初中数学湘教版八年级下册1.2 直角三角形的性质与判定(Ⅱ)优质ppt课件
展开1.掌握勾股定理的逆定理及勾股数.(重点)2.能证明勾股定理的逆定理,能利用勾股定理的逆 定理判断一个三角形是直角三角形.(难点)3.能够运用勾股定理的逆定理解决问题.(难点)
问题1 勾股定理的内容是什么?
如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
问题2 求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长:
① a=3,b=4;② a=2.5,b=6;③ a=4,b=7.5.
思考 以前我们已经学过了通过角的关系来确定直角三角形,可不可以通过边来确定直角三角形呢?
同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗?
打13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3段,4段,5段的长度为边长,用木桩钉成一个三角形,其中最大的角便是直角.
思考:从前面我们知道古埃及人认为一个三角形三边长分别为3,4,5,那么这个三角形为直角三角形.按照这种做法真能得到一个直角三角形吗?
相传,我国古代的大禹在治水时也用了类似的方法确定直角.
下面有三组数分别是一个三角形的三边长a, b, c: ①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17.问题 分别以每组数为三边长作出三角形,用量角器量一量,它们都是直角三角形吗?
下面有三组数分别是一个三角形的三边长a, b, c: ①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17.问题2 这三组数在数量关系上有什么相同点?
① 5,12,13满足52+122=132,② 7,24,25满足72+242=252,③ 8,15,17满足82+152=172.
问题3 古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗?
因为32+42=52,所以满足.
我觉得这个猜想不准确,因为测量结果可能有误差.
我也觉得猜想不严谨,前面我们只取了几组数据,不能由部分代表整体.
问题3 据此你有什么猜想呢?
由上面几个例子,我们猜想:如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
已知:如图,△ABC的三边长a,b,c,满足a2+b2=c2. 求证:△ABC是直角三角形.
构造两直角边分别为a,b的Rt△A′B′C′
证明:作Rt△A′B′C′,使∠C′=90°,A′C′=b,B′C′=a,
∴△ABC≌ △A′B′C′(SSS),
∴∠C= ∠C′=90° , 即△ABC是直角三角形.
如果三角形的三边长a 、b 、c满足 a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理,即已知三角形的三边长,且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方,即可判断此三角形为直角三角形 ,最长边所对的角为直角.
例1 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形?如果是,那么哪一个角是直角?
(1) a=15 , b=8 ,c=17;
解:(1)∵152+82=289,172=289,∴152+82=172,根据勾股定理的逆定理,这个三角形是直角三角形,且∠C是直角.
(2) a=13 ,b=14 ,c=15.
(2)∵132+142=365,152=225,∴132+142≠152,不符合勾股定理的逆定理,∴这个三角形不是直角三角形.
根据勾股定理的逆定理,判断一个三角形是不是直角三角形,只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.
【变式题1】若△ABC的三边a,b,c满足 a:b: c=3:4:5,试判断△ABC的形状.
解:设a=3k,b=4k,c=5k(k>0),因为(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,所以(3k)2+(4k)2=(5k)2,所以△ABC是直角三角形,且∠C是直角.
已知三角形三边的比例关系判断三角形形状:先设出参数,表示出三条边的长,再用勾股定理的逆定理判断其是否是直角三角形.如果三角形的三边比中有两个相同的数,那么该三角形还是等腰三角形.
【变式题2】(1)若△ABC的三边a,b,c,且a+b=4,ab=1,c= ,试说明△ABC是直角三角形.
解:因为a+b=4,ab=1,所以a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2=14.又因为c2=14,所以a2+b2=c2,所以△ABC是直角三角形.
(2) 若△ABC的三边 a,b,c 满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c. 试判断△ABC的形状.
解:∵ a2+b2+c2+50=6a+8b+10c, ∴ a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0. 即 (a-3)²+ (b-4)²+ (c-5)²=0. ∴ a=3, b=4, c=5, 即 a2+b2=c2. ∴△ABC是直角三角形.
