初中数学北师大版九年级下册5 二次函数与一元二次方程同步达标检测题

（北师大版）2022-2023学年九年级数学下册2.5二次函数与一元二次方程 同步测试

一、单选题（每题3分，共30分）

1．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，它的对称轴为直线.有下列结论：①；②；③；④当时，；⑤若、（）是方程的两根，则方程的两根m、n（m＜n）满足，且.其中，正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．已知a，b是抛物线y＝（x﹣c）（x﹣c﹣d）﹣3与x轴交点的横坐标，a＜b，则|a﹣c|+|c﹣b|化简的结果是（　　）

A．b﹣a B．a﹣b C．a+b﹣2c D．2c﹣a﹣b

3．在平面直角坐标系中，已知点A（-2，3），B（2，1），若抛物线y＝ax2-2x＋1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（　　）

A． B．

C． D．a≤-1/2或a≥1

4．对于函数y= =ax2-（a+1）x+1，甲和乙分别得出一个结论：

甲：若该函数图象与x轴只有一个交点，则a=1；

乙：方程ax2- （a+1）x+1=0至少有一个整数根．

甲和乙所得结论的正确性应是（　　）

A．只有甲正确 B．只有乙正确

C．甲乙都正确 D．甲乙都不正确

5．如图，函数的图象过点和，请思考下列判断：

①；②；③；④；⑤.

正确的是（　　）

A．①③⑤ B．①③④ C．①②③④⑤ D．①②③⑤

6．已知二次函数 (其中 )，下列说法正确的是（　　）

A．当 时，都有 随着 的增大而增大

B．当 时，都有 随着 的增大而减小

C．若 时，都有 随着 的增大而减小，则

D．若 时，都有 随着 的增大而减小，则

7．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)  的部分图象如图所示，图象过点（-1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：①4a＋b=0；②9a＋c>3b；③8a＋7b＋2c>0；④若点A（-3，y1）、点B（ ，y2）、点C（ ，y3）在该函数图象上，则 y1<y3<y1 ；⑤若方程 的两根为 和 ，且 ，则 ；⑥ .其中正确的结论有（　　）个

A．3 B．4 C．5 D．6

8．对于每个非零自然数n，抛物线 与x轴交于 ， 两点，以 表示这两点之间的距离，则 的值是（　　）  

A． B． C． D．1

9．已知抛物线 与x轴的一个交点为 ，则代数式 的值为（　　）  

A．2018 B．2019 C．2020 D．2021

10．已知函数 ，  （a、b、c为常数），如图所示，y2=ax+b.在研究两个函数时，同学们得到结论如下，其中错误的一个结论为（　　）

A． B．当x＞3时，ax+b＜0

C．当x＞2时，y1＞y2. D．有两个不同的解

二、填空题（每题3分，共15分）

11．已知，二次函数，规定，若使的正数x有且只有三个，则a的取值范围是　     　.

12．二次函数的对称轴为，若关于x的一元二次方程(t为实数)在-4<x<1的范围内有解，则t的取值范围是　         　．

13．已知抛物线y＝ax2+bx+c与坐标轴有且只有两个公共点，对称轴为直线x＝1，经过点（﹣1，﹣1），下列四个结论：①9a+3b+c＝﹣1；②3b﹣2c＝2；③若（m，y1），（4﹣m，y2）是抛物线上的两点，且y1＞y2则m＜2；④a＝﹣ ，其中正确的结论是 　     　. 

14．如图，二次函数y＝ax2+bx﹣c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，则下列结论：①a＜0；②b＜0；③c＜0；④b2-4ac＞0.其中正确结论的个数是 　     　个.

15．抛物线 向右平移一个单位得到的抛物线恰好经过原点，则c　     　.

三、解答题（共8题，共55分）

16．二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，求S△ABC的面积． 

17．已知抛物线y=﹣ + 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，若点D是AB的中点，求CD的长． 

18．已知二次函数y=﹣ +bx+c的图象经过点A（﹣3，﹣6），并与x轴交于点B（﹣1，0）和点C，顶点为P． 

（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标； 

（2）设点D为线段OC上一点，且∠DPC=∠BAC，求点D的坐标． 

19．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点坐标为（﹣1，0）、（3，0）且过（1，﹣2）．求该二次函数的表达式． 

20．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与 y轴交于点C（0，3），求二次函数的顶点坐标． 

