初中数学北师大版九年级下册5 二次函数与一元二次方程复习练习题

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专题2.5 二次函数与一元二次方程
【北师大版】

【知识点1 二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况】
根的判别式
二次函数的图象
二次函数与x轴的交点坐标
一元二次方程根的情况
△＞0


抛物线与x轴交于，两点，且，
此时称抛物线与x轴相交
一元二次方程
有两个不相等的实数根


△＝0


抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切
一元二次方程
有两个相等的实数根


△＜0


抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离
一元二次方程
在实数范围内无解（或称无实数根）



【题型1 抛物线与x轴的交点】
【例1】（2021•海珠区一模）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的顶点为（1，5），那么关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c﹣4＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【解题思路】求出抛物线的表达式y＝﹣（x﹣1）2+5＝﹣x2+2x+4，进而求解．
【解答过程】解：设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，
则y＝﹣（x﹣1）2+5＝﹣x2+2x+4，
则﹣x2+bx+c﹣4＝0化为﹣x2+2x＝0，
解得x＝0或2，
故选：A．
【变式1-1】（2020秋•路南区期末）小明在解二次函数y＝ax2+bx+c时，只抄对了a＝1，b＝4，求得图象过点（﹣1，0）．他核对时，发现所抄的c比原来的c值大2，则抛物线与x轴交点的情况是（　　）
A．只有一个交点 B．有两个交点
C．没有交点 D．不确定
【解题思路】先把a＝1，b＝4，（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+c中求出抄错的c的值，再得到确定c的值，从而得到抛物线的解析式应该为y＝x2﹣4x+1，然后利用判别式的意义进行判断．
【解答过程】解：根据题意得a=1b=4a-b+c=0，
∴a＝1，b＝4，c＝3，
∵所抄的c比原来的c值大2，
∴原来c的值为1，
∴抛物线的解析式应该为y＝x2﹣4x+1，
∵△＝（﹣4）2﹣4×1＝12＞0，
∴抛物线与x轴有2个交点．
故选：B．
【变式1-2】（2021•铜仁市）已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴有两个交点A（﹣1，0），B（3，0），抛物线y＝a（x﹣h﹣m）2+k与x轴的一个交点是（4，0），则m的值是（　　）
A．5 B．﹣1 C．5或1 D．﹣5或﹣1
【解题思路】先利用二次函数的性质得到两抛物线的对称轴，然后利用A点或B点向右平移得到点（4，0）得到m的值．
【解答过程】解：∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k的对称轴为直线x＝h，抛物线y＝a（x﹣h﹣m）2+k的对称轴为直线x＝h+m，
∴当点A（﹣1，0）平移后的对应点为（4，0），则m＝4﹣（﹣1）＝5；
当点B（3，0）平移后的对应点为（4，0），则m＝4﹣3＝1，
即m的值为5或1．
故选：C．
【变式1-3】（2020秋•长春期末）在平面直角坐标系中，若函数y＝（k﹣2）x2﹣2kx+k的图象与坐标轴共有三个交点，则下列各数中可能的k值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【解题思路】根据函数y＝（k﹣2）x2﹣2kx+k的图象与坐标轴共有三个交点，可以得到关于k的不等式组，从而可以求得k的取值范围，然后即可解答本题．
【解答过程】解：∵函数y＝（k﹣2）x2﹣2kx+k的图象与坐标轴共有三个交点，
∴k-2≠0k≠0(-2k)2-4(k-2)⋅k＞0，
解得k＞0且k≠2，
故选：C．
【题型2 抛物线与x轴交点上的四点问题】
【例2】（2021•碑林区校级模拟）已知抛物线y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+1（x1＜x2），抛物线与x轴交于（m，0），（n，0）两点（m＜n），则m，n，x1，x2的大小关系是（　　）
A．x1＜m＜n＜x2 B．m＜x1＜x2＜n C．m＜x1＜n＜x2 D．x1＜m＜x2＜n
【解题思路】设y′＝（x﹣x1）（x﹣x2），而y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+1＝y′+1，即函数y′向上平移1个单位得到函数y，通过画出函数大致图象即可求解．
【解答过程】解：设y′＝（x﹣x1）（x﹣x2），则x1、x2是函数y′和x轴的交点的横坐标，
而y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+1＝y′+1，
即函数y′向上平移1个单位得到函数y，
则两个函数的图象如下图所示（省略了y轴），

