第二十八章 锐角三角函数（培优卷）——2022-2023学年九年级下册数学单元卷（人教版）

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班级 姓名 学号 分数
第二十八章 锐角三角函数（学霸加练卷）
（时间：60分钟，满分：100分）
一．选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。）
1．（2022·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰中，，BC= ，同时与边的延长线、射线相切，的半径为3．将绕点按顺时针方向旋转，、的对应点分别为、，在旋转的过程中边所在直线与相切的次数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】解：如图：

作AD⊥BC，以A为圆心，以AD为半径画圆
∵AC、AB所在的直线与⊙O相切，令切点分别为P、Q，连接OP、OQ
∴AO平分∠PAQ
∵∠CAB=120°
∴∠PAO=30°
∵OP=3
∴AO= =6
∵∠BAC=120°，AB=AC   
∴∠ACB=30°，CD= BC=
∴AD= =3
∴⊙A的半径为3,
∴⊙O与⊙A的半径和为6
∵AO=6
∴⊙O与⊙A相切
∵AD⊥BC
∴BC所在的直线是⊙A的切线
∴BC所在的直线与⊙O相切
∴当=360°时，BC所在的直线与⊙O相切
同理可证明当=180°时，所在的直线与⊙O相切．
当⊥AO时，即=90°时，所在的直线与⊙O相切．
∴当为90°、180°、360°时，BC所在的直线与⊙O相切
故答案选C．
2．（2022·四川泸州·中考真题）如图，在边长为3的正方形中，点是边上的点，且，过点作的垂线交正方形外角的平分线于点，交边于点，连接交边于点，则的长为（    ）

A． B． C． D．1
【答案】B
【详解】解：如图所示：在AD上截取连接GE，延长BA至H，使连接EN，











为正方形外角的平分线，



在和中，





在和中，




在和中，





设则
在中，






故选：B．
3．（2022·四川眉山·中考真题）如图，四边形为正方形，将绕点逆时针旋转至，点，，在同一直线上，与交于点，延长与的延长线交于点，，．以下结论：
①；②；③；④．其中正确结论的个数为（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【详解】解：∵旋转得到，
∴，
∵为正方形，，，在同一直线上，
∴，
∴，故①正确；
∵旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故②正确；
设正方形边长为a，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，解得：，
∵，
∴，故③正确；
过点E作交FD于点M，

∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，故④正确
综上所述：正确结论有4个，
故选：D
4．（2021·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图①，在矩形中，H为边上的一点，点M从点A出发沿折线运动到点B停止，点N从点A出发沿运动到点B停止，它们的运动速度都是，若点M、N同时开始运动，设运动时间为，的面积为，已知S与t之间函数图象如图②所示，则下列结论正确的是（    ）

①当时，是等边三角形．
②在运动过程中，使得为等腰三角形的点M一共有3个．
③当时，．
④当时，．
⑤当时，．
A．①③④ B．①③⑤ C．①②④ D．③④⑤
【答案】A
【详解】解：由图②可知：点M、N两点经过6秒时，S最大，此时点M在点H处，点N在点B处并停止不动，如图，

①∵点M、N两点的运动速度为1cm/s，
∴AH=AB=6cm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=6cm．
∵当t=6s时，S=cm2，
∴×AB×BC=．
∴BC=．
∵当6≤t≤9时，S=且保持不变，
∴点N在B处不动，点M在线段HC上运动，运动时间为（9-6）秒，
∴HC=3cm，即点H为CD的中点．
∴BH=．
∴AB=AH=BH=6，
∴△ABM为等边三角形．
∴∠HAB=60°．
∵点M、N同时开始运动，速度均为1cm/s，
∴AM=AN，
∴当0＜t≤6时，△AMN为等边三角形．
故①正确；
②如图，当点M在AD的垂直平分线上时，△ADM为等腰三角形：

此时有两个符合条件的点；
当AD=AM时，△ADM为等腰三角形，如图：

当DA=DM时，△ADM为等腰三角形，如图：

综上所述，在运动过程中，使得△ADM为等腰三角形的点M一共有4个．
∴②不正确；
③过点M作ME⊥AB于点E，如图，

由题意：AM=AN=t，
由①知：∠HAB=60°．
在Rt△AME中，
∵sin∠MAE=，
∴ME=AM•sin60°=t，
∴S=AN×ME=．
∴③正确；
④当t=9+时，CM=，如图，