21．使得函数值为0的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数y=x﹣1，令y=0可得x=1，我们说1是函数y=x﹣1的零点．已知函数y=x2﹣2mx﹣2（m+3）（m为常数）

（1）当m=0时，求该函数的零点．

（2）证明：无论m取何值，该函数总有两个零点．

22．已知：如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，且函数的最大值为9．

（1）求二次函数的解析式；

（2）设此二次函数图象的顶点为C，与y轴交点为D，求四边形ABCD的面积．

23．如图，一次函数y1=kx+1与二次函数y2=ax2+bx﹣2交于A，B两点，且A（1，0）抛物线的对称轴是x=﹣．

（1）求k和a、b的值；

（2）求不等式kx+1＞ax2+bx﹣2的解集．

答案解析部分

1．【答案】C

2．【答案】A

3．【答案】A

4．【答案】B

5．【答案】C

6．【答案】D

7．【答案】A

8．【答案】C

9．【答案】D

10．【答案】C

11．【答案】

12．【答案】-1≤t＜8

13．【答案】①②③

14．【答案】2

15．【答案】5

16．【答案】解：当y=0时，x2﹣2x﹣3=0， 

∴（x+1）（x﹣3）=0，

解得：x1=﹣1，x2=3，

∴AB=3﹣（﹣1）=4，

当x=0时，y=﹣3，

∴CO=3，

∴S△ABC= ×3×4=6．

17．【答案】解：当y=0，即﹣ x2+ x+6=0，解得：x1=﹣3，x2=12； 

设A、B两点坐标分别为（﹣3，0）（12，0）

∵D为AB的中点，

∴D（4.5，0），

∴OD=4.5，

当x=0时，y=6，

∴OC=6，

由勾股定理，得：CD= ．

18．【答案】（1）解：已知抛物线过A（﹣3，6），B（﹣1，0）则有： 

解得 ，

∴二次函数的解析式为：y= x2﹣x﹣ ；

（2）解：易知：P（1，﹣2），C（3，0）， 

过P作PM⊥x轴于M，AN⊥x轴于N，

则PM=2，

∵抛物线过C（3，0）和B（﹣1，0），

∴BC=4，CM=2=PM，

∴∠PCO=45°，

∵AN=CN=6，

∴∠ACB=45°，

∵∠DPC=∠BAC，∠PCO=∠ACB=45°，

∴△DPC∽△BAC，

∴ = ，∵AC=6  ，PC=2  ，BC=4

∴CD= ，OD=3﹣ = ，

∴D（  ，0）．

19．【答案】解：根据题意得 ， 

解得： ，

则二次函数的解析式是y=2x2﹣x﹣3

20．【答案】解：把A（1，0），B（3，0），C（0，3）代入y=ax2+bx+c中得： ， 

解得： ，

∴二次函数的解析式为：y=x2﹣4x+3，

y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，

顶点坐标为（2，﹣1）

21．【答案】1）解：当m=0时，令y=0，则x2﹣6=0，

解得x=±，

所以，m=0时，该函数的零点为±；

（2）证明：令y=0，则x2﹣2mx﹣2（m+3）=0，

△=b2﹣4ac=（﹣2m）2﹣4×1×2（m+3），

=4m2+8m+24，

=4（m+1）2+20，

∵无论m为何值时，4（m+1）2≥0，

∴△=4（m+1）2+20＞0，

∴关于x的方程总有不相等的两个实数根，

即，无论m取何值，该函数总有两个零点．

22．【答案】解：（1）由抛物线的对称性知，它的对称轴是x=1．

又∵函数的最大值为9，

∴抛物线的顶点为C（1，9）．

设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2+9，代入B（4，0），求得a=﹣1．

∴二次函数的解析式是y=﹣（x﹣1）2+9，

即y=﹣x2+2x+8．

（2）过C作CE⊥x轴于E点．

当x=0时，y=8，即抛物线与y轴的交点坐标为D（0，8）．

∴S四边形ABCD=S△AOD+S四边形DOEC+S△BCE=×2×8+×（8+9）×1+×3×9=30．

23．【答案】解：（1）把A（1，0）代入一次函数解析式得：k+1=0，解得：k=﹣1，

根据题意得：，

解得：；

（2）解方程组，

解得：或．

则B的坐标是（﹣6，7）．

根据图象可得不等式kx+1＞ax2+bx﹣2的解集是：﹣6＜x＜1．