从图象看，x1＜m＜n＜x2，
故选：A．
【变式2-1】（2021•上城区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴正半轴交于A（p，0）和B（q，0）两点（点A在点B的左边），方程x＝ax2+bx+c（a＞0）的解为x＝m或x＝n（m＜n），则p，q，m，n的大小关系可能是（　　）
A．p＜q＜m＜n B．m＜n＜p＜q C．m＜p＜q＜n D．p＜m＜n＜q
【解题思路】依据题意y＝ax2+bx+c的图象如下图所示，在此基础上，作出直线y＝x的图象，设两个函数图象的交点为C、D，即可求解．
【解答过程】解：依据题意y＝ax2+bx+c的大致图象如下图所示，

在此基础上，作出直线y＝x的图象，设两个函数图象的交点为C、D，
则C、D的横坐标为m，n，
故m＜p＜q＜n，
故选：C．
【变式2-2】（2021•娄底模拟）对于一个函数，自变量x取c时，函数值为0，则称c为这个函数的零点．若关于x的二次函数y＝x2﹣6x+m（m≠0）有两个不相等的零点x1，x2（x1＜x2），关于x的方程﹣x2+6x﹣m﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x3和x4（x3＜x4），则下列式子一定正确的是（　　）
A．0＜x1x3＜1 B．x1x3＞1 C．0＜x2x4＜1 D．x2x4＞1
【解题思路】根据题意画出关于x的二次函数图象以及直线y＝﹣2，根据图象即可判断．
【解答过程】解：由题意关于x的方程y＝x2﹣6x+m＝﹣2（m≠0）有两个不相等的非零实数根x3，x4（x3＜x4），就是关于x的二次函数y＝x2﹣6x+m（m≠0）与直线y＝﹣2的交点的横坐标，
画出函数的图象草图（省去y轴）如下：

y轴不能确定在哪个位置，可能在x1与x3之间．而在当这种情况是x1x3应小于0．
反之因为x2，x4都在对称轴x＝3的右侧，均为正实数，而x2又大于x4．故x2x4应大于1．
故选：D．
【变式2-3】（2021•河南模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣4，0）与（2，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是4．若关于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）也有两个整数根，则这两个整数根是（　　）
A．﹣2和0 B．﹣4和2 C．﹣5和3 D．﹣6和4
【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数与一元二次方程的关系，可以得到关于x的方程ax2+bx+c+n＝0 （0＜n＜m）的两个整数根，从而可以解答本题．
【解答过程】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣4，0）与（2，0）两点，
∴当y＝0时，0＝ax2+bx+c的两个根为﹣4和2，函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，
又∵关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是4．
∴方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）的另一个根为﹣6，函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，
∵关于x的方程ax2+bx+c+n＝0 （0＜n＜m）有两个整数根，
∴这两个整数根是﹣5和3，
故选：C．
【题型3 由二次函数解一元二次方程】
【例3】（2021•花都区二模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，与x轴的一个交点是（3，0），则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根是 　 　．