由①知：BC=，
∴MB=BC-CM=．
∵AB=6，
∴tan∠MAB=，
∴∠MAB=30°．
∵∠HAB=60°，
∴∠DAH=90°-60°=30°．
∴∠DAH=∠BAM．
∵∠D=∠B=90°，
∴△ADH∽△ABM．
∴④正确；
⑤当9＜t＜9+时，此时点M在边BC上，如图，

此时MB=9+-t，
∴S=．
∴⑤不正确；
综上，结论正确的有：①③④．
故选：A．
5．（2021·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的OA边在x轴的正半轴上，OC边在y轴的正半轴上，点B的坐标为（4，2），反比例函数的图象与BC交于点D，与对角线OB交于点E，与AB交于点F，连接OD，DE，EF，DF．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【详解】解：∵OABC为矩形，点B的坐标为（4，2），
∴A点坐标为(4，0)，C点坐标为(0，2)，
根据反比例函数，
当时，，即D点坐标为(1，2)，
当时，，即F点坐标为(4，)，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∴，
故结论①正确；
设直线OB的函数解析式为：，
点B代入则有：，
解得：，
故直线OB的函数解析式为：，
当时，(舍)
即时，，
∴点E的坐标为(2，1)，
∴点E为OB的中点，
∴，
故结论②正确；
∵，
∴，
由②得：，
，
∴，
故结论③正确；
在和中，
，
∴，
∴，
故结论④正确，
综上：①②③④均正确，
故选：A．
6．（2020·辽宁朝阳·中考真题）如图，在正方形中，对角线相交于点O，点E在BC边上，且，连接AE交BD于点G，过点B作于点F，连接OF并延长，交BC于点M，过点O作交DC于占N，，现给出下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（    ）

A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【答案】D
【详解】∵，
∴,
又∵
∴,
，
，故①正确；
如图，过点O作交AE于点H，过点O作交BC于点Q，过点B作交OM的延长线于点K，

∵四边形ABCD是正方形，
，
，
．
，
，
，
，
，
，
∴，
，
．
，
即，
∴ ，
，故②错误；
，
，
．
，
，
，
，
，
，
，
．
，
，
，故③正确；
，
，
．
，
，
，故④正确；
∴正确的有①③④，
故选：D．
7．（2020·重庆·中考真题）如图，在△ABC中，AC=，∠ABC=45°，∠BAC=15°，将△ACB沿直线AC翻折至△ABC所在的平面内，得△ACD．过点A作AE，使∠DAE=∠DAC，与CD的延长线交于点E，连接BE，则线段BE的长为（　　）

A． B．3 C． D．4
【答案】C
【详解】解：在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=15°，
∴∠ACB=120°，
∵将△ACB沿直线AC翻折，得△ACD，
∴∠ACE=∠ACB=120°，∠DAE=∠DAC=∠BAC=15°，即∠CAE=30°，
在△ACE中，∠CEA=180°-∠ACE-∠CAE=30°，
∴AC=EC，
又∵∠ECB=360°-∠ACE-∠ACB=120°，
在△EBC和△ABC中，

∴△EBC≌△ABC，
∴BE=BA.
如下图，延长BC交AE于F，

∵CE=CA，BE=BA，
∴BC是线段AE的垂直平分线，即∠AFC=90°，
在Rt△AFC中，∠CAF=30°，AC=，
∴AF=AC·cos∠CAF=.
在Rt△AFB中，∠ABC=45°，
∴AB=AF=，
∴BE=AB=.
故选：C.
8．（2019·湖南长沙·中考真题）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则的最小值是(     )

A． B． C． D．10
【答案】B
【详解】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．

∵BE⊥AC，
∴∠AEB=90°，
∵tanA==2，设AE=a，BE=2a，
则有：100=a2+4a2，
∴a2=20，
∴a=2或-2（舍弃），
∴BE=2a=4，
∵AB=AC，BE⊥AC，CM⊥AB，
∴CM=BE=4（等腰三角形两腰上的高相等））
∵∠DBH=∠ABE，∠BHD=∠BEA，
∴，
∴DH=BD，
∴CD+BD=CD+DH，
∴CD+DH≥CM，
∴CD+BD≥4，
∴CD+BD的最小值为4．
故选B．
9．（2019·四川·中考真题）如图，已知 两点的坐标分别为，点分别是直线和x轴上的动点，,点是线段的中点，连接交轴于点；当⊿面积取得最小值时，的值是（  ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图，设直线x=-5交x轴于K．由题意KD=CF=5，