例2 如图,在正方形ABCD中,F是CD的中点,E为BC上一点,且CE= CB,试判断AF与EF的位置关系,并说明理由.
解:AF⊥EF.理由如下:设正方形的边长为4a, 则EC=a,BE=3a,CF=DF=2a.在Rt△ABE中,得AE2=AB2+BE2=16a2+9a2=25a2.在Rt△CEF中,得EF2=CE2+CF2=a2+4a2=5a2.在Rt△ADF中,得AF2=AD2+DF2=16a2+4a2=20a2.在△AEF中,AE2=EF2+AF2,∴△AEF为直角三角形,且AE为斜边.∴∠AFE=90°,即AF⊥EF.
1.下列各组线段中,能构成直角三角形的是( )A.2,3,4 B.3,4,6 C.5,12,13 D.4,6,7
2.一个三角形的三边长分别是3,4,5,则这个三角形最长边上的高是 ( )A.4 B.3 C.2.5 D.2.4
3.若△ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0,则△ABC是________________________.
等腰三角形或直角三角形
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2, 那么这个三角形是直角三角形.满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数.
3,4,5;5,12,13;6,8,10;7,24,25;8,15,17;9,40,41;10,24,26等等.
一组勾股数,都扩大相同倍数k(k为正整数),得到一组新数,这组数同样是勾股数.
下列各组数是勾股数的是 ( ) A.6,8,10 B.7,8,9 C.0.3,0.4,0.5 D.52,122,132
方法点拨:根据勾股数的定义,勾股数必须为正整数,先排除小数,再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可.
例3 如图,某港口P位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处,且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗?
问题1 认真审题,弄清已知是什么?要解决的问题是什么?
“远航”号的航向、两艘船一个半小时后的航程及距离已知,如图.
问题2 由于我们现在所能得到的都是线段长,要求角,由此你联想到了什么?
实质是要求出两艘船的航向所成角.
PQ=16×1.5=24(海里),
PR=12×1.5=18(海里),
因为242+182=302,即PQ2+PR2=QR2,所以∠QPR=90°.
由“远航”号沿东北方向航行可知∠1=45°.因此∠2=45°,即“海天”号沿西北方向航行.
解决实际问题的步骤:构建几何模型(从整体到局部);标注有用信息,明确已知和所求;应用数学知识求解.
【变式题】 如图,南北方向PQ以东为我国领海,以西为公海,晚上10时28分,我边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我沿海靠近,便立即通知在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向,经检测,AC=10海里,BC=8海里,AB=6海里,若该船只的速度为12.8海里/时,则可疑船只最早何时进入我领海?
分析:根据勾股定理的逆定可得△ABC是直角三角形,然后利用勾股定理的逆定理及直角三角形的面积公式可求PD,然后再利用勾股定理便可求CD.
解:∵AC=10,AB=6,BC=8,∴AC2=AB2+BC2,即△ABC是直角三角形.设PQ与AC相交于点D,根据三角形面积公式有BC·AB=AC·BD,即6×8=10BD,解得BD=在Rt△BCD中,
又∵该船只的速度为12.8海里/时,6.4÷12.8=0.5(小时)=30(分钟),∴需要30分钟进入我领海,即最早晚上10时58分进入我领海.
例4 如图,四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积.
解析:连接AC,把四边形分成两个三角形.先用勾股定理求出AC的长度,再利用勾股定理的逆定理判断△ACD是直角三角形.
在Rt△ABC中,在△ACD中,AC2+CD2=52+122=169=AD2,所以△ACD是直角三角形,且∠ACD=90°.所以S四边形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD=6+30=36.
四边形问题中,对角线是常用的辅助线,它把四边形问题转化成两个三角形的问题.在使用勾股定理的逆定理解决问题时,它与勾股定理是“黄金搭挡”,经常配套使用.