【解题思路】利用“方程的解即为对应函数与x轴的交点横坐标”和二次函数的对称性求解两根．
【解答过程】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，与x轴的一个交点是（3，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∴当y＝0时，0＝ax2+bx+c的两个根为x＝3或x＝﹣1．
故答案为：x＝3或x＝﹣1．
【变式3-1】（2020秋•南京期末）二次函数y＝mx2+2mx+c（m、c是常数，且m≠0）的图象过点A（3，0），则方程mx2+2mx+c＝0的根为　 　．
【解题思路】求出抛物线的对称轴x＝﹣1，根据抛物线与x轴的两个交点到对称轴的距离相等，设另一个交点为（x，0），可得12（3+x）＝﹣1，解得x的值，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解就是抛物线与x轴交点的横坐标．
【解答过程】解：函数的对称轴为直线x=-b2a=-2m2m=-1
设抛物线与x轴的另一个交点坐标为：（x，0），
∵抛物线与x轴的两个交点到对称轴的距离相等，
∴12（3+x）＝﹣1，
解得：x＝﹣5，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为：（﹣5，0），
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是3或﹣5，
故答案为：3或﹣5．
【变式3-2】（2021•武汉模拟）抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，3），B（2，3），则关于x的一元二次方程a（x﹣2）2﹣3＝2b﹣bx﹣c的解为　 　．
【解题思路】把a（x﹣2）2﹣3＝2b﹣bx﹣c，转化为a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＝3，即y′＝a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c于y′′＝3的交点，进而求解．
【解答过程】关于x的一元二次方程a（x﹣2）2+bx＝2b﹣c变形为a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＝0，
把抛物线y＝ax2+bx+c沿x轴向右平移2个单位得到y′＝a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c，
设y′′＝3，
当y′＝y′′时，即a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＝3，即a（x﹣2）2﹣3＝2b﹣bx﹣c，
即一元二次方程a（x﹣2）2﹣3＝2b﹣bx﹣c的解转化为y′＝y′′的交点，
而平移前函数交点的横坐标为﹣1或2，向右平移2个单位后交点的横坐标为1或4
故答案为1或4．
【变式3-3】（2020秋•上虞区期末）已知自变量为x的二次函数y＝（ax+m）（x+3m）经过（t，3）、（t﹣4，3）两点，若方程（ax+m）（x+3m）＝0的一个根为x＝1，则其另一个根为　 　．
【解题思路】当x＝0时，y＝3，故二次函数y＝（ax+m）（x+3m）必经过定点（0，3），则二次函数y＝（ax+m）（x+3m）经过（0，3）、（4，3）两点或经过（﹣4，3）（0，3）两点，进而求解、
【解答过程】解：∵二次函数y＝（ax+m）（x+3m），
∴当x＝0时，y＝3，
∴二次函数y＝（ax+m）（x+3m）必经过定点（0，3），
∴二次函数y＝（ax+m）（x+3m）经过（0，3）、（4，3）两点或经过（﹣4，3）（0，3）两点，
∴对称轴为：x=12（0+4）＝2或x=12（﹣4+0）＝﹣2，
∵方程y＝（ax+m）（x+3m）＝0的一个根为x＝1，
∴另一个根为3或﹣5，
∴故答案为3或﹣5．
【知识点2 求一元二次方程的近似解的方法（图象法）】
（1） 作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；
（2） 由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围；
（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．
【题型4 由二次函数的图象求一元二次方程的近似解】
【例4】（2020秋•禅城区期末）如下表给出了二次函数y＝x2+2x﹣10中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程x2+2x﹣10＝0的一个近似解（精确到0.1）为（　　）
x
…
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
…
y
…
﹣1.39
﹣0.76
﹣0.11
0.56
1.25
…
A．2.2 B．2.3 C．2.4 D．2.5
【解题思路】根据表格中的数据可得出“当x＝2.3时，y＝﹣0.11；当x＝2.4时，y＝0.56．”由﹣0.11更接近于0即可得出结论．
【解答过程】解：当x＝2.3时，y＝﹣0.11；当x＝2.4时，y＝0.56．
∵﹣0.11更接近于0，
∴方程的一个近似根为2.3．
故选：B．
【变式4-1】（2020秋•长春期末）根据下列表格中的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c为常数）的根的个数是（　　）
x
6.17
6.18
6.19
6.20
y＝ax2+bx+c
0.02
0.01
0.02
0.04
A．1或2 B．1 C．2 D．0
【解题思路】由表格中的对应值可得出，抛物线的最小值为0.01，故方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c为常数）没有实数根．
【解答过程】解：由表格中的对应值可得出，抛物线的最小值为0.01，
∴抛物线与x轴没有交点，
∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c为常数）没有实数根，
故选：D．
【变式4-2】（2020秋•濮阳期末）如表是二次函数y＝ax2+bx+c的几组对应值：
x
6.17
6.18
6.19
6.20
y＝ax2+bx+c
﹣0.03
﹣0.01
0.02
0.04
根据表中数据判断，方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（　　）
A．6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18
C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20
【解题思路】利用二次函数和一元二次方程的性质进行解答即可．
【解答过程】解：由表可以看出，当x取6.18与6.19之间的某个数时，y＝0，即这个数是ax2+bx+c＝0的一个根．
ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围为6.18＜x＜6.19．
故选：C．
【变式4-3】（2020秋•钦州期末）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，图象上有两点分别为A（2.18，﹣0.51）、B（2.68，0.54），则方程ax2+bx+c＝0的一个解只可能是（　　）

