初中数学北师大版九年级下册5 二次函数与一元二次方程优秀同步练习题

2.5二次函数与一元二次方程课时训练

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知二次函数y＝x2﹣4x+m2+1（m是常数），若当x＝a时，对应的函数值y＜0，则下列结论中正确的是（　　）

A．a﹣4＜0

B．a﹣4＝0

C．a﹣4＞0

D．a与4的大小关系不能确定

2．抛物线的图像和轴有交点，则的取值范围是（     ）

A． B．且 C． D．且

3．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④（是任意实数），其中正确的是（  ）

A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④

4．已知二次函数的图象与轴有两个交点，若其中一个交点的横坐标为，则另一个交点的横坐标为（  ）

A． B． C． D．

5．已知二次函数的图象如图所示，若方程的两个根为，，下列结论中：①；②；③；④．其中所有正确的结论有（    ）

A．①② B．③④ C．②③④ D．②③

6．在平面直角坐标系中，某二次函数图象的顶点为，此函数图象与x轴交于P，Q两点，且．若此函数图象经过，，，四点，则实数a，b，c，d中为整数的是（　　　）

A．a B．b C．c D．d

7．若二次函数的对称轴为直线，则关于x的方程的解为（　　　）

A．2 B．4 C．2和4 D．无解

8．已知二次函数y=mx2+（2m+1）x+m﹣1的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是（　　　）

A．m B． C．m且m≠0 D．m且m≠0

9．已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为（    ）

A．2020 B．2021 C．2022 D．2023

10．关于x的一元二次方程x2+4x+4m＝0有两个相等的实数根，则二次函数y＝x2+4x+4m的图象与x轴的交点情况为（　　）

A．没有交点 B．有一个交点 C．有两个交点 D．不能确定

二、填空题

11．如图，二次函数y＝﹣2的图像与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，连接BC，在线段BC上有一动点P，过点P作y轴的平行线交二次函数的图像于点N，交x轴于点M，若△CPN与△BPM相似，则点P的坐标为_____．

12．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图像经过点A（﹣8，0），B（4，0）两点，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是_____．

13．已知函数的图象与轴只有一个公共点，则的值是________________．

14．已知抛物线与轴只有一个公共点，则__________．

15．已知关于的函数的图象与轴只有两个公共点，则的取值范围是_____．

16．若函数的图像与轴有且只有一个交点，则的值为____．

三、解答题

17．二次函数y＝a+bx+c的图像如图所示，根据图像解答下列问题：

（1）方程a+bx+c＝0的两个根为　   　，不等式a+bx+c＞0的解集为　   　；

（2）若关于x的一元二次方程a+bx+c＝k的两个不相等的实数根，则k的取值范围为　   　；

（3）若关于x的一元二次方程a+bx+c﹣t＝0在1＜x＜4的范围内有实数根，求t的取值范围．

18．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点（﹣2，5）和（2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）求出点A，B，C的坐标；

（3）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P，D，E为顶点的三角形与△BOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．

19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣5交y轴于点A，交x轴于点B（﹣5，0）和点C（1，0），过点A作AD∥x轴交抛物线于点D．

（1）求此抛物线的表达式；

（2）点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，求△EAD的面积；

（3）若点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，四边形OAPB的面积最大，求出此时点P的坐标．

20．（1）计算：．

（2）已知点在抛物线上，求出抛物线与轴的交点．

参考答案

1．A

2．B

3．B

4．D

5．C

6．C

7．C

8．C

9．C

10．B

11．或

12．x=-8或4

13．0或1

14．

15．或或

16．或或

17．（1），，；（2）；（3）．

【详解】

（1）∵抛物线y＝a+bx+c与x轴交点的横坐标分别是1和3，

∴a+bx+c=0的两个根为，，

∵当时，y＞0，

∴a+bx+c＞0的解集为，

故答案为：，，；

（2）当y=2时，与抛物线有一个交点即顶点，

∴当y＜2时，与抛物线有两个不同的交点，

∴一元二次方程a+bx+c＝k的两个不相等的实数根，则k的取值范围为k＜2，

故答案为：k＜2；

（3）设抛物线的解析式为y=a，把（1，0）代入解析式，得

a=0，

解得a= -2，

∴抛物线的解析式为y= -2=，

∵-t=0在1＜x＜4的范围内有实数根，

∴≥0，＜0，

∴．

18．（1）；（2）；（3）的坐标为：的坐标为：

【详解】

解：（1） 抛物线y＝x2+bx+c经过点（﹣2，5）和（2，﹣3），

整理得：

解得：

抛物线的解析式为：

（2）令 则

令 则

或

（3）

为等要直角三角形，

如图，过作于，与抛物线的另一个交点为

当时，

的对称轴为：

的横坐标为

同理可得：

综上：的坐标为：的坐标为：

19．（1）；（2）20；（3）

【详解】

（1）将点B、C的坐标代入解析式y＝ax2+bx﹣5中，得

，解得，

∴此抛物线的表达式是；

（2）令中x=0，得y=-5，

∴A（0，-5），

∵AD∥x轴交抛物线于点D，

∴点D的纵坐标为-5，

当y=-5时，解得x=0或x=-4，

∴D（-4，-5），即AD=4，

∵点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，

∴点E的纵坐标为5，

∴点E到直线AD的距离是10，

∴△EAD的面积=；

（3）如图，连接OP，作PG⊥x轴于G，PH⊥y轴于H，

设点P的坐标为（x，），

四边形OAPB的面积=

=

=

=，

∵，

∴当时，四边形OAPB的面积最大，

此时点P的坐标为．

．

20．（1）；（2）和

【详解】

（1）解：原式

（2）解：将代入，得：

解得：，

所以抛物线的解析式为：．

令，得：，

解得：，

抛物线与轴的交点为和