2018版高考一轮总复习数学（文）模拟演练 第2章 函数、导数及其应用 2-11 word版含答案

(时间：40分钟)

1．设函数f(x)＝xex，则(　　)

A．x＝1为f(x)的极大值点

B．x＝1为f(x)的极小值点

C．x＝－1为f(x)的极大值点

D．x＝－1为f(x)的极小值点

答案　D

解析　f′(x)＝ex＋xex＝(1＋x)ex.令f′(x)＝0，则x＝－1.当x<－1时，f′(x)<0，当x>－1时，f′(x)>0，所以x＝－1为f(x)的极小值点．

2．函数f(x)＝(a>0)的单调递增区间是(　　)

A．(－∞，－1)   B．(－1,1)

C．(1，＋∞)   D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

答案　B

解析　函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝＝.由于a>0，要使f′(x)>0，只需(1－x)·(1＋x)>0，解得x∈(－1,1)，故选B.

3．函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e]上的最大值为(　　)

A．1－e B．－1

C．－e D．0

答案　B

解析　因为f′(x)＝－1＝，当x∈(0,1)时，f′(x)>0；当x∈(1，e]时，f′(x)<0，所以f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，e]，所以当x＝1时，f(x)取得最大值ln 1－1＝－1.

4．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)

A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)

B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)

C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)

D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)

答案　D

解析　由题图，当x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；当1＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．

5．若函数f(x)＝x2＋ax＋在是增函数，则a的取值范围为(　　)

A．   B． D．函数f(x)＝x(x－m)2在x＝1处取得极小值，则m＝________.

答案　1

解析　f′(1)＝0可得m＝1或m＝3.当m＝3时，f′(x)＝3(x－1)(x－3)，1＜x＜3时，f′(x)＜0；x＜1或x＞3时，f′(x)＞0，此时x＝1处取得极大值，不合题意，所以m＝1.

7．已知函数f(x)＝kx3＋3(k－1)x2－k2＋1(k＞0)的单调递减区间是(0,4)．

(1)实数k的值为________；

(2)若在(0,4)上为减函数，则实数k的取值范围是__________．

答案　(1)　(2)

解析　(1)f′(x)＝3kx2＋6(k－1)x，由题意知f′(4)＝0，解得k＝.

(2)由f′(x)＝3kx2＋6(k－1)x≤0并结合导函数的图象可知，必有－≥4，解得k≤.又k＞0，故0＜k≤.

8．若函数f(x)＝－x3＋x2＋2ax在上存在单调递增区间，则a的取值范围是________．

答案　

解析　对f(x)求导，得f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－2＋＋2a.当x∈时，f′(x)的最大值为f′＝＋2a.令＋2a>0，解得a>－.所以a的取值范围是.

9．已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．

解　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a.

若a≤0，则f′(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)单调递增．

若a＞0，则当x∈时，f′(x)＞0；

当x∈时，f′(x)＜0.所以f(x)在单调递增，在单调递减．

(2)由(1)，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)无最大值；当a＞0时，f(x)在x＝取得最大值，最大值为f＝ln ＋a＝－ln a＋a－1.

因此f＞2a－2等价于ln a＋a－1＜0.

令g(a)＝ln a＋a－1，则g(a)在(0，＋∞)单调递增，g(1)＝0.

于是，当0＜a＜1时，g(a)＜0；当a＞1时，g(a)＞0.

因此，a的取值范围是(0,1)．

10．已知函数f(x)＝(x－k)ex.

(1)求f(x)的单调区间；

(2)求f(x)在区间上的最小值．

解　(1)由题意知f′(x)＝(x－k＋1)ex.

令f′(x)＝0，得x＝k－1.

f(x)与f′(x)随x的变化情况如下：

所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．

(2)当k－1≤0，即k≤1时，f(x)在上单调递增，所以f(x)在区间上的最小值为f(0)＝－k；

当0<k－1<1，即1<k<2时，f(x)在上单调递减，在(k－1,1]上单调递增，所以f(x)在区间上的最小值为f(k－1)＝－ek－1；

当k－1≥1，即k≥2时，f(x)在上单调递减，

所以f(x)在区间上的最小值为f(1)＝(1－k)e.

综上，当k≤1时，f(x)在上的最小值为f(0)＝－k；

当1<k<2时，f(x)在上的最小值为f(k－1)＝－ek－1；

当k≥2时，f(x)在上的最小值为f(1)＝(1－k)e.

(时间：20分钟)

11．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则的值为(　　)

A．－ B．－2

C．－2或－ D．2或－

答案　A

解析　由题意知，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f′(1)＝0，

f(1)＝10，即解得或经检验满足题意，故＝－.

12．已知函数f(x)＝－1＋ln x，若存在x0>0，使得f(x0)≤0有解，则实数a的取值范围是(　　)

A．a>2 B．a<3 

C．a≤1 D．a≥3

答案　C

解析　函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，不等式－1＋ln x≤0有解，即a≤x－xln x在(0，＋∞)上有解，令h(x)＝x－xln x，可得h′(x)＝1－(ln x＋1)＝－ln x，令h′(x)＝0，可得x＝1，当0<x<1时，h′(x)>0，当x>1时，h′(x)<0，可得当x＝1时，函数h(x)＝x－xln x取得最大值1，要使不等式a≤x－xln x在(0，＋∞)上有解，只要a小于等于h(x)的最大值即可，即a≤1.所以选C.

13．设函数f(x)＝

(1)若a＝0，则f(x)的最大值为________；

(2)若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是________．

答案　(1)2　(2)(－∞，－1)

解析　(1)若a＝0，则f(x)＝当x>0时，f(x)＝－2x<0；当x≤0时，f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)·(x＋1)，当x<－1时，f′(x)>0，f(x)是增函数，当－1<x<0时，f′(x)<0，f(x)是减函数，∴f(x)≤f(－1)＝2.

∴f(x)的最大值为2.

(2)在同一平面直角坐标系中画出y＝－2x和y＝x3－3x的图象，如图所示，当a<－1时，f(x)无最大值；当－1≤a≤2时，f(x)max＝2；当a>2时，f(x)max＝a3－3a.

综上，当a∈(－∞，－1)时，f(x)无最大值．

14．已知函数f(x)＝.

(1)若函数f(x)在区间上存在极值，求正实数a的取值范围；

(2)如果当x≥1时，不等式f(x)≥恒成立，求实数k的取值范围．

解　(1)函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＝－.

令f′(x)＝0，得x＝1；

当x∈(0,1)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；

当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．

所以，x＝1为极大值点，所以a＜1＜a＋，

故＜a＜1，即实数a的取值范围为.

(2)当x≥1时，k≤，

令g(x)＝，

则g′(x)＝＝.

再令h(x)＝x－ln x，则h′(x)＝1－≥0，

所以h(x)≥h(1)＝1，所以g′(x)＞0，

所以g(x)为单调增函数，所以g(x)≥g(1)＝2，故k≤2.