB=2．
故答案为：2；8或2．
 
【分析】(1) 利用三角形的中位线定理解答即可；
(2)延长BQ交射线EF于M，根据三角形的中位线定理EF//BC，根据平行线的性质，结合角平分线的定义推出∠M=∠PBM，那么得BP=PM，把EP+BP转化为EM，再根据CQ=CE求出EQ=2CQ，然后证明△MEQ和△BCQ相似，利用相似三角形的性质，列比例式求解即可，
三、解答题
17.【答案】 解：原方程可化为： ，
，
∴ 或 ，
∴ ， ．
【解析】【分析】利用因式分解法解方程即可.
18.【答案】 解：原式
【解析】【分析】此题大家需要记住二次根式的几个公式：， 最后的计算结果一定要记得化为最简根式。
19.【答案】 〔1〕证明：∵DE//BC，EF//AB，
∴∠A＝∠CEF，∠AED＝∠C，
∴△ADE∽△EFC．

〔2〕解：∵AB＝6，AD＝4，
∴DB＝6－4＝2，
∵DE//BC，EF//AB，
∴四边形DBFE是平行四边形，
∴EF＝DB=2，
∵△ADE∽△EFC，
．
【解析】【分析】〔1〕根据平行线的性质可得∠A＝∠CEF，∠AED＝∠C，可证△ADE∽△EFC；
〔2〕先证四边形DBFE是平行四边形，可得EF＝DB=2，由△ADE∽△EFC，可得， 从而求出结论．
 
20.【答案】 〔1〕解：该方程是倍根方程，理由如下：
x2﹣6x+8＝0，解得x1＝2，x2＝4，
∴x2＝2x1 ，
∴一元二次方程x2﹣6x+8＝0是倍根方程；

〔2〕解：∵方程x2+bx+c＝0是倍根方程，且方程有一个根为2，
∴方程的另一个根是1或4，
当方程根为1，2时，﹣b＝1+2，解得b＝﹣3，c＝1×2＝2；
当方程根为2，4时﹣b＝2+4，解得b＝﹣6，c＝2×4＝8．
【解析】【分析】〔1〕先求出方程的根，然后根据 “倍根方程〞 的定义判断即可；
〔2〕根据 “倍根方程〞 的定义先求出方程的另一个根是1或4，然后分两种情况分别求解即可.
 
21.【答案】 〔1〕解：∵
∴ ， ， ，
∴ ， ，

〔2〕解：∵ ，能构成三角形；
∵ ∴为等腰三角形
在 中， ， ，作边 上的高 ，由勾股定理可得 ，
∴面积为： .
【解析】【分析】〔1〕根据非负数的性质求出a、b、c即可；
〔2〕利用三边关系判断能构成三角形，由a=c可得此三角形为等腰三角形，然后利用三角形的面积公式求出面积即可.
 
22.【答案】 〔1〕解：在甲公司购置12台图形计算器需要用12×〔800-20×12〕=6720元，
在乙公司购置需要用75%×800×12=7200元＞6720元，
∴应去甲公司购置；

〔2〕解：设该单位买x台，假设在甲公司购置那么需要花费x〔800-20x〕元；
假设在乙公司购置那么需要花费75%×800x=600x元；
①假设该单位是在甲公司花费7280元购置的图形计算器，
那么有x〔800-20x〕=7280，
解之得x1=14，x2=26． 
当x1=14时，每台单价为800-20×14=520＞440，符合题意；
当x2=26时，每台单价为800-20×26=280＜440，不符合题意，舍去．    
②假设该单位是在乙公司花费7280元购置的图形计算器，
那么有600x=7280，解之得x=12 ，不符合题意，舍去．
答：该单位是在甲公司购置的图形计算器，买了14台．
【解析】【分析】〔1〕分别求出甲、乙购置的费用，然后比较即可；
〔2〕设该单位买x台，假设在甲公司购置那么需要花费x〔800-20x〕元， 在乙公司购置那么需要花费75%×800x=600x元，分甲、乙公司花费分别为7280列出方程，求解即可.
 
