初中数学湘教版八年级下册1.4 角平分线的性质一等奖ppt课件

教学目标

1.通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质与判定定理.

2.能运用角的平分线性质和判定解决简单的几何问题.

教学重难点

重点：探究并掌握角平分线的性质与判定定理.

难点：能运用角的平分线性质与判定解决简单的几何问题.

教学过程

旧知回顾

角平分线的概念：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线 ，叫做这个角的平分线.

导入新课

小明家居住在一栋居民楼的一楼，刚好位于一条暖气和天然气管道所成角的平分线上的P点，要从P点建两条管道，分别与暖气管道和天然气管道相连．

问题1：怎样修建管道最短？

问题2：新修的两条管道长度有什么关系，画来看一看．

探究新知

【探究1】角平分线的性质定理

1.做一做

如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC.在OC上任取一点P ，过点P画出OA ，OB的垂线，分别记垂足为D，E，测量PD，PE并作比较，你得到什么结论？在OC上再取几个点试一试.

2.猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

【设计意图：通过学生画的任意三角形，获得直观经验，感受猜想的合理性】

3.教师用几何画板初步验证学生的猜想，并通过几何画板的动态演示，使学生对这一猜想达成共识.

【设计意图：从特殊的测量验证到几何画板的一般性验证，提高猜想的合理性，体会数学探究与发现过程的严谨性与科学性】

证明猜想，获得定理

1.写出已知和求证，分析思考，如何证？

已知：如图，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E.

求证: PD＝PE.

2.推理论证：独立思考后小组合作讨论交流.

3.证明方法展示

∵ PD⊥OA，PE⊥OB，

∴ ∠PDO＝∠PEO＝90°，

在△PDO和△PEO中，

∵ ∠PDO＝∠PEO，∠DOP＝∠EOP，OP＝OP，

∴ △PDO≌△PEO.

∴ PD＝PE.

4.结论：角平分线上的点到角两边的距离相等.

符号语言：

∵∠AOC＝∠BOC ， PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E（已知），

∴ PD＝PE（角平分线上的点到角的两边的距离相等）.

应用是一定注意：应满足的条件：（1）角的平分线；

        （2）点在角平分线上；

        （3）垂直距离.

【设计意图】树立用观察、实验、猜想、归纳、验证并用逻辑推理证明定理的意识；加深对性质的理解：把文字语言转换成符号语言是性质应用的基础，学生结合图形会运用符号叙述性质，完成从知识学习的过程到知识运用的转变.

一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即

1.明确命题中的已知和求证；

2.根据题意画出图形，并用符号表示已知和求证；

3.经过分析，找出由已知推出要证明的结论的途径，写出证明过程.

【探究2】角平分线性质定理的逆定理（判定定理）

教材P23“动脑筋”题，如图

    问题：从“点P在∠AOB的内部”你能得出点P的位置有什么特别？从“作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E”这句话，你能得出什么已知条件？

解：（1）从第一句话可知：点P在∠AOB的内部，而不是在∠AOB的外部；

（2）从第二句话可知：点P到∠AOB两边的距离分别是PD和PE.

问题：写出已知和求证，分析思考，如何证？

下面我们一起来练写该题的证明过程（第一段写什么？第二段写什么？第三段写什么？）.

已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是点D，E，PD＝PE.

求证：点P 在∠AOB 的平分线上.

如图，过点O，P作射线OC.

∵ PD⊥OA，PE⊥OB，

∴ ∠PDO＝∠ PEO＝90°.

在Rt△PDO和Rt△PEO中，

∵ OP＝OP，PD＝PE，

∴ Rt△PDO≌Rt△PEO.

∴ ∠AOC＝∠BOC.

∴ OC是∠AOB的平分线，即点P在∠ AOB的平分线OC上.

由此得到一个什么定理，你能叙述出来吗？

由此得到角平分线的性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.

应满足的条件：

（1）点在角的内部.

（2）该点到角两边的距离相等.

书写格式：

∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE，

∴ 点P在∠AOB的平分线上.

新知应用

例  如图1-28，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠1＝∠2.

（1）求证：点B在∠ADC的平分线上；

   （2）求证：BD平分∠ABC.

证明：（1）在△ABC中，

∵ ∠1＝∠2，∴ BA＝BC.

又BA⊥AD，BC⊥CD，

∴ 点B在∠ ADC的平分线上.

（2）在Rt△BAD和Rt△BCD中，

∵ BA＝BC，BD＝BD，

∴ Rt△BAD≌Rt△BCD.

∴ ∠ABD＝∠CBD.

∴ BD平分∠ABC.

课堂小结

本节内容学的是什么？你认为学习本节内容应注意些什么？如何应用定理？

布置作业

教材第24页练习

板书设计

1.4 角平分线的性质

第1课时 角平分线的性质及其逆定理

1.角平分线的性质定理

角的平分线上的点到角的两边的距离相等

符号语言：∵∠AOC＝∠BOC ， PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E.（已知）∴ PD＝PE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）

2.角平分线的性质定理的逆定理：

角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.

符号语言：∵ OC是∠AOB的平分线，P是角平分线上一点，且PD⊥OA，PE⊥OB，

∴ PD＝PE.