∴点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，
∴当直线AD与⊙K相切时，△ABE的面积最小，
∵AD是切线，点D是切点，
∴AD⊥KD，
∵AK=13，DK=5，
∴AD=12，
∵tan∠EAO=，
∴，
∴OE=，
∴AE=，
作EH⊥AB于H．
∵S△ABE=•AB•EH=S△AOB-S△AOE，
∴EH=，
∴，
∴，
故选B.
10．（2019·重庆·中考真题）为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度（或坡比）=1:2.4的山坡AB上发现有一棵占树CD．测得古树底端C到山脚点A的距离AC=26米，在距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D的仰角∠AED=48°（古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直），则古树CD的高度约为（   ）（参考数据：°≈0.73，cos8°≈0.67，tan48°≈1.11）

A．17.0米 B．21.9米 C．23.3米 D．33.3米
【答案】C
【详解】
解：如图，∵=1：2.4=
∴设CF=5k，AF=12k，
∴.AC==13k=26，解得.k=2，
∴AF=10，CF=24，
∵AE=6，
∴EF=6+24=30，
∴∠DEF=48°
∴tan48°==1.11
∴DF=33.3，
∴CD=33.3-10=23.3，答：古树CD的高度约为23.3米，故选C.
二．填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分。）
11．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为 _____．

【答案】4
【详解】解：如图，

在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，
此时PA+2PB最小，
∴∠AFB＝90°
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠BAD＝，
∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°，
∴PF＝，
∴PA+2PB＝2＝＝2BF，
在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°，
∴BF＝AB•sin45°＝4，
∴（PA+2PB）最大＝2BF＝，
故答案为：．
12．（2022·江苏南通·中考真题）如图，点O是正方形的中心，．中，过点D，分别交于点G，M，连接．若，则的周长为___________．

【答案】
【详解】解：如图，连接BD，则BD过正方形的中心点O，作FH⊥CD于点H，
∵，，
∴
∴AG＝AB＝，
∴BG＝，
∵∠BEF＝90°，∠ADC＝90°，
∴∠EGD＋∠EDG＝90°，∠EDG＋∠HDF＝90°，
∴∠EGD＝∠HDF
∵∠AGB＝∠EGD，
∴∠AGB＝∠HDF，
在△ABG和△HFD中，，
∴△ABG≌△HFD（AAS），
∴AG＝DH，AB＝HF，
∵在正方形中，AB＝BC＝CD＝AD，∠C＝90°，
∴DH＝AG＝AB＝CD，BC＝HF，
在△BCM和△FHM中，，
∴△BCM≌△FHM（AAS），
∴MH＝MC＝CD，BM＝FM，
∴DH＝MH，
∵FH⊥CD，
∴DF＝FM，
∴BG＝DF＝FM＝BM＝，
∴BF＝，
∵M是BF中点，O是BD中点，△BEF是直角三角形，
∴OM＝，EM＝，
∵BD＝，△BED是直角三角形，
∴EO＝，
∴的周长＝EO＋OM＋EM＝3＋＋，
故答案为：．

13．（2022·黑龙江大庆·中考真题）如图，正方形中，点E，F分别是边上的两个动点，且正方形的周长是周长的2倍，连接分别与对角线交于点M，N．给出如下几个结论：①若，则；②；③若，则；④若，则．其中正确结论的序号为____________．

【答案】②
【详解】解：∵正方形的周长是周长的2倍，
∴，
，
①若，则，故①不正确；
如图，在的延长线上取点，使得，

四边形是正方形，
，，
，
，，，
，，
，
，，，
，
，
，
，

即，故②正确；

如图，作于点，连接，
则，
，，
，
同理可得，
，
关于对称轴，关于对称，
，
，
，
是直角三角形，
③若，
，
，故③不正确，
，
若，
即，
，
，，
又，
，
，
即，
，
，
，
，
，
故④不正确．
故答案为：②．
14．（2022·浙江绍兴·中考真题）如图，，点在射线上的动点，连接，作，，动点在延长线上，，连接，，当，时，的长是______．