23.【答案】 〔1〕证明：∵，△ABC和△BEC均为等腰直角三角形，且∠ACB＝∠BEC＝90°，
∴∠ECB＝∠PCD＝45°，∠CEB＝∠CPD＝90°，
∴△BCE∽△DCP，∴

〔2〕解：AC∥BD，理由：∵∠PCE＋∠ECD＝∠BCD＋∠ECD＝45°，∴∠PCE＝∠BCD，
∵ ，∴△PCE∽△DCB，∴∠CBD＝∠CEP＝90°，
∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CBD，
∴AC∥BD
【解析】【分析】〔1〕要证比例式成立，只须找出四条线段所在的两个三角形相似即可。由题意易得△BCE∽△DCP，根据相似三角形的性质即可求解；
〔2〕由条件易得∠PCE＝∠BCD，结合〔1〕中所得的比例式可证△PCE∽△DCB，于是可得∠CBD＝∠CEP＝∠ACB＝90°，永平行线的判定即可得解。
24.【答案】 〔1〕解：∵x1、x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1＝0的两个实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝16k2﹣4×4k(k+1)＝﹣16k≥0，且4k≠0，
解得k＜0；

〔2〕解：∵x1、x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝1，x1x2＝ ，
∴(2x1﹣x2)(x1﹣2x2)＝2x12﹣4x1x2﹣x1x2+2x22＝2(x1+x2)2﹣9x1x2＝2×12﹣9× ＝2﹣ ，
假设2﹣ ＝﹣ 成立，
解上述方程得，k＝ ，
∵(1)中k＜0，(2)中k＝ ，
∴矛盾，
∴不存在这样k的值．
【解析】【分析】〔1〕根据一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根，可得△≥0且4k≠0，据此解答即可；
〔2〕 根据一元二次方程根与系数的关系，可得x1+x2＝1，x1x2＝   ，  将原等式变形为(2x1﹣x2)(x1﹣2x2)＝2(x1+x2)2﹣9x1x2＝﹣， 据此建立关于k的方程，解之即可.
 
25.【答案】 〔1〕解：解一元二次方程x2﹣9x＋18＝0得x1=6,x2=3
∵OA、OB 的长是一元二次方程x2﹣9x＋18＝0的两个实数根，且OA＞OB，
∴OA＝6，OB＝3，
由旋转可得，OC＝OA＝6，OD＝OB＝3，
∴C(－6，0)，D(0，3)，
设直线CD解析式为y＝kx＋b，
∴ ，解得
∴直线AB解析式为

〔2〕解：设 那么 ．
∵
∴
∴
解得 x1＝2，x2＝－14〔不合题意，舍去〕，
∴点 P 的坐标为(2，4)；

〔3〕解：设反比例函数的解析式为： ，
把 P(2，4)代入，得 k＝xy＝2×4＝8，
∴ ．
点Q在双曲线上，可设点Q的坐标为： 那么EF＝n－2，QF＝ ，
①当△EQF∽△CDO 时，有 即
整理得：n2－2n－16＝0，解得：n1＝1＋ 或n2＝1－ 〔舍去〕；
②当△EQF∽△DCO时，有 即
整理得：n2－2n－4＝0，解得：n3＝1＋ ，n4＝1－ 〔舍去〕，
综上①②所述，点Q的横坐标为：1＋ 或 1＋ ．
【解析】【分析】〔1〕解方程求出OA、OB的长，得出C、D坐标，利用待定系数法求出CD解析式；
〔2〕设  那么  ，利用建立关于x的方程，解之即可；
〔3〕先求出反比例函数解析式， 设点Q的坐标为：  那么EF＝n－2，QF＝， 分两种情况： ①当△EQF∽△CDO 时 ， ②当△EQF∽△DCO时 ，根据相似三角形对应边成比例分别求解即可.
 
26.【答案】 〔1〕证明：∵AD⊥BC，
∴
∵
∴∠BAF=∠C.
∵OE⊥OB，
∴
∵
∴∠ABF=∠COE.
∴△ABF∽△COE.

〔2〕解：过O作AC垂线交BC于H,那么OH AB，

由(1)得∠ABF=∠COE，∠BAF=∠C.
∴∠AFB=∠OEC，
∴∠AFO=∠HEO，
而∠BAF=∠C，
∴∠FAO=∠EHO，
∴△OEH∽△OFA，
∴OF:OE=OA:OH
又∵O为AC的中点,OH AB.
∴OH为△ABC的中位线，
∴
而
∴OA:OH=2:1，
∴OF:OE=2:1,即

〔3〕
【解析】【解答】解：(3)
【分析】〔1〕由垂直的定义及等量代换，可得∠BAF=∠C，∠ABF=∠COE，从而证得△ABF∽△COE；
〔2〕过O作AC垂线交BC于H,那么OH∥AB，证明△OEH∽△OFA，可得OF:OE=OA:OH， 求出OH为△ABC的中位线，可得由AC：AB=2，可得OA:OH=2:1，即得 OF:OE=2:1；
〔3〕同〔2〕方法解答即可.