A．2.18 B．2.68 C．﹣0.51 D．2.45
【解题思路】根据自变量两个取值所对应的函数值是﹣0.51和0.54，可得当函数值为0时，x的取值应在所给的自变量两个值之间．
【解答过程】解：∵图象上有两点分别为A（2.18，﹣0.51）、B（2.68，0.54），
∴当x＝2.18时，y＝﹣0.51；x＝2.68时，y＝0.54，
∴当y＝0时，2.18＜x＜2.68，
只有选项D符合，
故选：D．
【题型5 由二次函数的图象解不等式】
【例5】（2021•杭州模拟）抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴是直线x＝﹣1，其部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（　　）

A．x＜1 B．x＞﹣3 C．﹣3＜x＜1 D．x＜﹣3或x＞1
【解题思路】利用抛物线的对称性确定抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），然后结合二次函数图象，写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可．
【解答过程】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴是直线x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），
∵抛物线开口向下，
∴当﹣3＜x＜1时，y＞0．
故选：C．
【变式5-1】（2020秋•淮安区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），该函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x
…
1
2
3
…
y
…
0
﹣1
0
…
（1）求该二次函数的表达式．
（2）不等式ax2+bx+c＞0的解集为　 　；不等式ax2+bx+c＜3的解集为　 　．
【解题思路】（1）由表格可得抛物线顶点坐标，设其顶点式，将（1，0）代入计算可得；
（2）利用二次函数与一元二次不等式间的关系求二级可得．
【解答过程】解：（1）设该二次函数的关系式为y＝a（x﹣m）2+n，
∵顶点坐标为（2，﹣1），
∴y＝a（x﹣2）2﹣1，
∵该二次函数过点（1，0），
∴0＝a（1﹣2）2﹣1，
解得a＝1，
即y＝（x﹣2）2﹣1．
（2）当（x﹣2）2﹣1＝0时，x＝1或x＝3，
∵抛物线开口向上，
∴不等式ax2+bx+c＞0的解集为x＜1或x＞3；
当（x﹣2）2﹣1＝3时，x＝0或x＝4，
∵抛物线开口向上，
∴不等式ax2+bx+c＜3的解集为0＜x＜4．
故答案为：x＜1或x＞3，0＜x＜4．
【变式5-2】（2021•宁波模拟）如图，二次函数y＝（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（﹣1，0）及点B．
（1）求二次函数的表达式及点B的坐标．
（2）根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围．