【答案】5或
【详解】解：如图，过点C作CN⊥BE于N，过点D作DM⊥CN延长线于M，连接EM，

设BN=x，则CN=BN•tan∠CBN=3x，
∵△CAD，△ECD都是等腰直角三角形，
∴CA=CD，EC=ED，∠EDC=45°，
∠CAN+∠ACN=90°，∠DCM+∠ACN=90°，则∠CAN=∠DCM，
在△ACN和△CDM中：∠CAN=∠DCM，∠ANC=∠CMD=90°，AC=CD，
∴△ACN≌△CDM（AAS），
∴AN=CM=10+x，CN=DM=3x，
∵∠CMD=∠CED=90°，
∴点C、M、D、E四点共圆，
∴∠CME=∠CDE=45°，
∵∠ENM=90°，
∴△NME是等腰直角三角形，
∴NE=NM=CM-CN=10-2x，
Rt△ANC中，AC=，
Rt△ECD中，CD=AC，CE=CD，
Rt△CNE中，CE2=CN2+NE2，
∴，
，
，
x=5或x=，
∵BE=BN+NE=x+10-2x=10-x，
∴BE=5或BE=；
故答案为：5或；
15．（2022·四川南充·中考真题）如图，正方形边长为1，点E在边上（不与A，B重合），将沿直线折叠，点A落在点处，连接，将绕点B顺时针旋转得到，连接．给出下列四个结论：①；②；③点P是直线上动点，则的最小值为；④当时，的面积．其中正确的结论是_______________．（填写序号）

【答案】①②③
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
由旋转知，∠A1BA2=90°，A1B=A2B，
∴∠ABA1=∠CBA2，
∴△ABA1≌△CBA2，
故①正确；
过D作DM⊥CA1于M，如图所示，

由折叠知AD=A1D=CD，∠ADE=∠A1DE，
∴DM平分∠CDA1，
∴∠ADE+∠CDM=45°，
又∠BCA1+∠DCM=∠CDM+∠DCM=90°，
∴∠BCA1=∠CDM，
∴∠ADE+∠BCA1=45°，
故②正确；
连接AP、PC、AC，由对称性知，PA1=PA，

即PA1+PC=PA+PC，当P、A、C共线时取最小值，最小值为AC的长度，即为，
故③正确；
过点A1作A1H⊥AB于H，如图所示，

∵∠ADE=30°，
∴AE=tan30°·AD=，DE=，
∴BE=AB-AE=1-，
由折叠知∠DEA=∠DEA1=60°，AE=A1E=，
∴∠A1EH=60°，
∴A1H=A1E·sin60°=，
∴△A1BE的面积=，
故④错误，
故答案为：①②③．
16．（2021·四川绵阳·中考真题）在直角中，，，的角平分线交于点，且，斜边的值是______．
【答案】
【详解】解：如图，CD平分∠ACB，过点D作DE⊥AC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，

∴DE＝DF，，
又，
∴四边形CEDF为正方形，
，，
在中，，
∵，
，
，，，
，
即，
又，
，
∵在中，，
∴，
∵在中，，
∴，





，
，
，
即（舍负），
故答案为：．
三．解答题（本题共6小题，共36分。）
17．（2022·江苏淮安·中考真题）在数学兴趣小组活动中，同学们对菱形的折叠问题进行了探究．如图（1），在菱形中，为锐角，为中点，连接，将菱形沿折叠，得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点．

(1)【观察发现】与的位置关系是______；
(2)【思考表达】连接，判断与是否相等，并说明理由；
(3)如图（2），延长交于点，连接，请探究的度数，并说明理由；
(4)【综合运用】如图（3），当时，连接，延长交于点，连接，请写出、、之间的数量关系，并说明理由．
【详解】（1）解：∵在菱形中，，
∴由翻折的性质可知，，
故答案为：；
（2）解：，
理由：如图，连接，，

∵为中点，
∴，
∴点B、、C在以为直径,E为圆心的圆上，
∴，
∴，
由翻折变换的性质可知，
∴，
∴；
（3）解：结论：；
理由：如图，连接，，，延长至点H，

由翻折的性质可知，
设，，
∵四边形是菱形，  
∴，，
∴，
∴，
∴，

∵，点B、、C在以为直径,E为圆心的圆上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（4）解：结论：，
理由：如图，延长交的延长线于点，过点作交的延长线于点，

