初中人教版28.1 锐角三角函数单元测试习题

2017-2018人教版数学九年级下册 第二十八章 锐角三角函数 单元测试卷

一、选择题(本大题共8小题，每小题只有一个正确选项，每小题4分，共32分)

1．将Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得到Rt△A′B′C′，那么锐角∠A，∠A′的余弦值的关系为(　　)

A．cosA＝cosA′B．cosA＝3cosA′C．3cosA＝cosA′D．不能确定

2．如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为(　　)

A.      B.      C.      D．3

3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则tanA等于(　　)

A．2      B.      C.      D．24

4．等腰三角形底边与底边上的高的比是2∶，则顶角为(　　)

A．60°     B．90°      C．120°     D．150°

5．如图，BD是菱形ABCD的对角线，CE⊥AB于点E，交BD于点F，且点E是AB中点，则tan∠BFE的值是(　　)

A.     B．2     C.      D.

6．已知α为锐角，且tan2α－(1＋)tanα＋1＝0，则α的度数为(　　)

A．30°   B．45°   C．30°或45°    D．45°或60°

7．如图，在▱ABCD中，点E是AD的中点，延长BC到点F，使CF∶BC＝1∶2，连接DF，EC.若AB＝5，AD＝8，sinB＝，则DF的长等于(　　)

A.   B.   C.   D．2

8．如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，CA是∠BCD的平分线，且AB⊥AC，AB＝4，AD＝6，则tanB等于(　　)

A．2   B．2    C.    D.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

9．计算：tan45°－2cos60°＝________．

10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，sinA＝，那么AB＝________．

11．如图，一束光线照在坡度1∶的斜坡上，被斜坡上的平面镜反射成与地面平行的光线，则这束光线与坡面的夹角α是________度．

12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC＝6，sinA＝，则DE＝________．

13．如图，小明从A地沿北偏东60°方向走2千米到B地，再从B地向正南方向走3千米到C地，此时小明距离A地________千米．(结果保留根号)

14．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且BD平分AC.若BD＝8，AC＝6，∠BOC＝120°，则四边形ABCD的面积为________．(结果保留根号)

三、解答题(共9个小题，共70分)

15．(5分)计算：20160－|－|＋()－1＋2sin45°.

16．(6分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，sinB＝，求AB边上的高CD.

17．(6分)如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高是10米，CB⊥DB，坡面AC的倾斜角为45°，为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为i＝∶3，若新坡角下需留3米宽的人行道，问离原坡角(A点处)10米的建筑物是否需要拆除？(参考数据：≈1.414，≈1.732)

18．(7分)如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图，已知BC＝4米，AB＝6米，中间平台宽度DE＝1米．EN，DM，CB为三根垂直于AB的支柱，垂足分别为N，M，B，∠EAB＝31°，DF⊥BC于点F，∠CDF＝45°.求DM和BC的水平距离BM的长度．(结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60)

19．(7分)如图所示，在等腰△ABC中，AB＝BC，AE⊥BC于点E，EF⊥AB于点F，若CE＝2，cos∠AEF＝，求BE的长．

20．(8分)如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°(点B，C，E在同一水平直线上)，已知AB＝80m，DE＝10m，求障碍物B，C两点间的距离(结果精确到0.1m)(参考数据：≈1.414，≈1.732)

21．(9分)某海域有A，B，C三艘船正在捕鱼作业，C船突然出现故障，向A，B两船发出紧急求救信号，此时B船位于A船的北偏西72°方向，距A船24海里的海域，C船位于A船的北偏东33°方向，同时又位于B船的北偏东78°方向．

(1) 求∠ABC的度数；

(2) A船以每小时30海里的速度前去救援，问多长时间能到出事地点．(结果精确到0.01小时，参考数据：≈1.414，≈1.732)

22．(10分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a.求证：

(1) tanA＝；

(2) sin2A＋cos2A＝1；

(3) ＝.

23．(12分)如图，在等边△ABC中，AB＝12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连接GD.

(1) 求证：DF是⊙O的切线；

(2) 求FG的长；

(3) 求tan∠FGD的值．

答案：

一、

1---8   AAAAD   CCB

二、

9.  0

10.  9

11.  30

12. 

13. 