【变式题1】 如图,四边形ABCD中,AB⊥AD,已知AD=3cm,AB=4cm,CD=12cm,BC=13cm,求四边形ABCD 的面积.
解:连接BD.在Rt△ABD中,由勾股定理得 BD2=AB2+AD2,∴BD=5m.又∵ CD=12cm,BC=13cm,∴ BC2=CD2+BD2,∴△BDC是直角三角形.∴S四边形ABCD=SRt△BCD-SRt△ABD= BD•CD- AB•AD = (5×12-3×4)=24 (cm2).
【变式题2】 如图,在四边形ABCD中,AC⊥DC,△ADC的面积为30 cm2,DC=12 cm,AB=3cm,BC=4cm,求△ABC的面积.
解: ∵ S△ACD=30 cm2,DC=12 cm.∴ AC=5 cm.又∵∴△ABC是直角三角形, ∠B是直角.∴
例5 如图,△ABC中,AB=AC,D是AC边上的一点,CD=1,BC= 5 ,BD=2.(1)求证:△BCD是直角三角形;(2)求△ABC的面积.
(1)证明:∵CD=1,BC= 5 ,BD=2,∴CD2+BD2=BC2,∴△BDC是直角三角形;(2)解:设腰长AB=AC=x,在Rt△ADB中,∵AB2=AD2+BD2,∴x2=(x-1)2+22,解得
1.A、B、C三地的两两距离如图所示,A地在B地的正东方向,C在B地的什么方向?
解:∵ BC2+AB2=52+122=169,AC2 =132=169,∴BC2+AB2=AC2,即△ABC是直角三角形,∠B=90°.答:C在B地的正北方向.
2.如图,是一农民建房时挖地基的平面图,按标准应为长方形,他在挖完后测量了一下,发现AB=DC=8m,AD=BC=6m,AC=9m,请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格?
解:∵AB=DC=8m,AD=BC=6m,∴AB2+BC2=82+62=64+36=100.又∵AC2=92=81,∴AB2+BC2≠AC2,∴∠ABC≠90°,∴该农民挖的不合格.
1.下列各组数是勾股数的是 ( ) A.3,4,7 B.5,12,13 C.1.5,2,2.5 D.1,3,5
将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的三角形 ( )A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形
3.已知a、b、c是△ABC三边的长,且满足关系式 ,则△ABC的形状是 ________________.
4.一个三角形的三边长分别为15cm、20cm、25cm,则这个三角形最长边上的高是_______cm;
5.已知△ABC,AB=n²-1,BC=2n,AC=n²+1(n为大于1的正整数).试问△ABC是直角三角形吗?若是,哪一条边所对的角是直角?请说明理由.
解:∵AB²+BC²=(n²-1)²+(2n)² =n4 -2n²+1+4n² =n4 +2n²+1 =(n²+1)² =AC²,∴△ABC是直角三角形,边AC所对的角是直角.
6. 一个零件的形状如图所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图所示,这个零件符合要求吗?
在△BCD中, 所以△BCD 是直角三角形,∠DBC是直角.因此,这个零件符合要求.
解:在△ABD中, 所以△ABD 是直角三角形,∠A是直角.
7.在寻找某坠毁飞机的过程中,两艘搜救艇接到消息,在海面上有疑似漂浮目标A、B.于是,一艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O(如图),沿北偏东40°的方向向目标A前进,同时,另一艘搜救艇也从港口O出发,以12海里/时的速度向着目标B出发,1.5小时后,他们同时分别到达目标A、B.此时,他们相距30海里,请问第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度?
解:根据题意得OA=16×1.5=24(海里),OB=12×1.5=18(海里),∵OB2+OA2=182+242=900,AB2=302=900,∴OB2+OA2=AB2,∴∠AOB=90°.∵第一艘搜救艇沿北偏东40°的方向向目标A前进,∴∠BOD=50°,即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西50°.
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