设，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
在中，则有，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
18．（2022·江苏镇江·中考真题）如图1是一张圆凳的造型，已知这张圆凳的上、下底面圆的直径都是，高为．它被平行于上、下底面的平面所截得的横截面都是圆．小明画出了它的主视图，是由上、下底面圆的直径、以及、组成的轴对称图形，直线为对称轴，点、分别是、的中点，如图2，他又画出了所在的扇形并度量出扇形的圆心角，发现并证明了点在上．请你继续完成长的计算．
参考数据：，，，，，．

【详解】解：连接，交于点．设直线交于点．
∵是的中点，点在上，
∴．
在中，∵，，
∴，．
∵直线是对称轴，
∴，，，
∴．
∴．
∴，．
在中，，
即，
则．
∵，
即，
则．
∴．
∵该图形为轴对称图形，张圆凳的上、下底面圆的直径都是，
,
∴．
∴．

19．（2022·山东聊城·中考真题）我市某辖区内的兴国寺有一座宋代仿木楼阁式空心砖塔，塔旁有一棵唐代古槐，称为“宋塔唐槐”（如图①）．数学兴趣小组利用无人机测量古槐的高度，如图②所示，当无人机从位于塔基B点与古槐底D点之间的地面H点，竖直起飞到正上方45米E点处时，测得塔AB的顶端A和古槐CD的顶端C的俯角分别为26.6°和76°（点B，H，D三点在同一直线上）．已知塔高为39米，塔基B与树底D的水平距离为20米，求古槐的高度（结果精确到1米）．（参考数据：，，，，，）

【详解】解：过点A作AM⊥EH于M，过点C作CN⊥EH于N，

由题意知，AM=BH，CN=DH，AB=MH，
在中，∠EAM=26.6°，
∴，
∴米，
∴BH=AM=12米，
∵BD=20，
∴DH=BDBH=8米，
∴CN=8米，
在中，∠ECN=76°，
∴，
∴米，
∴（米），
即古槐的高度约为13米．
20．（2022·海南·中考真题）无人机在实际生活中应用广泛．如图8所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼楼顶D处的俯角为，测得楼楼顶A处的俯角为．已知楼和楼之间的距离为100米，楼的高度为10米，从楼的A处测得楼的D处的仰角为（点A、B、C、D、P在同一平面内）．

(1)填空：___________度，___________度；
(2)求楼的高度（结果保留根号）；
(3)求此时无人机距离地面的高度．
【详解】（1）
过点A作于点E，

由题意得：
∴

（2）
由题意得：米，．
在中，，
∴，
∴
∴楼的高度为米．
（3）
作于点G，交于点F，

则
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴（AAS）．
∴．
∴
∴无人机距离地面的高度为110米．
21．（2022·江苏扬州·中考真题）如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘在轴上，且dm，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为轴，高度dm．现计划将此余料进行切割：

(1)若切割成正方形，要求一边在底部边缘上且面积最大，求此正方形的面积；
(2)若切割成矩形，要求一边在底部边缘上且周长最大，求此矩形的周长；
(3)若切割成圆，判断能否切得半径为dm的圆，请说明理由．
【详解】（1）
由题目可知A（-4，0），B（4，0），C（0，8）
设二次函数解析式为y=ax²+bx+c，
∵对称轴为y轴，
∴b=0，将A、C代入得，a=，c=8
则二次函数解析式为，
如下图所示,正方形MNPQ即为符合题意得正方形，设其边长为2m，
则P点坐标可以表示为（m，2m）
代入二次函数解析式得，
，解得（舍去），
∴2m=，
则正方形的面积为；

（2）
如下如所示矩形DEFG，设DE=2n，则E（n，0）
将x=n代入二次函数解析式，得
，
则EF=，
矩形DEFG的周长为：2（DE+EF）=2（2n+）=，
当n=2时，矩形的周长最大，最大周长为20dm；

（3）
若能切成圆，能切得半径为3dm的圆，理由如下：
如图，N为上一点，也是抛物线上一点，过点N作的切线交y轴于点Q，连接MN，过点N作NP⊥y轴于P，

设，
由勾股定理得：，
∴
解得：，（舍去），
∴，
∴
∵
∴
∴
设QN的解析式为：
∴
∴
∴QN的解析式为：
与抛物线联立为：


所以此时N为与抛物线在y轴右侧的唯一公共点，
所以若切割成圆，能够切成半径为3dm的圆．