【解题思路】（1）将点A（﹣1，0）代入解析式求出m，求出点C坐标，根据点B与点C关于y轴对称求点B坐标．
（2）根据图象交点坐标求解．
【解答过程】解：（1）将（﹣1，0）代入y＝（x+2）2+m得0＝1+m，
解得m＝﹣1，
∴y＝（x+2）2﹣1，
当x＝0时，y＝3，
∴点C坐标为（0，3），
∵点B与点C关于轴对称，对称轴为直线x＝﹣2，
∴点B坐标为（﹣4，3）．
（2）∵点A坐标为（﹣1，0），点B坐标（﹣4，3），
由图象可知，（x+2）2+m≥kx+b时，x≤﹣4或x≥﹣1．
【变式5-3】（2021•九龙坡区校级模拟）已知函数y＝a|x﹣2|+x+b（a，b为常数）．当x＝3时，y＝0，当x＝0时，y＝﹣1，请对该函数及其图象进行探究：
（1）a＝　 　，b＝　 　；
（2）请在给出的平面直角坐标系中画出该函数图象，并结合所画图象，写出该函数的一条性质．
（3）已知函数y＝﹣x2+4x+5的图象如图所示，结合图象，直接写出不等式a|x﹣2|+x+b≥﹣x2+4x+5的解集．

【解题思路】（1）由题意得：a|3-2|+3+b=02a+b=-1，即可求解；
（2）由（1）知函数的表达式为y＝2|x﹣2|+x﹣5，当x≥2时，y＝2|x﹣2|+x﹣5＝3x﹣9，当x＜2时，y＝2|x﹣2|+x﹣5＝﹣x﹣1，根据函数表达式画出函数图象，即可求解；
（3）观察函数图象即可求解．
【解答过程】解：（1）由题意得：a|3-2|+3+b=02a+b=-1，解得a=2b=-5，
故答案为2，﹣5；
（2）由（1）知函数的表达式为y＝2|x﹣2|+x﹣5，
当x≥2时，y＝2|x﹣2|+x﹣5＝3x﹣9，当x＜2时，y＝2|x﹣2|+x﹣5＝﹣x﹣1；
根据函数表达式画出函数图象如下：

从图象看，当x≥2时，y随x的增大而增大，当x＜2时，y随x的增大而减小（答案不唯一）；
（3）从图象看两个函数交于点A、B（﹣1，0），
联立y＝3x﹣9和y＝﹣x2+4x+5得：3x﹣9＝﹣x2+4x+5，解得x=1+572（负值已舍去），
即点A的横坐标为1+572，
从函数图象看，不等式a|x﹣2|+x+b≥﹣x2+4x+5的解集为x≤﹣1或x≥1+572．
【题型6 由二次函数与一次函数交点个数求范围】
【例6】（2021•广元）将二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y＝x+b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（　　）

A．-214或﹣3 B．-134或﹣3 C．214或﹣3 D．134或﹣3
【解题思路】分两种情形：如图，当直线y＝x+b过点B时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，当直线y＝x+b与抛物线y＝（x﹣1）2﹣4（﹣3≤x≤1）相切时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，分别求解即可．
【解答过程】解：二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点坐标为（1，4），
当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，
则抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴的交点为A（﹣1，0），B（3，0），
把抛物线y＝﹣x2+2x+3图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，则翻折部分的抛物线解析式为y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3），顶点坐标M（1，﹣4），
如图，当直线y＝x+b过点B时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，
∴3+b＝0，解得b＝﹣3；
当直线y＝x+b与抛物线y＝（x﹣1）2﹣4（﹣3≤x≤1）相切时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，
即（x﹣1）2﹣4＝x+b有相等的实数解，整理得x2﹣3x﹣b﹣3＝0，△＝32﹣4（﹣b﹣3）＝0，解得b=-214，
所以b的值为﹣3或-214，
故选：A．

【变式6-1】（2021•章丘区一模）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝﹣x2+x+6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，将这个新函数的图象记为G（如图所示），当直线y＝﹣x+m与图象G有4个交点时，则m的取值范围是（　　）