14.  12

三、

15.  解：原式＝1－＋3＋2×＝4

16.  解：在Rt△ABC中，AC＝AB·sinB＝4，∵∠ACD＝∠B(同角的余角相等)，∴AD＝AC·sin∠ACD＝，在Rt△ACD中，CD＝＝

17.  解：∵BC＝10，∠CAB＝45°，∠CBA＝90°，∴AB＝10，∵tan∠CDB＝＝，∴BD＝＝×10＝17.32(米)，∴DA＝DB－AB＝17.32－10＝7.32(米)，∵7.32＋3＝10.32＞10，∴离原坡角10米的建筑物需要拆除

18.  解：设DF＝x，在Rt△DFC中，∠CDF＝45°·∴CF＝tan45°，DF＝x，又∵CB＝4，∴BF＝4－x，∵AB＝6，DE＝1，BM＝DF＝x，∴AN＝5－x，EN＝DM＝BF＝4－x，在Rt△ANE中，∠EAB＝31°，EN＝4－x，AN＝5－x，tan31°＝＝＝0.60，解得x＝2.5.答：DM和BC的水平距离BM为2.5米

19.  解：∵AE⊥BC于点E，EF⊥AB于点F，∴∠AEB＝∠AFE＝90°，∴∠B＋∠BAE＝∠BAE＋∠AEF＝90°，∴∠B＝∠AEF.设BE＝4a，∵cos∠B＝cos∠AEF＝，AB＝BC，∴AB＝BC＝5a，CE＝BC－BE＝a.又∵CE＝2，∴a＝2，∴BE＝8

20.  解：过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H.则DE＝BF＝CH＝10 m，在直角△ADF中，∵AF＝80 m－10 m＝70 m，∠ADF＝45°，∴DF＝AF＝70 m．在直角△CDE中，∵DE＝10 m，∠DCE＝30°，∴CE＝＝＝10(m)，∴BC＝BE－CE＝70－10≈70－17.32≈52.7(m)．答：障碍物B，C两点间的距离约为52.7 m

21.  解：(1)由题意可知DB∥AE，∠DBA＋∠BAE＝180°，∴∠DBA＝108°，∠CBA＝108°－78°＝30°，∠C＝180°－30°－72°－33°＝45°　

(2)过点A作AF⊥BC于点F，＝sin∠CBA＝，∴AF＝AB＝12，在Rt△CFA中，＝sinC＝，∴CA＝AF，∴AC＝12，设A船经过t小时到出事地点，则30t＝12，t＝≈0.57(小时)，所以A船经过0.57小时能到出事地点

22.  证明：(1)由三角函数可得tanA＝，sinA＝，cosA＝.等式左边＝tanA＝，等式右边＝＝，左边＝右边，∴tanA＝　

(2)sin2A＋cos2A＝()2＋()2＝，∵△ABC是直角三角形且∠C＝90°，∴a2＋b2＝c2，∴sin2A＋cos2B＝＝1　

(3)由(2)得sin2A＋cos2A＝1，由(1)得tanA·cosA＝sinA，∴sin2A＝(1＋cosA)(1－cosA)，∴＝，等式两边分子、分母均乘以tanA，得＝　

23.  解：(1)证明：连接OD，∵△ABC为等边三角形，∴∠C＝∠A＝∠B＝60°，而OD＝OB，∴△ODB是等边三角形，∠ODB＝60°，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切线　

(2)∵OD∥AC，点O为AB的中点，∴OD为△ABC的中位线，∴BD＝CD＝6，在Rt△CDF中，∠C＝60°，∴∠CDF＝30°，∴CF＝CD＝3，∴AF＝AC－CF＝12－3＝9，在Rt△AFG中，∵∠A＝60°，∴FG＝AF·sinA＝9×＝　

(3)过D作DH⊥AB于H，∵FG⊥AB，DH⊥AB，∴FG∥DH，∴∠FGD＝∠GDH.在Rt△BDH中，∠B＝60°，∴∠BDH＝30°，∴BH＝BD＝3，DH＝BH＝3，在Rt△AFG中，∵∠AFG＝30°，∴AG＝AF＝，∵GH＝AB－AG－BH＝12－－3＝，∴tan∠GDH＝＝＝，∴tan∠FGD＝tan∠GDH＝