初中数学1 二次函数一等奖教案

第二章  二次函数

1  二次函数

1.能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围.

2.结合之前的知识，理解并会运用二次函数的关系式.

3.注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯.

对二次函数概念的理解.

由实际问题确定函数表达式和确定自变量的取值范围.

请同学们先欣赏几幅图片，如图2－1－2.(教师播放课件)

图2－1－2

在客观世界中存在很多这样的图形形状，我们把它们叫做抛物线．我们如何用数学方法描述它、研究它呢？从本节课开始，我们就一起来研究这一问题．

师生活动：教师提出以下问题，引导学生回答，师生共同回顾、交流，适时做好总结．

1．我们学习过哪些函数呢？试着举例说明一下．

2．下列函数哪些是正比例函数？哪些是一次函数？

(1)y＝2x＋1；(2)y＝－4x；(3)y＝5x2；(4)y＝；(5)y＝ax＋1.

3．学习函数应从哪几方面进行探究呢？

[答案] 1.学习过的函数是一次函数，如y＝x＋1；正比例函数，如y＝x.其中正比例函数是一次函数的特殊形式．

2．正比例函数有(2)，一次函数有(1)(2)．

3．学习函数一般是从函数的定义、函数的一般形式、函数的图象及其性质、函数的实际应用等方面进行学习.

【探究1】

某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．

(1)问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？

(2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？

(3)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式．

(4)大家根据刚才的分析，判断一下上式中的y是否是x的函数？若是函数，与原来学过的函数相同吗？

【探究2】 银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的，也就是说，利率是一个变量．在我国，利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的．(本金是存入银行时的资金，利息是银行根据利率和存期付给的“报酬”，本息和就是本金与利息的和．利息＝本金×利率×期数(时间))设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存．如果存款是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式．

生1：y＝100(1＋x)＋100(1＋x)x.

生2：y＝100(1＋x)2.

生3：y＝100x2＋200x＋100.

从我们刚才所推导出的关系式：y＝100x2＋200x＋100中分析出y是x的函数，你能说出它的结构特点吗？请小组内思考探究．

生：y是x的函数，而且y关于x的代数式是整式且最高次项的次数是2.

师：很好，这就是我们所学的二次函数，你能根据它的特点归纳出二次函数的定义吗？它的一般表达式是怎样的？

生：一般地，若两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的形式，则称y是x的二次函数．

师：上述概念中的a为什么不能等于0?

生：如果a＝0，就没有二次项了，y也就不是x的二次函数了．

师：概念中的b和c可否为0，若b和c有一个为0或b和c均为0，上述表达式可以怎样改写？你认为它们还是二次函数吗？

生：b和c可以为0，也可以同时为0，表达式分别为：①y＝ax2＋bx；②y＝ax2＋c；③y＝ax2.它们都还是二次函数．

师：同学们分析得很好，二次函数的表达式与我们所学过的什么知识类似？

生：与我们所学过的一元二次方程类似，当函数值y＝0时就是我们所学过的一元二次方程了．

师：太棒了！从这几个问题我们可以看出，判断一个函数是否是二次函数的关键是：判断二次项系数是否为0.

 例1　下列函数中，哪些是二次函数？

(1)y＝3(x－1)2＋1；(2)y＝；(3)s＝3－2t2；

(4)y＝－2x2.

解：(1)(3)(4)是二次函数，(2)不是．

例2　函数y＝(m＋2)xm2－2是x的二次函数，求m的值．

解：∵y是x的二次函数，

∴m2－2＝2，且m＋2≠0，

∴m＝2.

例3　下列函数中是二次函数的有(B)

①y＝x＋；　　　　　②y＝3(x－1)2＋2；

③y＝(x＋3)2－2x2；　　　  ④y＝＋x.

A.1个　　　B．2个　　　C．3个　　　D．4个

例4　圆的半径是1 cm，假设半径增加x cm时，圆的面积增加y cm2.

(1)写出y与x之间的关系式；

(2)当圆的半径分别增加1 cm， cm，2 cm时，圆的面积增加多少？

解： (1)y与x之间的关系式是：y＝π(x＋1)2－π＝πx2＋2πx.

(2)当圆的半径分别增加1 cm， cm，2 cm时，即x的值分别为1，，2，代入y＝πx2＋2πx，圆的面积分别增加3π cm2，2π cm2，8π cm2.

1．请叙述二次函数的定义．

2.许多实际问题可以转化为二次函数来解决，请你联系生活实际，编一道二次函数应用题，并写出函数关系式。