A．-254＜m＜3 B．-254＜m＜2 C．﹣2＜m＜3 D．﹣6＜m＜﹣2
【解题思路】如图，解方程﹣x2+x+6＝0得A（﹣2，0），B（3，0），再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为y＝（x+2）（x﹣3），即y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），然后求出直线•y＝﹣x+m经过点A（﹣2，0）时m的值和当直线y＝﹣x+m与抛物线y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时m的值，从而得到当直线y＝﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围．
【解答过程】解：如图，当y＝0时，﹣x2+x+6＝0，解得x1＝﹣2，x2＝3，则A（﹣2，0），B（3，0），

将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y＝（x+2）（x﹣3），
即y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），
当直线•y＝﹣x+m经过点A（﹣2，0）时，2+m＝0，解得m＝﹣2；
当直线y＝﹣x+m与抛物线y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时，方程x2﹣x﹣6＝﹣x+m有相等的实数解，解得m＝﹣6，
所以当直线y＝﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围为﹣6＜m＜﹣2．
故选：D．
【变式6-2】（2021•南沙区一模）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与x轴交于点A，B．与y轴交于点C．连接AC、BC．已知△ABC的面积为3．将抛物线向左平移h（h＞0）个单位，记平移后抛物线中y随着x的增大而增大的部分为H．当直线BC与H没有公共点时，h的取值范围是（　　）

A．h＞52 B．0＜h≤52 C．h＞2 D．0＜h＜2
【解题思路】根据抛物线解析式即可求得A、B的坐标，然后根据三角形面积求得C的坐标，根据待定系数法求得直线BC的解析式，把抛物线的得到纵坐标代入直线BC的解析式即可求得此时的x的值，借助图象即可求得h的取值范围．
【解答过程】解：∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x+1）（x﹣3），
令y＝0，则（x+1）（x﹣3）＝0，
解得x＝﹣1或3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4，
∴△ABC的面积为3．
∴12AB•OC＝3，即12×4×OC=3，
∴OC=32，
∴C（0，32），﹣3a=32，
∴a=-12，
∴抛物线y=-12x2+x+32，
∵y=-12x2+x+32=-12（x﹣1）2+2，
∴抛物线的顶点为（1，2），
∵B（3，0），C（0，32），
∴直线BC为y=-12x+32，
把y＝2代入y=-12x+32，得2=-12x+32，
解得x＝﹣1，
∵1﹣（﹣1）＝2，
∴h的取值范围是h＞2，
故选：C．

【变式6-3】（2021•莱芜区模拟）如图，抛物线y＝2x2﹣8x+6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝﹣x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（　　）

A．1＜m＜158 B．158＜m＜3 C．1＜m＜3 D．-18＜m＜1
【解题思路】根据图象可以判断当直线y＝﹣x+m在过B和与C2相切之间时与两个抛物线有三个不同的交点，求出两个临界值即可．
【解答过程】解：y＝2x2﹣8x+6，
令y＝0，
即2x2﹣8x+6＝0，
解得x＝1或3，
则A（1，0），（3，0），
由于将C1向右平移两个单位得到C2，
则C2的解析式为y＝2（x﹣2）2﹣8（x﹣2）+6（3≤x≤5），
由图象知当直线y＝﹣x+m在过B和与C2相切之间时与两个抛物线有三个不同的交点，
∴①当y＝﹣x+m与C2相切时，
令y＝﹣x+m＝2（x﹣2）2﹣8（x﹣2）+6，
即2x2﹣15x+30﹣m＝0，
∴△＝8m﹣15＝0，
解得m=158，
②当y＝﹣x+m'过点B时，
即0＝﹣3+m'，
解得m'＝3，
综上，当158＜m＜3时，直线y＝﹣x+m与C1、C2共有3个不同的交点，
故选：B．