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    湘教版数学八年级下册 1.4 第2课时 角平分线的性质定理的逆定理 课件PPT
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    湘教版八年级下册1.4 角平分线的性质优秀ppt课件

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    这是一份湘教版八年级下册1.4 角平分线的性质优秀ppt课件,共25页。PPT课件主要包含了复习回顾,P到OA的距离,P到OB的距离,角平分线上的点,几何语言描述,∴PDPE,不必再证全等,角平分线的性质,几何语言,作射线OP等内容,欢迎下载使用。

    1.理解角平分线性质定理的逆定理.(难点)2.掌握角平分线性质定理的逆定理的证明方法并应用其解题.(重点)3.学会判断一个点是否在一个角的平分线上.
    ∵ OC平分∠AOB, 且PD⊥OA, PE⊥OB.
    角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
    1.叙述角平分线的性质定理
    2.我们知道,角平分线上的点到角的两边的距离相等.那么到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢?
    到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
    角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
    问题:交换角的平分线的性质中的条件和结论,你能得到什么命题,这个新命题正确吗?
    ∵ OC平分∠AOB, 且PD⊥OA, PE⊥OB ∴ PD= PE
    思考:这个命题正确吗?
    已知:如图,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,PD=PE.求证:点P在∠AOB的平分线上.
    ∴点P在∠AOB 的平分线上.
    在Rt△PDO和Rt△PEO 中,
    (全等三角形的对应角相等).
    OP=OP(公共边),
    PD= PE(已知 ),
    ∵PD⊥OA,PE⊥OB.
    ∴∠PDO=∠PEO=90°,
    ∴Rt△PDO≌Rt△PEO( HL).
    角平分线性质定理的逆定理:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
    定理的作用:判断点是否在角平分线上.
    ∵ PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE.
    ∴点P 在∠AOB的平分线上.
    例1:如图,要在S区建一个贸易市场,使它到铁路和公路的距离相等,并且离公路与铁路交叉处距离为500米,这个集贸市场应建在何处(比例尺为1︰20000)?
    解:作夹角的角平分线OC,
    截取OD=2.5cm ,D即为所求.
    方法点拨:根据角平分线的判定定理,要求作的点到两边的距离相等,一般需作这两边直线形成的角的平分线,再在这条角平分线上根据要求取点.
    活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线,你发现了什么?
    发现:三角形的三条角平分线相交于一点
    活动2 分别过交点作三角形三边的垂线,用刻度尺量一量,每组垂线段,你发现了什么?
    发现:过交点作三角形三边的垂线段相等
    已知:如图,△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证:点P到三边AB,BC,CA的距离相等.
    证明:过点P作PD,PE,PF分别垂直于AB,BC,CA,垂足分别为D,E,F.
    ∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即点P到三边AB,BC,CA的距离相等.
    想一想:点P在∠A的平分线上吗?这说明三角形的三条内角平分线有什么关系?
    点P在∠A的平分线上.
    结论:三角形的三条内角平分线交于一点,并且这点到三边的距离相等.
    变式1:如图,在△ABC中,AP平分∠BAC,BD平分∠ABC;AP,BD交于点O,过点O作OM⊥AC,若OM=4,(1)求点O到△ABC三边的距离和.
    温馨提示:不存在垂线段———构造应用
    解:连接OC,过O作ON⊥BC,OE⊥AB,垂足分别为N,E.
    变式1:如图,在△ABC中,AP平分∠BAC,BD平分∠ABC;AP,BD交于点O,过点O作OM⊥AC,OM=4.(2)若△ABC的周长为32,求△ABC的面积.
    2.联系角平分线性质:
    1.应用角平分线性质:
    例2 如图,在△ABC中,点O是△ABC内一点,且点O到△ABC三边的距离相等.若∠A=40°,则∠BOC的度数为(  )
    A.110° B.120° C.130° D.140°
    解析:由已知,O到三角形三边的距离相等,所以O是三条内角平分线的交点,AO,BO,CO都是角平分线,所以有∠CBO=∠ABO= ∠ABC,∠BCO=∠ACO= ∠ACB,∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°,∠OBC+∠OCB=70°,∠BOC=180°-70°=110°.
    由已知,O 到三角形三边的距离相等,得O是三条内角平分线的交点,再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数.
    1. 如图,某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB,拟在MN上建造一个大型超市,使得它到OA、OB的距离相等,请确定该超市的位置P.
    2. 如图所示,已知△ABC中,PE∥AB交BC于点E,PF∥AC交BC于点F,点P是AD上一点,且点D到PE的距离与到PF的距离相等,判断AD是否平分∠BAC,并说明理由.
    解:AD平分∠BAC.理由如下:∵D到PE的距离与到PF的距离相等,∴点D在∠EPF的平分线上.∴∠1=∠2.又∵PE∥AB,∴∠1=∠3.同理,∠2=∠4.∴∠3=∠4,∴AD平分∠BAC.
    3.已知:如图,OD平分∠POQ,在OP、OQ边上取OA=OB,点C在OD上,CM⊥AD于M,CN⊥BD于N.求证:CM=CN.
    证明:∵OD平分∠POQ,∴∠AOD=∠BOD.在△AOD与△BOD中,∵OA=OB,∠AOD=∠BOD,OD=OD,∴△AOD≌△BOD.∴∠ADO=∠BDO.∵CM⊥AD,CN⊥BD,∴CM=CN.
    4.如图,已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F,求证:点F在∠DAE的平分线上.
    过点F作FG⊥AE于G,FH⊥AD于H,FM⊥BC于M.
    ∵点F在∠BCE的平分线上,     FG⊥AE, FM⊥BC.
    又∵点F在∠CBD的平分线上,     FH⊥AD, FM⊥BC,
    ∴点F在∠DAE的平分线上.   
    5.如图, 直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路, 现要建一个货物中转站, 要求它到三条公路的距离相等, 可选择的地址有几处? 画出它的位置.
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